содержание .. 70 71 72 73 ..
ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 72
Задание №5494
Площадь треугольника АВС равна 117. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=87,75 Ответ: 87,75
Задание №3387
Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 50, основание равно 60 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=1200 Подствавим значения и найдём полупериметр P=80 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=1200/80=15
Ответ: 15
Задание №3791
Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 25° и 95°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов угол противоположный углу 25 градусов равен 180-25=155 градусов угол противоположный углу 95 градусов равен 180-95=85 градусов Больший из неизвестных углов 155 градусов Ответ: 155
Задание №5200
Дан треугольник ABC. Стороны AC=21, BC=72, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=9 Ответ: 9
Задание №2247
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 23, 47, 74. Найдите периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=23+47+74=144 Ответ: 144
Задание №1904
У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 87. Вычислите длину средней линии трапеции
Решение
Периметр - сумма сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 87 / 4 = 21,75 Ответ: 21,75
Задание №3185
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 30 и 15, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=15 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=90+30=120 Ответ: 120
Задание №2307
Площадь параллелограмма ABCD равна 132. Точка E – середина стороны CD. Вычислите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=33 Ответ: 33
Задание №1198
Основания равнобедренной трапеции равны 24 и 96. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=60 Ответ: 60
Задание №3924
Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 28, BC=8, CD=60. Найдите четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=28+60-8=80 Ответ: 80
Задание №5966
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 50, CD= 37 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 174 Ответ: 174
Задание №2953
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 22 и 16. Рассчитайте среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 38 / 2 = 19 Ответ: 19
Задание №5187
Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 384. Вычислите диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =384 / 6 = 64 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*64=128 Ответ: 128
Задание №2638
Площадь параллелограмма ABCD равна 143. Середина стороны BC - точка E. Рассчитайте площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=107,25 Ответ: 107,25
Задание №2080
Площадь параллелограмма ABCD равна 147. Середины его сторон - это вершины параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=73,5 Ответ: 73,5
Задание №4474
Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 66+33√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=33 Ответ: 33
Задание №3866
Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 150°. Вычислите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=150 180*n – 360 = 150 * n n=12 Ответ: 12
Задание №2111
Основания равнобедренной трапеции равны 36 и 48. Радиус описанной окружности равен 30. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции
Решение
Построим высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=24 HO=18 Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=24+18=42 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 42
Задание №5858
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 61, периметр P= 250 . Найдите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=64 Ответ: 64
Задание №1524
Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 116, ее большая боковая сторона равна 54 . Вычислите радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 2 Ответ: 2
содержание .. 70 71 72 73 ..