содержание .. 68 69 70 71 ..
ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 70
Задание №4863
В треугольнике ABC BC=35, AC=12, угол C равен 90° . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=5 Ответ: 5
Задание №1384
Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 11, BC=2, CD=22. Найдите четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=11+22-2=31 Ответ: 31
Задание №4386
Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 384. Рассчитайте диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =384 / 6 = 64 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*64=128 Ответ: 128
Задание №1170
У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 76. Рассчитайте длину средней линии трапеции
Решение
Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 76 / 4 = 19 Ответ: 19
Задание №2276
У трапеции, описанной около окружности, боковые стороны равны 15 и 7 . Вычислите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 22 / 2 = 11 Ответ: 11
Задание №2650
Основания равнобедренной трапеции равны 12 и 60. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=40 Ответ: 40
Задание №4224
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 49° и 107°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
В четырехугольнике, вписанном в окружность сумма противоположных углов равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 49 градусов равен 180-49=131 градусов угол противоположный углу 107 градусов равен 180-107=73 градусов Больший из неизвестных углов 131 градусов Ответ: 131
Задание №5647
Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 25 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=3 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=56+6=62 Ответ: 62
Задание №1415
Площадь треугольника АВС равна 125. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=93,75 Ответ: 93,75
Задание №1175
Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 75, большая боковая сторона равна 34 . Рассчитайте радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 1,75 Ответ: 1,75
Задание №2581
У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 94+47√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=47 Ответ: 47
Задание №5883
Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 120°. Вычислите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=120 180*n – 360 = 120 * n n=6 Ответ: 6
Задание №1537
Площадь параллелограмма ABCD равна 132. Середина стороны BC - точка E. Вычислите площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=99 Ответ: 99
Задание №5933
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, периметр = 225, стророна AB= 55 . Найдите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=57,5 Ответ: 57,5
Задание №2733
Площадь параллелограмма ABCD равна 156. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=78 Ответ: 78
Задание №3844
Дана равнобедренная трапеция. Основания трапеции равны 30 и 48. Радиус описанной окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции
Решение
Проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=20 HO=7 Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=20+7=27 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 27
Задание №5872
Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 150, основание равно 180 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=10800 Подствавим значения и найдём полупериметр P=240 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=10800/240=45
Ответ: 45
Задание №3607
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 21, 53, 74. Вычислите периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=21+53+74=148 Ответ: 148
Задание №2016
Площадь параллелограмма ABCD равна 125. Точка E – середина стороны CD. Вычислите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=31,25 Ответ: 31,25
Задание №4307
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона CD= 74, AB= 91 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 330 Ответ: 330
содержание .. 68 69 70 71 ..