Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 145

 

Задача 3 (8 баллов).

 

Все  население  города  N-ска  составляет  200  тыс.  человек.  В  году  0  выпуск  в  городе 
находился на своем потенциальном уровне, равном 1000. В году 1 произошла рецессия, в 
результате  которой  без  работы  осталось  4  тыс.  человек.  Количество  занятых  в  году  1 
составило  91  тыс.  человек;  в  том  же  году  было  произведено  исследование,  которое 
показало, что уровень естественной безработицы в городе равен 5%. 
Каков был фактический объем выпуска в городе в году 1, если коэффициент Оукена равен 
2,5? 
 

Решение: 
 

В году 0 выпуск находился на потенциальном уровне, и значит, изначально циклическая 
безработица  равна  нулю.  Следовательно,  количество  циклических  безработных  в  году  1 
равно в точности 4 тыс. человек.  

(1б)

 

ест

ест

ест

ест

цикл

U

U

u

L

U

U

Е

  

(Верная формула - 2б)

 

  0, 05

4 91

ест

ест

U

U

, откуда  0,95

0, 05 95

ест

U

, и значит, 

5

ест

U

тыс. человек.  

(Верный расчет — 1б) 

 
Отсюда находим величину рабочей силы: 

91 4 5 100

L

тыс. человек. 

(1б)

 

4

4%

100

цикл

цикл

U

u

L

. 

(1б)

 

Наконец, найдем фактический ВВП из закона Оукена: 

*

*

факт

цикл

Y

Y

u

Y

 

(Верная формула — 1б)

 

 

1000

100%

2,5 4%

10%

1000

факт

Y

, откуда 

900

факт

Y

. 

(Верный расчет — 1б) 

 

Ответ:  900. 
 
Критерии оценивания: 

Приведены в тексте решения. 
Задачу можно решить и без расчета промежуточные результатов — сразу выводя формулу 
для итогового ответа и затем подставляя в нее имеющиеся данные. В этом случае баллы, 
относящиеся к промежуточным ответам, начисляются за наличие верных алгебраических 
выкладок, приводящих к итоговому ответу. 

Задача 4 (13 баллов).  

 
На  некотором  рынке  есть  две  группы  потребителей,  функции  спроса  которых  линейны. 
Монополист,  действующий  на  данном  рынке,  заметил,  что  пока  он  увеличивает  объем 
продаж  с  нуля  до  10  единиц,  его  выручка  растет.  При  дальнейшем  увеличении  объема 
продаж  его  выручка  падает,  пока  цена  не  станет  равна  8.  Однако  если  он  будет 
наращивать  объем  продаж  и  дальше,  то  выручка  будет  расти  вновь,  пока  цена  не 
опустится до 6. После этого порога выручка фирмы снова падает, вплоть до того момента, 
когда выпуск не сравняется с максимальной величиной рыночного спроса, равной 36. 
 
Восстановите функции спроса обеих групп потребителей.  
 

Решение: 

 

 

Если  функции  спроса  обеих  групп  линейны,  то  рыночная  функция  спроса  является 
кусочно-линейной  функцией.  Будем  называть  группу  с  более  высокой  максимальной 
ценой спроса «первой», а другую группу — «второй». 

Обозначим максимальные цены спроса и величины спроса двух групп за 

1

max

P

, 

2

max

P

,

1

max

Q

, 

2

max

Q

соответственно. 

Из поведения выручки ясно, что сначала рыночный спрос эластичен, затем неэластичен, 
затем  снова  эластичен,  и  наконец,  снова  неэластичен.  При  движении  вдоль  обычной 
линейной кривой спроса характер эластичности спроса может измениться максимум один 
раз.  Значит,  ситуация,  описанная  в  условии,  возможна,  только  когда  на  первых  двух 
участках (вплоть до цены 8) мы двигаемся по «верхнему» отрезку суммарного спроса, а на 
вторых  двух — «по нижнему». Значит, излом кривой рыночного спроса происходит при 
цене 8: 

2

max

8

P

 

Отсюда же ясно, что 

10

Q

и 

6

P

соответствуют двум точкам единичной эластичности 

рыночного  спроса.  Поскольку  при 

10

Q

потребляет  только  одна  группа,  то  это  и  точка 

единичной эластичности ее спроса. Ее спрос линеен, и потому ее максимальная величина 
спроса 

1

1

max

(0)

d

Q

Q

ровно  вдвое  больше,  чем  величина  спроса  в  точке  единичной 

эластичности, то есть 

1
max

20

Q

. 

Поскольку 

1

2

max

max

36

Q

Q

,  то 

2

max

16

Q

.  Теперь  мы  знаем,  что 

2

max

8

P

и 

2

max

16

Q

,  и 

поэтому  (по  двум  точкам)  можем  легко  восстановить  функцию  спроса  второй  группы: 

2

( ) 16 2

Q P

P

. 

6

P

  —  это  точка  единичной  эластичности  суммарного  спроса  на  участке,  когда 

потребляют  обе  группы.  Объем  суммарного  спроса  в  этой  точке  вдвое  меньше,  чем 
максимальный объем суммарного спроса, и потому он равен  36 / 2 18  . Зная две точки на 
этом  участке  спроса 

(

36,

0)

Q

P

  и 

(

18,

6)

Q

P

,  восстанавливаем  его  уравнение: 

( )

36 3

рын

Q

P

P

. 

Теперь  функцию  спроса  первой  группы  можно  получить,  просто  вычитая  из  рыночного 
спроса спрос второй группы: 

1

2

( )

( )

( )

20

рын

Q P

Q

P

Q P

P

. 

 

Ответ:

  

1

( )

20

Q P

P

, 

2

( ) 16 2

Q P

P

. 

 
Критерии оценивания: 

Интерпретация условия в терминах эластичности спроса — (

3б).

 

Идея о том, что точка 

8

P

 — это точка излома кривой рыночного спроса — (

2б).

 

Идея о том, что точки, где 

10

Q

и 

6

P

— это две точки единичной эластичности кривой 

рыночного спроса — (

2б).

 

 
Итоговое восстановление двух функций — (

6 б)

 (по 

3 б.

 за функцию). 

 
Также  задачу  можно  решить,  и  не  привлекая  понятие  эластичности.  В  этом  случае 
наиболее  естественный  способ  заключается  в  том,  чтобы  ввести  в  общем  виде  функции 

1

Q

a bP

  и 

2

Q

c dP

,  а  затем  попытаться  найти  значения  параметров 

, , ,

a b c d

из 

имеющихся  данных.  Но  и  этот  способ  вряд  ли  будет  эффективным,  если  не  догадаться, 
что 8 — это не что иное, цена в точке излома функции рыночного спроса. 

Задача 5. (13 баллов) 
 

Рыболовецкое  хозяйство  «Без  труда…»  использует  в  производстве  единственный 
переменный  фактор  —  труд.  Производственная  функция  фирмы  задана  уравнением 

2

Q

L

, где 

Q

 — выпуск фирмы, 

L

— количество нанятых работников. Фирма является 

совершенным  конкурентом  как  на  рынке  продукта,  так  и  рынке  труда;  цена  продукта 
равна 20 д.е., зарплата же равна 5. д.е 
. 

(а)

 Найдите, какой объем труда наймет фирма, каковы будут ее выпуск и прибыль? 

Государство  хотело  бы  с  помощью  субсидии  стимулировать  фирму  нанимать  больше 
работников. Оно рассматривает два варианта субсидирования: 

(i) Выплачивать фирме 1 д.е.  за каждого нанятого работника; 

(ii) Выплачивать фирме  s д.е. за каждую произведенную единицу продукции.  

(б)

  Объясните,  почему  вторая  мера  также  является  способом  побудить  фирму  нанимать 

больше работников; 

(в)

  Определите,    каким  будет  количество  работников,  нанятых  фирмой,  если  будет 

реализована мера (i); 

(г)

  Определите,  какой  должна  быть  ставка 

s

  в  случае  введения  меры  (ii),  чтобы  оба 

варианта  (i)  и  (ii)  привели  к  одинаковому  увеличению  количества  работников,  нанятых 
фирмой, по сравнению с пунктом (а).  

(д)

  Допустим,  ставка 

s

соответствует  найденной  вами  в  предыдущем  пункте,  и  потому 

эффект от обеих мер одинаковый. Какая из двух мер потребует от государства меньших 
расходов на субсидию? 

 
Решение: 
 

(а) 

(3б) 

Фирма решает задачу максимизации прибыли: 

( )

20 2

5

max

L

L

L

FC

 

Приравняв  производную  к  нулю  (или,  что  то  же  самое,  приравняв  предельный  продукт 

труда в денежном выражении к зарплате) , получим, что 

20

5

L

, откуда 

16

L

.  

Выпуск фирмы будет равен  2 16 8, а 

(16)

80

.  

 
(б)

  (2б) 

Вторая  мера  побудит  фирму  увеличить  предложение  продукции,  но  поскольку 

труд  является  единственным  переменным  фактором  производства,  фирме  для  этого 
придется нанять больше работников, и в итоге занятость на фирме также увеличится. 
 
(в) 

(3б)

 В новой ситуации фирма решает задачу 

( )

20 2

5

1

max

L

L

L

L

FC

 

20

4

L

 (по сути издержки фирмы на одного работника теперь не 5, а 4), откуда 

25

L

. 

 

(г) 

(3б)

 При введении меры (ii) фирма будет решать задачу 

( )

(20

)2

5

max

L

s

L

L

, 

откуда 

20

5

s

L

.  Чтобы  обе  политики  имели  одинаковый  эффект,  фирме  в  случае  (ii) 

должно быть выгодно нанять ровно 25 работников. Значит, 

20

5

25

s

, откуда 

5

s

.  

 
(д) 

(2б) 

В случае (i) расходы фирмы на субсидию составят 1 25 25 д.е.  

В случае (ii) расходы фирмы на субсидию составят 

5 2 25

50

sQ

д.е. Таким образом, 

вторая мера обойдется государству вдвое дороже, чем первая.  

 
Ответ:  

(а) 

16

L

, 

8

Q

, 

80 ;    (в) 

25

L

;  (г) 

5

s

;  (д)  Первая  мера  потребует  меньших 

расходов на субсидию. 
 

Примечание:

  в каждом из пунктов задачи можно было найти точку максимума функции 

прибыли и без использования производной, просто заметив, что в каждом случае функция 
прибыли является параболой с ветвями вниз относительно 

t

L

. 

    

Критерии оценивания: 
Приведены в тексте решения.

 

 
 

XVII Всероссийская олимпиада школьников по экономике

 

Заключительный этап

 

Московская область, 21—27 апреля 2012 года

 

9—11-й класс 

 
 

Второй тур. Задачи. 

Решения

 

 

Дата написания   

23 апреля 2012 г.

 

Количество заданий   

5

 

Сумма баллов  

100

 

Время написания  

180 минут

 

 
 

Задача № 6

 (20 баллов)

 

Монополист и обменный курс

 

Фирма Ф, расположенная на территории страны Р, является монопольным производителем товара Т в 
этой стране. Национальная валюта страны Р называется рубль. Для производства продукции фирма Ф 
нуждается в сырье, которое она закупает за границей. Для производства одного килограмма товара Т 
необходимо закупить сырья на сумму 5 долларов. Остальные издержки представляют собой расходы 
на  оплату  отечественных  факторов  производства;  эти  расходы  описываются  уравнением 

2

= 5

C

q

, 

где 

q

— количество продаваемого товара (в кг), а 

C

— расходы (в рублях). Обратная функция спроса 

на товар Т на внутреннем рынке страны Р имеет вид 

= 90 5

p

q

. Иностранные потребители готовы 

купить любое количество продукции фирмы по цене, не превышающей 10 долларов за кг

.

 

а)  Обозначим  за 

e

  обменный  курс  рубля  (количество  рублей  за  один  доллар). 

Для  каждого 

положительного значения обменного курса 

e

 определите оптимальный выпуск товара Т фирмой Ф. 

На  графике  в  координатах 

( ; )

e q

  изобразите  зависимость  оптимального  выпуска  фирмы  от 

обменного курса рубля. 

 

б) 

Предложите содержательное экономическое объяснение вида этой зависимости.

 

 
Решение: 

(а)

  В  задаче  фигурируют  две  валюты:  рубли  и  доллары.  Для  того  чтобы  не  запутаться,  удобно  все 

переменные, выраженные в денежных единицах (прибыль, издержки, цены) номинировать в одной и 
той же валюте. В этом решении все денежные переменные выражены в рублях. 
 
Издержки фирмы Ф (в рублях): 

eq

q

eq

L

TC

5

5

5

5

2

. 

Следовательно, предельные издержки равны:

e

q

MC

5

10

 

Предельный доход на внутреннем рынке описывается уравнением: 

q

MR

10

90

. 

На  внешнем  рынке  цена  фиксирована: 

e

P

10

.  Поэтому  предельный  доход  от  продажи  каждой 

дополнительной единицы товара на внешнем рынке тоже равен  

e

10

. 

Будем пока считать, что валютный курс меньше 9, и, следовательно, предельный доход на внешнем 
рынке меньше 90. В этом случае при небольших объемах продаж предельный доход на внутреннем 
рынке  больше,  чем  на  внешнем  рынке.  Поэтому  сначала  фирме  следует  продавать  товар  на 
внутреннем  рыке.  А  затем,  когда  предельные  доходы  внешнего  и  внутреннего  рынка  сравняются, 
следует  продавать  товар  на  внешнем  рынке.  Таким  образом,  суммарный  предельный  доход  от 
продажи товара на всех рынках будет иметь вид:  

e

q

e

e

q

q

MR

9

10

9

,

10

90

 

Предельный  доход  не  возрастает,  а  предельные  издержки  строго  возрастают,  значит  в  точке,  в 
которой 

)

(

)

(

q

MC

q

MR

предельный доход равен предельным издержкам, прибыль максимальна. 

Отсюда находим: 

6

,

5

,

0

6

,

25

,

0

5

,

4

*

e

e

e

e

q

. 

 
Заметим, что, если курс больше девяти, то это соотношение также верно, так как в этом случае фирме 
выгодно  всю  продукцию  продавать  только  на  внешнем  рынке  и,  следовательно,  предельный  доход 
фирмы имеет вид 10

е

, а оптимальный выпуск равен 0,5

e

. 

 
(б)

 Содержательно полученный результат можно интерпретировать следующим образом. 

Ослабление национальной валюты вызывает два эффекта, влияющих на оптимальный выпуск фирмы: 
Негативный — рост издержек фирмы (в рублевом выражении) из-за удорожания импортного сырья. 
Позитивный — рост предельной выручки (в рублевом выражении) от продажи товара иностранцам. 
Сначала, по мере ослабления валютного курса выпуск падает из-за того, что преобладает негативный 
эффект (на первом участке позитивный эффект отсутствует вообще, так как продажа осуществляется 
только  на  внутренний  рынок).  Однако  затем  преобладающим  становится  позитивный  эффект  и 
выпуск начинает расти. 

Задача № 7

 (20 баллов)

 

Как поддерживать отечественный автопром?

 

Функции  спроса  и  предложения  на  рынке  автомобилей  в  стране 

И

  имеют  вид 

È

= 100

d

Q

P

, 

È

=

s

Q

P

. В стране 

Э

 соответствующие функции описываются уравнениями 

Ý

= 75

d

Q

P

, 

Ý

= 2

s

Q

P

.       

а)

Найдите мировую цену на автомобили в отсутствие ограничений на торговлю.

 

б) Стремясь защитить внутренних производителей, правительство страны 

И

 ввело потоварный тариф 

на  ввоз  автомобилей  из  страны 

Э

. 

Найдите  размер  тарифа  и  сумму  полученных  страной 

И

 

поступлений  от  него,  если  известно,  что  после  реализации  этой  меры  импорт  автомобилей  в 
страну уменьшился на 40 %.

 

в)  На  одном  из  заседаний  правительства  страны 

И

  обсуждалась  мера  поддержки  внутренних 

производителей, альтернативная импортному тарифу, — введение потоварной субсидии для них. 

При 

какой  ставке  субсидии  эта  мера  имела  бы  тот  же  эффект  с  точки  зрения  изменения  прибыли 
отечественных производителей, что и тариф из пункта б)? Каковы были бы расходы государства 
на выплату субсидии?

 

г)  Некий  гражданин  страны 

И

  прокомментировал  ситуацию  следующим  образом: 

«То,  что  был 

введен  тариф,  а  не  субсидия,  абсолютно  правильно.  Обе  меры  защищают  производителей  в 
одинаковой  степени,  однако  в  случае  тарифа  государство  получает  дополнительные  поступления 
(оплачиваемые за счет иностранцев!), в то время как в случае субсидии оно, наоборот, вынуждено 
тратить  бюджетные  средства.  Следовательно,  введенный  тариф  предпочтительнее  с  точки 
зрения общества нашей страны»

. 

Есть ли в этих рассуждениях ошибка?

 

 
Решение: 
(а)  В  отсутствие  вмешательства  равновесная  цена  равна  35,  а  объем  импорта  в  страну 

И

  равен 

(35)

(35)

30

d

s

Q

Q

. После введения тарифа объем импорта составил 

0, 6 30

18

.  

Заметим,  что  после  введения  тарифа  цены  в  странах  будут  разными,  причем  отличаться  они  будут 
ровно на величину тарифа (в стране 

И

 цена будет выше). Поэтому для ответа на вопрос достаточно 

найти 

I

P

 и 

E

P

; ответом будет их разность. 

После  введения  тарифа  объем  спроса  в  стране 

И

  превысил  объем  внутреннего  предложения  на  18 

единиц: 

(100

)

18

I

I

P

P

, откуда 

41

I

P

. 

С  другой  стороны,  в  стране  B  объем  предложения  должен  превысить  объем  спроса  на  18  единиц: 

2

(75

) 18

E

E

P

P

, откуда 

31

E

P

.  

В равновесии ставка тарифа в точности равна разнице цен между странами, и значит 

41 31 10

t

. 

Государство получит 

10 18 180

 ден. ед. 

(б) Заметим, что в силу конкурентного поведения фирм, их выпуск является однозначной функцией 
от  цены  производителя.  Значит,  и  прибыль  их  является  однозначной  функцией  от  цены 
производителя.  Следовательно,  субсидия  будет  иметь  тот  же  эффект,  если  цена,  фактически 
получаемая в новом равновесии производителями в стране A, будет совпадать с ценой из (а) (то есть 
будет равна 41). 
По цене 41 производители в А произведут те же 41 единицу, однако теперь цена для всех агентов, 
кроме этих производителей, будет единой. Найдем ее из условия на равновесие: 

(100

)

(75

)

41 (2 )

P

P

P

, 

откуда 

33, 5

P

. Значит, ставка субсидии должна быть равна 

41 33, 5

7, 5

.  

Государство потратит 

7, 5 41

307, 5

 ден. ед. на выплату субсидии. 

(в) Ошибка заключается в том, что в данном рассуждении не учтены потребители. Действительно, в 
случае  тарифа  цена  для  потребителей  в  стране 

И

  будет  высокой  (41),  в  то  время  как  в  случае 

субсидии она будет гораздо ниже (33,5). Таким образом, благосостояние потребителей выше в случае 
введения  субсидии,  чем  в  случае  введения  тарифа,  и  потому  вывод  о  том,  что  тариф  однозначно 
лучше с точки зрения общества, сделан безосновательно. 
 
Примечание: используя как меру благосостояния суммарный излишек агентов, можно доказать, что 
при  совершенной  конкуренции  субсидия  как  мера  поддержки  производителей  всегда  (для  любых 
функций  спроса  и  предложения!) 

лучше

  с  точки  зрения  общества,  чем  тариф  (настолько  большим 

оказывается проигрыш потребителей от тарифа).