ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 62

Задание №5170

У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 53. Вычислите длину средней линии трапеции

Решение

Периметр - сумма сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 53 / 4 = 13,25

Ответ: 13,25

Задание №3650

Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 80, ее большая боковая сторона равна 32 . Рассчитайте радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 4

Ответ: 4

Задание №4488

Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 115, основание равно 138 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=6348

Подствавим значения и найдём полупериметр P=184

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=6348/184=34,5

Ответ: 34,5

Задание №4806

Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 15, BC=5, CD=41. Вычислите четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=15+41-5=51

Ответ: 51

Задание №5493

Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 510. Вычислите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит:

AB / 6 = P / 6 =510 / 6 = 85

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*85=170

Ответ: 170

Задание №3027

В треугольнике ABC AC=6, BC=8, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=2

Ответ: 2

Задание №2684

Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 36° и 136°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

В четырехугольнике, вписанном в окружность сумма противоположных углов равна 180 градусов (теорема Птолемея)

угол противоположный углу 36 градусов равен 180-36=144 градусов

угол противоположный углу 136 градусов равен 180-136=44 градусов

Больший из неизвестных углов 144 градусов

Ответ: 144

Задание №5968

Дан треугольник АВС. Его площадь равна 133. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=99,75

Ответ: 99,75

Задание №4416

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 131. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=65,5

Ответ: 65,5

Задание №3638

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 24 и 4, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=4

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=56+8=64

Ответ: 64

Задание №3415

Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 33 и 21 . Вычислите среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 54 / 2 = 27

Ответ: 27

Задание №2997

Основания равнобедренной трапеции равны 30 и 16. Радиус описанной окружности равен 17. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции

Решение

Проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=15

HO=8

Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=15+8=23

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 23

Задание №1502

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона CD= 95, AB= 103 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 396

Ответ: 396

Задание №3893

Дана окружность, вписанная в треугольник ABC, к которой проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 18, 49, 64. Вычислите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=18+49+64=131

Ответ: 131

Задание №1526

Площадь параллелограмма ABCD равна 130. Середина стороны CD - точка E. Рассчитайте площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=32,5

Ответ: 32,5

Задание №2493

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона AB= 96, периметр P= 395 . Рассчитайте длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=101,5

Ответ: 101,5

Задание №1893

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 38+19√2 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=19

Ответ: 19

Задание №4276

Основания равнобедренной трапеции равны 54 и 108. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=45

Ответ: 45

Задание №3991

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 146. Точка E – середина стороны BC. Вычислите площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=109,5

Ответ: 109,5

Задание №3701

Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 120°. Вычислите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=120

180*n – 360 = 120 * n

n=6

Ответ: 6

содержание .. 60 61 62 63 ..