ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 63

Задание №1193

Основания равнобедренной трапеции равны 210 и 42. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=140

Ответ: 140

Задание №3341

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 22, 55, 82. Рассчитайте периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=22+55+82=159

Ответ: 159

Задание №3887

В треугольнике ABC BC=8, AC=6, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=2

Ответ: 2

Задание №2048

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона CD= 46, AB= 58 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 208

Ответ: 208

Задание №2372

Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 58 и 42 . Рассчитайте среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 100 / 2 = 50

Ответ: 50

Задание №4939

Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 117, большая боковая сторона трапеции равна 53 . Найдите радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 2,75

Ответ: 2,75

Задание №4465

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 42° и 116°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов

угол противоположный углу 42 градусов равен 180-42=138 градусов

угол противоположный углу 116 градусов равен 180-116=64 градусов

Больший из неизвестных углов 138 градусов

Ответ: 138

Задание №5594

Площадь параллелограмма ABCD равна 158. Точка E – середина стороны BC. Вычислите площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=118,5

Ответ: 118,5

Задание №1413

Основания равнобедренной трапеции равны 56 и 42. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 35. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции

Решение

Сделаем построение, проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=28

HO=21

Значит, высота трапеции равна KH=KO+HO=28+21=49

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 49

Задание №5256

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона AB= 65, периметр P= 271 . Найдите длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=70,5

Ответ: 70,5

Задание №5105

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 42 и 13, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=13

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=110+26=136

Ответ: 136

Задание №2821

Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 17, BC=5, CD=35. Вычислите четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=17+35-5=47

Ответ: 47

Задание №5618

Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 60°. Найдите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=60

180*n – 360 = 60 * n

n=3

Ответ: 3

Задание №2838

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 75, основание равно 90 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=2700

Подствавим значения и найдём полупериметр P=120

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=2700/120=22,5

Ответ: 22,5

Задание №3655

У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 54. Найдите длину средней линии трапеции

Решение

Периметр - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 54 / 4 = 13,5

Ответ: 13,5

Задание №5741

Площадь треугольника АВС равна 131. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=98,25

Ответ: 98,25

Задание №5370

Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 486. Рассчитайте диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит:

AB / 6 = P / 6 =486 / 6 = 81

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*81=162

Ответ: 162

Задание №2795

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 50+25√2 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=25

Ответ: 25

Задание №5486

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 144. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=72

Ответ: 72

Задание №5849

Площадь параллелограмма ABCD равна 132. Точка E – середина стороны CD. Рассчитайте площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=33

Ответ: 33

содержание .. 61 62 63 64 ..