ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 73

Задание №2226

Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 86. Рассчитайте длину средней линии трапеции

Решение

Периметр - сумма сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 86 / 4 = 21,5

Ответ: 21,5

Задание №1973

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 72+36√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=36

Ответ: 36

Задание №4097

Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 90, основание равно 108 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=3888

Подствавим значения и найдём полупериметр P=144

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=3888/144=27

Ответ: 27

Задание №5028

Площадь параллелограмма ABCD равна 147. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=73,5

Ответ: 73,5

Задание №4628

Площадь параллелограмма ABCD равна 125. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=31,25

Ответ: 31,25

Задание №4297

Дана равнобедренная трапеция. Основания трапеции равны 20 и 48. Радиус описанной окружности равен 26. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции

Решение

Проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=24

HO=10

Значит, высота трапеции равна KH=KO+HO=24+10=34

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 34

Задание №4704

Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 21, 51, 74. Рассчитайте периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=21+51+74=146

Ответ: 146

Задание №4618

Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 160°. Рассчитайте число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=160

180*n – 360 = 160 * n

n=18

Ответ: 18

Задание №2940

Площадь параллелограмма ABCD равна 143. Середина стороны BC - точка E. Вычислите площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=107,25

Ответ: 107,25

Задание №4163

В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB= 26, BC=7, CD=56. Найдите четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=26+56-7=75

Ответ: 75

Задание №4208

Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 28 и 6, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=6

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=68+12=80

Ответ: 80

Задание №4690

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 22° и 149°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея)

угол противоположный углу 22 градусов равен 180-22=158 градусов

угол противоположный углу 149 градусов равен 180-149=31 градусов

Больший из неизвестных углов 158 градусов

Ответ: 158

Задание №2734

Основания равнобедренной трапеции равны 54 и 324. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=225

Ответ: 225

Задание №1668

Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 65, большая боковая сторона трапеции равна 25 . Рассчитайте радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 3,75

Ответ: 3,75

Задание №5511

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона AB= 106, периметр P= 430 . Рассчитайте длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=109

Ответ: 109

Задание №4663

Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 468. Рассчитайте диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =468 / 6 = 78

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*78=156

Ответ: 156

Задание №2502

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 87, CD= 83 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 340

Ответ: 340

Задание №4374

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 8 и 15. Рассчитайте среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 23 / 2 = 11,5

Ответ: 11,5

Задание №1737

Площадь треугольника АВС равна 145. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=108,75

Ответ: 108,75

Задание №5084

В треугольнике ABC BC=96, AC=28, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=12

Ответ: 12

содержание .. 71 72 73 74 ..