|
|
содержание .. 28 29 30 31 ..
Задание №1007 Площадь параллелограмма ABCD равна 138. Точка E – середина стороны CD. Рассчитайте площадь треугольника ADE Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=34,5 Ответ: 34,5
Задание №4036
В треугольнике ABC BC=105, AC=36, угол C равен 90° . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=15 Ответ: 15
Задание №1091
Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 111, ее большая боковая сторона равна 51 . Вычислите радиус окружности Решение Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD R = 2,25 Ответ: 2,25
Задание №3257
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 82+41√2 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна: Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=41 Ответ: 41
Задание №3478
Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 30, основание равно 36 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=432 Подствавим значения и найдём полупериметр P=48 Тогда: Подствавим значения и найдём радиус r=432/48=9 Ответ: 9
Задание №4964
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 24, 58, 78. Рассчитайте периметр данного треугольника Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как =24+58+78=160 Ответ: 160
Задание №4162 Площадь параллелограмма ABCD равна 132. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=99 Ответ: 99
Задание №3387
В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB= 20, BC=5, CD=43. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=20+43-5=58 Ответ: 58
Задание №3703 Дан треугольник АВС. Его площадь равна 143. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников: Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=107,25 Ответ: 107,25
Задание №5682 Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 180 и 30. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону
Решение Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a) По найденной формуле вычисляем, что AD=125 Ответ: 125
Задание №5576
Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 20° и 91°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Решение По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов угол противоположный углу 20 градусов равен 180-20=160 градусов угол противоположный углу 91 градусов равен 180-91=89 градусов Больший из неизвестных углов 160 градусов Ответ: 160
Задание №5159
Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 27 и 10, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=10 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=74+20=94 Ответ: 94
Задание №1816
Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 234. Рассчитайте диаметр описанной окружности Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит: AB / 6 = P / 6 =234 / 6 = 39 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*39=78 Ответ: 78
Задание №2740
У трапеции, описанной около окружности, боковые стороны равны 16 и 7 . Рассчитайте среднюю линию трапеции Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 23 / 2 = 11,5 Ответ: 11,5
Задание №4525 Площадь параллелограмма ABCD равна 144. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′ Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=72 Ответ: 72
Задание №2573
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона CD= 44, AB= 56 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 200 Ответ: 200
Задание №4239 Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 150°. Найдите число вершин многоугольника Решение Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=150 180*n – 360 = 150 * n n=12 Ответ: 12
Задание №2970
Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 14. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции Решение Построим высоту KH через центр окружности O Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем: Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=24 HO=7 Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=24+7=31 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 31
Задание №4965
Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 62. Рассчитайте длину средней линии трапеции Решение Периметр - сумма сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 62 / 4 = 15,5 Ответ: 15,5
Задание №4327
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, периметр = 368, стророна AB= 90 . Вычислите длину стороны CD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=94 Ответ: 94
содержание .. 28 29 30 31 ..
|
|