содержание .. 29 30 31 32 ..
ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 31
Задание №3383
Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 120°. Найдите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=120 180*n – 360 = 120 * n n=6 Ответ: 6
Задание №2470
У трапеции, описанной около окружности, боковые стороны равны 57 и 46 . Найдите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 103 / 2 = 51,5 Ответ: 51,5
Задание №3741
Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 20. Радиус описанной окружности равен 26. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции
Решение
Сделаем построение, проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=24 HO=10 Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=24+10=34 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 34
Задание №3186
У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 72+36√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=36 Ответ: 36
Задание №3386
Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 85, основание равно 102 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=3468 Подствавим значения и найдём полупериметр P=136 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=3468/136=25,5
Ответ: 25,5
Задание №3737
Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 40° и 117°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 40 градусов равен 180-40=140 градусов угол противоположный углу 117 градусов равен 180-117=63 градусов Больший из неизвестных углов 140 градусов Ответ: 140
Задание №2404
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 75. Найдите длину средней линии трапеции
Решение
Периметр - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 75 / 4 = 18,75 Ответ: 18,75
Задание №1978
В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB= 20, BC=5, CD=43. Вычислите четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=20+43-5=58 Ответ: 58
Задание №4049
Площадь треугольника АВС равна 139. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=104,25 Ответ: 104,25
Задание №4234
Периметр правильного шестиугольника равен 498. Найдите диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит: AB / 6 = P / 6 =498 / 6 = 83 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*83=166 Ответ: 166
Задание №2584
Площадь параллелограмма ABCD равна 139. Точка E – середина стороны BC. Вычислите площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=104,25 Ответ: 104,25
Задание №4471
Площадь параллелограмма ABCD равна 128. Точка E – середина стороны CD. Вычислите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=32 Ответ: 32
Задание №5360
Основания равнобедренной трапеции равны 24 и 72. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=40 Ответ: 40
Задание №2222
В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 19 и 4, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=4 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=46+8=54 Ответ: 54
Задание №5982
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, периметр = 384, стророна AB= 93 . Найдите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=99 Ответ: 99
Задание №1796
Дана окружность, вписанная в треугольник ABC, к которой проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 18, 49, 65. Рассчитайте периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=18+49+65=132 Ответ: 132
Задание №4992
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона CD= 96, AB= 101 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 394 Ответ: 394
Задание №2574
В треугольнике ABC AC=48, BC=140, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=20 Ответ: 20
Задание №2453
Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 115, ее большая боковая сторона равна 57 . Рассчитайте радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 0,25 Ответ: 0,25
Задание №3303
Площадь параллелограмма ABCD равна 149. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=74,5 Ответ: 74,5
содержание .. 29 30 31 32 ..