ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 32

Задание №3682

Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 288. Найдите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =288 / 6 = 48

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*48=96

Ответ: 96

Задание №3629

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 25, 65, 81. Вычислите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=25+65+81=171

Ответ: 171

Задание №5133

Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 67, большая боковая сторона равна 31 . Найдите радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 1,25

Ответ: 1,25

Задание №2276

В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 31 и 9, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=9

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=80+18=98

Ответ: 98

Задание №4474

Площадь параллелограмма ABCD равна 134. Середина стороны CD - точка E. Рассчитайте площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=33,5

Ответ: 33,5

Задание №4647

В треугольнике ABC BC=36, AC=15, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=6

Ответ: 6

Задание №1521

Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 33° и 118°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

В четырехугольнике, вписанном в окружность сумма противоположных углов равна 180 градусов (теорема Птолемея)

угол противоположный углу 33 градусов равен 180-33=147 градусов

угол противоположный углу 118 градусов равен 180-118=62 градусов

Больший из неизвестных углов 147 градусов

Ответ: 147

Задание №4585

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 40 и 30. Рассчитайте среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 70 / 2 = 35

Ответ: 35

Задание №4112

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, периметр = 177, стророна AB= 42 . Найдите длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=46,5

Ответ: 46,5

Задание №2580

Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 18 и 6. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=10

Ответ: 10

Задание №2571

У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 58+29√2 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=29

Ответ: 29

Задание №2656

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 100, основание равно 120 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=4800

Подствавим значения и найдём полупериметр P=160

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=4800/160=30

Ответ: 30

Задание №2974

Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 21, BC=4, CD=30. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=21+30-4=47

Ответ: 47

Задание №1419

Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 120°. Вычислите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=120

180*n – 360 = 120 * n

n=6

Ответ: 6

Задание №5168

Площадь параллелограмма ABCD равна 124. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=62

Ответ: 62

Задание №5935

Дан треугольник АВС. Его площадь равна 131. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=98,25

Ответ: 98,25

Задание №2922

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 131. Точка E – середина стороны BC. Вычислите площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=98,25

Ответ: 98,25

Задание №1730

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона CD= 41, AB= 51 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 184

Ответ: 184

Задание №1446

Основания равнобедренной трапеции равны 10 и 24. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 13. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции

Решение

Проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=12

HO=5

Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=12+5=17

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 17

Задание №4143

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 96. Рассчитайте длину средней линии трапеции

Решение

Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 96 / 4 = 24

Ответ: 24

содержание .. 30 31 32 33 ..