|
|
содержание .. 58 59 60 61 ..
Задание №1931
В треугольнике ABC BC=8, AC=6, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=2 Ответ: 2
Задание №5698 Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 128. Точка E – середина стороны BC. Рассчитайте площадь трапеции ADEB Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=96 Ответ: 96
Задание №4450
Периметр правильного шестиугольника равен 126. Рассчитайте диаметр описанной окружности Решение
Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =126 / 6 = 21 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*21=42 Ответ: 42
Задание №1513
Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 30, BC=7, CD=56. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=30+56-7=79 Ответ: 79
Задание №3499
Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 106. Найдите длину средней линии трапеции Решение Периметр - сумма сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 106 / 4 = 26,5 Ответ: 26,5
Задание №4178 Площадь параллелограмма ABCD равна 137. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′ Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=68,5 Ответ: 68,5
Задание №1306
Основания равнобедренной трапеции равны 24 и 10. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 13. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции Решение Сделаем построение, проведем высоту KH через центр окружности O Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем: Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=12 HO=5 Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=12+5=17 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 17
Задание №4156
Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 55, основание равно 66 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=1452 Подствавим значения и найдём полупериметр P=88 Тогда: Подствавим значения и найдём радиус r=1452/88=16,5 Ответ: 16,5
Задание №2012
Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 19, 51, 67. Найдите периметр данного треугольника Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как =19+51+67=137 Ответ: 137
Задание №5204
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, периметр = 134, стророна AB= 32 . Рассчитайте длину стороны CD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=35 Ответ: 35
Задание №2595
У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 88, ее большая боковая сторона равна 41 . Вычислите радиус окружности Решение Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD R = 1,5 Ответ: 1,5
Задание №5155
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона AB= 103, CD= 94 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 394 Ответ: 394
Задание №5021 Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 192 и 48. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону
Решение Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a) По найденной формуле вычисляем, что AD=120 Ответ: 120
Задание №5326 Площадь параллелограмма ABCD равна 133. Середина стороны CD - точка E. Рассчитайте площадь треугольника ADE Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=33,25 Ответ: 33,25
Задание №5857
Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 40° и 137°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Решение По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов угол противоположный углу 40 градусов равен 180-40=140 градусов угол противоположный углу 137 градусов равен 180-137=43 градусов Больший из неизвестных углов 140 градусов Ответ: 140
Задание №4918
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 6+3√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна: Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=3 Ответ: 3
Задание №4834 Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 140°. Вычислите число вершин многоугольника Решение Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=140 180*n – 360 = 140 * n n=9 Ответ: 9
Задание №3157
У трапеции, описанной около окружности, боковые стороны равны 39 и 30 . Найдите среднюю линию трапеции Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 69 / 2 = 34,5 Ответ: 34,5
Задание №3148
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 44 и 13, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=13 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=114+26=140 Ответ: 140
Задание №1630 Дан треугольник АВС. Его площадь равна 124. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников: Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=93 Ответ: 93
содержание .. 58 59 60 61 ..
|
|