Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 93

Всероссийская олимпиада школьников

2017

Экономика

Для этого вершина параболы, которую мы минимизирова-
ли в пункте

а)

, должна лежать или на соответствующей гра-

нице,

или за ней

(например, если получилось, что издержки

минимизируются при

𝑞

1

= 50

и

𝑞

2

= −10

, а при этом

𝑄 = 40

,

то нужно выбирать

𝑞

1

= 𝑄 = 40

и

𝑞

2

= 0

).

5 баллов

за корректное опре-

деление (с обоснованием) нуж-
ной границы (в зависимости от
способа). Из них 2 балла снима-

ется, если участник составляет

не неравенство, а уравнение, то

есть считает, что решение долж-

но находиться

строго на грани-

це

, и затем так и оставляет ответ

𝑄 = 15

.

В зависимости от способа решения пункта

а)

(которое мо-

жет быть в общем виде приведено в пункте

б)

, если пункт

а)

решался для

𝑄 = 25

) это будет или правая (

𝑞

2

⩾

𝑄

,

𝐿

⩾

2𝑄)

, или

левая (

𝑞

1

⩽

0

,

𝑙

⩽

0

) граница найденного интервала.

Решая соответствующее неравенство (

𝑞

2

= 2𝑄 − 30

⩽

0

или

𝑞

1

= 30 − 𝑄

⩾

𝑄

или

𝑙 = 6𝑄 − 90

⩽

0

или

𝐿 = 30

⩾

2𝑄

), вo всех

четырех случаях получаем

𝑄

⩽

15

.

1 балл

за подсчет ответа.

Значит, фирма не будет нанимать неопытных работни-

ков, если общее количество проектов не больше 15.

Примечание.

Более реалистичной является многопери-

одная модель, в которой неопытные работники со временем
приобретают опыт, и у фирмы возникает выбор: нанимать
опытных сотрудников со стороны или «выращивать» их у
себя. Однако если опытные сотрудники, получившие опыт
внутри фирмы и опытные работники со стороны в среднем
(1) обладают одинаковой квалификацией и (2) требуют оди-
наковую заплату, то более сложная модель сводится к про-
стой модели, рассмотренной в данной задаче.

Региональный этап

12

Задача 2.

«Консультанты»

Всероссийская олимпиада школьников

2017

Экономика

Задача 3.

«Денег нет, но вы держитесь!»

(30 баллов)

В закрытой экономике частное потребление равно

𝐶 = 50+(2/3)𝑌

𝑑

млрд р., где

𝑌

𝑑

––

располагаемый доход. Инвестиции постоянны и равны 50 млрд р.

Доходы государственного бюджета состояит только от поступлений от подоход-

ного налога, взимаемого с населения по ставке

𝑡

за каждый заработанный рубль. Рас-

ходы бюджета –– государственные закупки, определяемые правительством. В 2016 го-
ду из-за кризиса бюджет страны имел дефицит, поэтому председатель правительства
сделал заявление о бюджете на следующий год:

Денег нет, но вы держитесь! В 2017 году наш бюджет будет сбалансирован.
Чтобы достичь баланса, мы либо поднимем ставку подоходного налога в 2,5
раза, либо урежем госзакупки втрое. Всего доброго, хорошего настроения и здо-
ровья!

а)

(10 баллов)

Какую меру из предложенных двух должно выбрать правительство,

если оно хочет, чтобы сокращение реального ВВП в 2017 году было меньше?

б)

(20 баллов)

На какую величину в результате сократится реальный ВВП?

Решение.

а) Способ 1.

Пусть

𝑡

–– ставка налога в 2016 году,

𝐺

–– объ-

ем госзакупок, а

𝑌

1

и

𝑌

2

–– значения ВВП при выборе первой и

второй меры соответственно. Для сбалансированности бюд-
жета в 2017 году нужно, чтобы доходы бюджета были равны
расходам. В первом варианте это будет означать

2,5𝑡 ⋅ 𝑌

1

= 𝐺,

а во втором ––

По 4 балла

за составление каж-

дого из уравнений баланса.

𝑡 ⋅ 𝑌

2

= 𝐺/3.

Отсюда получаем

𝑌

1

=

𝐺

2,5𝑡

,

𝑌

2

=

𝐺

3𝑡

.

Отсюда ясно, что первая мера снижает ВВП не так сильно,

2 балла

за выражение значения

𝑌

и выбор меры.

как вторая.

Способ 2.

Можно найти изменения ВВП при применении

обеих мер непосредственно, а затем сравнить их. В первом

При таком способе решения

6

баллов

должно ставиться за со-

ставление корректной системы
уравнений

(3.1)

(

по 1 баллу

за

каждое уравнение),

2 балла

–– за

ее решение (возможно, непол-

ное, но достаточное для сравне-
ния

𝑌

1

и

𝑌

2

) и

2 балла

–– за срав-

нение

𝑌

1

и

𝑌

2

.

случае новый ВВП должен получиться равным 400, а во вто-
ром –– равным 1000/3 (решение приведено в пункте

б)

). Та-

ким образом, участник может просто решить пункт

б)

, а вы-

воды пункта

а)

будут следовать из него автоматически.

Региональный этап

13

Задача 3.

«Денег нет, но вы держитесь!»

Всероссийская олимпиада школьников

2017

Экономика

б)

Обозначим за

𝑌

0

объем ВВП в 2016 году. Тогда выпол-

нена система уравнений

⎧⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎨⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎩

𝑌

0

= 50 +

2
3

(𝑌

0

− 𝑡𝑌

0

) + 50 + 𝐺

𝑌

1

= 50 +

2
3

(𝑌

1

− 2,5𝑡𝑌

1

) + 50 + 𝐺

𝑌

2

= 50 +

2
3

(𝑌

2

− 𝑡𝑌

2

) + 50 + 𝐺/3

2,5𝑡 ⋅ 𝑌

1

= 𝐺

𝑡 ⋅ 𝑌

2

= 𝐺/3.

(3.1)

Первые три уравнения представляют собой формулу ВВП по

По 3 балла

за каждое из уравне-

ний системы. При этом система
может быть приведена в пункте

а)

, в этом случае ее нужно оце-

нить еще раз.

расходам (

𝑌 = 𝐶 + 𝐼 + 𝐺 + 𝑋

𝑛

), записанную для 2016 года и для

двух вариантов развития событий в 2017 году. Остальные два
уравнения являются условиями сбалансированности бюдже-
та для двух рассматриваемых политик.

Решать эту систему можно, например, так.

4 балла

за любое корректное

решение системы уравнений,

1 балл

за ответ. Если участник

привел ответ для неправильно
выбранной

меры

(то

есть

неверно решил пункт

а)

), то

балл за ответ не ставится, а

баллы

за

решение

системы

ставятся

пропорцильнально

продвижению в этом решении.

1. Подставляя

2,5𝑡𝑌

1

из четвертого уравнения во второе,

получаем

𝑌

1

= 50 +

2
3

(𝑌

1

− 𝐺) + 50 + 𝐺

, откуда

𝑌

1

= 300 + 𝐺

.

Подставляя

𝑡𝑌

2

из пятого уравнения в третье, получаем, что

𝑌

2

= 50 +

2
3

(𝑌

2

− 𝐺/3) + 50 + 𝐺/3

, откуда

𝑌

2

= 300 + 𝐺/3

.

2. Деля четвертое уравнение на пятое (это можно делать,

поскольку налог и госзакупки по условию существуют), по-
лучаем

𝑌

1

/𝑌

2

= 6/5

, и значит,

5(300 + 𝐺) = 6(300 + 𝐺/3)

, откуда

𝐺 = 100

. Значит,

𝑌

1

= 400

. Из четвертого уравнения получаем,

что

𝑡 = 10 %

.

3. Наконец, найдем ВВП в 2016 году из первого уравне-

ния. Подставляя найденные значения ставки налога и госза-
купок, получаем, что

𝑌

0

= 50 +

2
3

⋅ 0,9𝑌

0

+ 50 + 100,

откуда

𝑌

0

= 200/0,4 = 200 ⋅ 2,5 = 500

.

Значит, сокращение ВВП при повышении ставки налога

составит

𝑌

0

− 𝑌

1

= 500 − 400 = 100

.

Региональный этап

14

Задача 3.

«Денег нет, но вы держитесь!»

Всероссийская олимпиада школьников

2017

Экономика

Задача 4.

«Неравенство олигархов»

(30 баллов)

Кривая Лоренца в стране А описывается уравнением

𝑌 = 𝑋

2

; иными словами, доля

𝑋 ∈ [0; 1]

наиболее бедного населения получает долю

𝑋

2

всего дохода общества.

а)

(12 баллов)

Назовем 10 % богатейших жителей страны

олигархами

. Выведи-

те уравнение кривой Лоренца, отражающей распределение доходов

среди олигархов

.

Иными словами, определите, какую долю

𝑦

суммарного дохода всех олигархов полу-

чает доля

𝑥

наиболее бедных олигархов. Что больше –– степень неравенства доходов

среди олигархов или степень неравенства доходов во всей стране? (Степень неравен-
ства будем измерять с помошью коэффициента Джини.)

Проверьте себя: полученная вами кривая Лоренца (как и всякая кривая Лоренца) долж-

на проходить через точки (0; 0) и (1; 1).

б)

(10 баллов)

В стране B кривая Лоренца описывается уравнением

𝑌 = 1 − √1 − 𝑋

.

Выведите уравнение кривой Лоренца, отражающей распределение доходов среди
олигархов страны B (олигархами здесь также называются 10 % богатейших жителей).
Что больше –– степень неравенства доходов среди олигархов страны B или степень
неравенства доходов во всей стране?

в)

(8 баллов)

Что больше –– степень неравенства доходов среди 10 % богатейших

или среди 1 % богатейших жителей страны B? Среди 1 % богатейших или среди 0,1 %
богатейших жителей страны B?

Решение.

Чтобы определить, какую долю

𝑦

суммарного до-

хода всех олигархов получает доля

𝑥

наиболее бедных оли-

гархов, можно для каждого значения

𝑥

:

1) определить, какую часть составляет доход

всех олигархов

в общем доходе страны;

2) определить, какую часть составляет доход доли

𝑥

наи-

более бедных олигархов в общем доходе страны;

3) разделить второй показатель на первый.

а)

90 % населения, не входящие в группу олигархов, по-

лучают долю

𝑌 (0,9) = 0,81

всего дохода, а олигархи, следова-

тельно, получают

1 − 𝑌 (0,9) = 0,19

всего дохода

.

2 балла

за вывод доли дохода

олигархов в общем доходе.

Доля

𝑥

наиболее бедных олигархов составляет долю

0,1𝑥

от всего населения страны. При этом вместе с 90 %

не

олигархов

они составляют

0,9+0,1𝑥

населения и получают

𝑌 (0,9+0,1𝑥) =

= (0,9 + 0,1𝑥)

2

всего дохода; без учета

не

олигархов

они полу-

чают

𝑌 (0,9 + 0,1𝑥) − 𝑌 (0,9) = (0,9 + 0,1𝑥)

2

− 0,9

2

= 0,18𝑥 + 0,01𝑥

2

всего дохода

.

4 балла

за вывод доли дохода

𝑥

беднейших олигархов в доходе

страны.

Значит, в общем доходе всех олигархов доход

𝑥

наиболее

бедных из них составляет

2 балла

за вывод окончательно-

го уравнения.

𝑦 =

𝑌 (0,9 + 0,1𝑥) − 𝑌 (0,9)

1 − 𝑌 (0,9)

=

0,18𝑥 + 0,01𝑥

2

0,19

=

18
19

𝑥 +

1

19

𝑥

2

.

Это и есть искомое уравнение кривой Лоренца.

Региональный этап

15

Задача 4.

«Неравенство олигархов»

Всероссийская олимпиада школьников

2017

Экономика

𝑋 , 𝑥

0

1

𝑌 , 𝑦

1

𝑥

0,9

0,81

(0,9 + 𝑥)

2

𝑌 = 𝑋

2

𝑦 =

18
19

𝑥 +

1

19

𝑥

2

(a)

Страна A

𝑋

0

1

𝑌

1

𝑌 = 1 − √1 − 𝑋

(b)

Страна B

Рис. 4.1:

Кривые Лоренца

Графики приведены с целью ил-

люстрации авторского решения,

в решениях участников для пол-
ного балла они не требуются.

Сравнить степень неравенства можно двумя способами.

Способ 1.

(Не требует расчета коэффициентов Джини.)

Заметим, что полученная кривая Лоренца лежит ближе к ли-
нии абсолютного равенства, чем кривая Лоренца для всей
страны: действительно,

18
19

𝑥 +

1

19

𝑥

2

> 𝑥

2

для

𝑥 ∈ (0; 1)

, так как

в этом интервале

𝑥 > 𝑥

2

. (На Рис. 4.1a новая кривая Лорен-

ца почти неотличима от прямой линии.) Значит, коэффици-
ент Джини распределения доходов среди олигархов меньше,
чем коэффициент Джини для всей страны. Среди олигархов
степень неравенства доходов меньше, чем в стране в целом.

4 балла

за сравнение коэффици-

ентов Джини независимо от спо-

соба (иллюстрация необязатель-
на). Ответ без обоснования оце-

нивается в 0 баллов.

Способ 2.

Рассчитаем коэффициенты Джини. Во всей

стране коэффициент Джини равен

(

1
2

− ∫

1

0

𝑋

2

𝑑𝑋 ) ∶

1
2

= 1−2 ∫

1

0

𝑋

2

𝑑𝑋 = 1−2 (

1

3

3

−

0

3

3 )

= 1−

2
3

=

1
3

.

Среди олигархов кoэффициент Джини равен

(

1
2

− ∫

1

0

(

18
19

𝑥 +

1

19

𝑥

2

) 𝑑𝑥) ∶

1
2

= 1−2 ∫

1

0

(

18
19

𝑥 +

1

19

𝑥

2

) 𝑑𝑥 = 1−2 (

18
19

⋅

1
2

+

1

19

⋅

1
3)

=

2

57

.

Поскольку

2

57

<

1
3

, среди олигархов степень неравенства дохо-

дов меньше.

б)

Действуя по аналогии, получаем, что искомая кривая

Региональный этап

16

Задача 4.

«Неравенство олигархов»

Всероссийская олимпиада школьников

2017

Экономика

Лоренца будет иметь вид

Как и в пункте

а)

:

2 балла

за вы-

вод доли дохода олигархов в об-
щем доходе,

4 балла

за вывод

доли дохода

𝑥

беднейших оли-

гархов в доходе страны,

2 балла

за вывод окончательного урав-

нения.

𝑦 =

𝑌 (0,9 + 0,1𝑥) − 𝑌 (0,9)

1 − 𝑌 (0,9)

=

1 − √1 − 0,9 − 0,1𝑥 − (1 − √1 − 0,9)

1 − (1 − √1 − 0,9)

=

=

√0,1 − √0,1 − 0,1𝑥

√0,1

= 1 − √1 − 𝑥.

Таким образом, кривая Лоренца распределения доходов

среди 10 % богатейших имеет точно такой же вид, как кри-
вая Лоренца в стране в целом! Следовательно, коэффициент
Джини распределения доходов среди олигархов точно такой
же, как в стране в целом.

2 балла

за констатацию того, что

коэффициенты Джини одинако-

вы.

Примечание.

Для ответа на вопрос не понадобилось рас-

считывать сам коэффициент Джини (он равен

1/3

).

в)

Представим себе страну C, населенную только олигар-

хами страны B. 1 % богатейших жителей страны B являются
10 % богатейших жителей страны C (то есть олигархами сре-
ди олигархов). Таким образом, нам нужно сравнить неравен-
ство доходов в стране С в целом и неравенство доходов среди

олигархов страны C

.

В пункте

б)

мы решили точно такую же задачу для стра-

ны B; при этом мы вывели, что в стране C кривая Лоренца
имеет точно такой же вид как в стране B. Значит, и ответ
будет таким же: кривая Лоренца среди олигархов страны C
будет иметь такой же вид, как в стране С в целом, и

коэффи-

циент Джини будет тем же самым

. Продолжая по аналогии,

2 балла

за правильный ответ

на первый вопрос пункта,

4 бал-

ла

за объяснение.

получаем, что и среди 0,1 % богатейших жителей страны B
(1 % богатейших жителей страны C)

коэффициент Джини бу-

дет точно таким же

.

2 балла

за правильный ответ

на второй вопрос пункта, от-
дельное объяснение при нали-
чии верного объяснения ответа
на первый вопрос не требуется.

Примечание.

Распределение доходов в богатейших сло-

ях общества в реальном мире скорее похоже на распределе-
ние доходов в стране B, чем в А. Во многих странах распре-
деление доходов среди 5—10 % богатейших жителей хорошо
описывается кривой Лоренца

𝑦 = 1 − (1 − 𝑥)

𝛼

, где

𝛼 ∈ (0; 1)

.

Для страны B

𝛼 = 0,5

, а, например, в настоящее время в

США

𝛼 ≈ 0,4

. Такое распределение называется

распределени-

ем Парето

в честь итальянского экономиста Вильфредо Па-

рето, который первым обнаружил такую форму распределе-
ния доходов более 100 лет назад. Свойство, полученное нами

Это примечание носит информа-

ционный характер и не должно
требоваться при проверке ра-
бот.

в

б)

и

в)

(кривая Лоренца для

𝑡

% богатейших одинакова для

любого

𝑡

) выполняется для любого

𝛼

; этот феномен имеет ме-

сто и в реальном мире среди обеспеченных слоев населения.

Региональный этап

17

Задача 4.

«Неравенство олигархов»

ɸʧʛʦʤʧʧʞʟʧʠʖʵ ʤʡʞʢʥʞʖʚʖ ʮʠʤʡʲʣʞʠʤʘ ʥʤ ʳʠʤʣʤʢʞʠʛ

ɽʖʠʡʴʭʞʨʛʡʲʣʱʟ ʳʨʖʥ

ʂʤʧʠʘʖ ‰ ʖʥʦʛʡʵ  ʙʤʚʖ

ʅʛʦʘʱʟ ʨʩʦ ɽʖʚʖʭʞ

ɺʖʨʖ ʣʖʥʞʧʖʣʞʵ

 ʖʥʦʛʡʵ  ʙ

ʀʤʡʞʭʛʧʨʘʤ ʝʖʚʖʣʞʟ

ʇʩʢʢʖ ʗʖʡʡʤʘ

ɸʦʛʢʵ ʣʖʥʞʧʖʣʞʵ

 ʢʞʣʩʨ

ʆʛʮʛʣʞʵ

ʇʤʧʨʖʘʞʨʛʡʞ ʣʖʥʞʧʖʡʞ ʥʦʞʘʛʚʛʣʣʱʛ ʣʞʜʛ ʦʛʮʛʣʞʵ ʗʤʡʛʛ ʥʤʚʦʤʗʣʤ ʭʛʢ ʛʧʡʞ ʗʱ ʞʢ
ʧʖʢʞʢ ʥʦʞʮʡʤʧʲ ʩʭʖʧʨʘʤʘʖʨʲ ʘ ʤʡʞʢʥʞʖʚʛ ɺʖʣʣʱʟ ʚʤʠʩʢʛʣʨ ʧʤʚʛʦʜʞʨ ʥʤʵʧʣʛʣʞʵ
ʥʦʞʢʛʭʖʣʞʵ ʖʡʲʨʛʦʣʖʨʞʘʣʱʛ ʧʥʤʧʤʗʱ ʦʛʮʛʣʞʟ ʠʤʨʤʦʱʛ ʥʦʛʚʣʖʝʣʖʭʛʣʱ ʞʧʠʡʴʭʞ
ʨʛʡʲʣʤ ʚʡʵ ʞʣʪʤʦʢʞʦʤʘʖʣʞʵ ʜʴʦʞ ʖ ʨʖʠʜʛ ʘʧʛʫ ʠʨʤ ʗʩʚʛʨ ʦʖʝʗʞʦʖʨʲ ʳʨʞ ʝʖʚʖʭʞ ʘ ʚʖʡʲ
ʣʛʟʮʛʢ ʥʦʞ ʞʝʩʭʛʣʞʞ ʳʠʤʣʤʢʞʠʞ ʞʡʞ ʥʤʚʙʤʨʤʘʠʛ ʠ ʤʡʞʢʥʞʖʚʖʢ ʄʨ ʩʭʖʧʨʣʞʠʤʘ ʣʛ
ʨʦʛʗʩʛʨʧʵ ʧʡʞʮʠʤʢ ʥʤʚʦʤʗʣʤʙʤ ʦʛʮʛʣʞʵ ʘ ʡʴʗʤʢ ʧʡʩʭʖʛ ʧʖʢʤʛ ʘʖʜʣʤʛ ʥʦʞ ʤʬʛʣ
ʠʛ oo ʥʤʣʞʢʖʛʨ ʡʞ ʩʭʖʧʨʣʞʠ ʠʖʠ ʦʛʮʖʛʨʧʵ ʝʖʚʖʭʖ

ʇʖʢʖʵ ʘʖʜʣʖʵ ʘʛʯʲ ʣʖ ʄʡʞʢʥʞʖʚʛ ‰ ʣʛ ʥʤʗʛʚʖ ʖ ʩʭʖʧʨʞʛ ʨʖʠ ʜʛ ʠʖʠ ʘ ʜʞʝʣʞ ʘʖʜʛʣ

ʣʛ ʨʦʞʩʢʪ ʖ ʗʤʦʲʗʖ ɾʢʛʛʨ ʝʣʖʭʛʣʞʛ ʣʛ ʨʤ ʭʨʤ ʘʱ ʝʖʘʤʛʘʖʡʞ ʖ ʨʤ ʠʖʠ ʘʱ ʗʞʡʞʧʲ

‰ ʅʲʛʦ ʚʛ ʀʩʗʛʦʨʛʣ

 ʖʥʦʛʡʵ  ʙ

ʟ ʨʩʦ ɽʖʚʖʭʞ

ɽʖʚʖʭʖ 

 ʇʥʦʤʧ ʦʤʜʚʖʛʨ ʥʦʛʚʡʤʜʛʣʞʛ

ʊʞʦʢʖ jʂʤʦʞʖʦʨʞx ʵʘʡʵʛʨʧʵ ʢʤʣʤʥʤʡʞʧʨʤʢ ʣʖ ʦʛʙʞʤʣʖʡʲʣʤʢ ʦʱʣʠʛ ʧʘʛʜʞʫ ʧʡʞʘ ʊʩʣʠʬʞʵ

ʧʥʦʤʧʖ ʣʖ ʧʡʞʘʱ ʘ ʦʛʙʞʤʣʛ ʞʢʛʛʨ ʘʞʚ

R

E

(

Q

)

=

Ċđĉ

−

Q

E

 ʥʦʞ ʬʛʣʖʫ ʘʱʮʛ  ʥʤʨʦʛʗʞʨʛʡʞ ʣʞʭʛʙʤ

ʣʛ ʥʤʠʩʥʖʴʨ ʙʚʛ

Q

E

oo ʬʛʣʖ ʣʖ ʦʛʙʞʤʣʖʡʲʣʤʢ ʦʱʣʠʛ ʊʞʦʢʖ ʘʡʖʚʛʛʨ ʤʚʣʞʢ ʝʖʘʤʚʤʢ ʞʝʚʛʦʜʠʞ

ʥʦʤʞʝʘʤʚʧʨʘʖ ʧʡʞʘ ʣʖ ʠʤʨʤʦʤʢ ʝʖʘʞʧʵʨ ʤʨ ʤʗʰʛʢʖ ʘʱʥʩʧʠʖ ʧʡʛʚʩʴʯʞʢ ʤʗʦʖʝʤʢ

5$

Ċ

(

R

Ċ

)

=

⎧⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪

⎩

R

ċ

Ċ

+

Ċċ

R

Ċ

+

ċĉĊĐ

,

ʛʧʡʞ

R

>

ĉ

;

ĉ

,

ʛʧʡʞ

R

=

ĉ

.

ʉ ʪʞʦʢʱ ʛʧʨʲ ʘʤʝʢʤʜʣʤʧʨʲ ʤʨʠʦʱʨʲ ʘʨʤʦʤʟ ʝʖʘʤʚ ʪʩʣʠʬʞʵ ʞʝʚʛʦʜʛʠ ʣʖ ʠʤʨʤʦʤʢ ʗʩʚʛʨ ʨʖʠʤʟ

ʜʛ ʠʖʠ ʣʖ ʥʛʦʘʤʢ  ʤʗʰʛʢ ʘʱʥʩʧʠʖ ʣʖ ʘʨʤʦʤʢ ʝʖʘʤʚʛ ʤʗʤʝʣʖʭʞʢ ʝʖ

R

ċ

ʖ   ʗʖʡʡʤʘ

ʕʘʡʵʛʨʧʵ ʡʞ ʤʨʠʦʱʨʞʛ ʘʨʤʦʤʙʤ ʝʖʘʤʚʖ ʤʥʨʞʢʖʡʲʣʱʢ ʦʛʮʛʣʞʛʢ ʧ ʨʤʭʠʞ ʝʦʛʣʞʵ

ʢʖʠʧʞʢʞʝʖʬʞʞ ʥʦʞʗʱʡʞ 

ʗ   ʗʖʡʡʤʘ

ʊʞʦʢʖ jʂʤʦʞʖʦʨʞx ʦʖʧʧʢʖʨʦʞʘʖʛʨ ʘʤʝʢʤʜʣʤʧʨʲ ʘʱʫʤʚʖ ʣʖ ʦʱʣʤʠ ʧʤʧʛʚʣʛʙʤ

ʦʛʙʞʤʣʖ ɻʧʡʞ ʤʣʖ ʳʨʤ ʧʚʛʡʖʛʨ ʨʤ ʤʧʨʖʣʛʨʧʵ ʢʤʣʤʥʤʡʞʧʨʤʢ ʘ ʧʘʤʛʢ ʦʛʙʞʤʣʛ ʖ ʘ ʧʤʧʛʚʣʛʢ ʧʢʤʜʛʨ
ʥʦʤʚʖʨʲ ʡʴʗʤʟ ʤʗʰʛʢ ʘʱʥʩʧʠʖ

R

G

ʥʤ ʬʛʣʛ  ʇʨʤʞʨ ʡʞ ʪʞʦʢʛ ʘʱʫʤʚʞʨʲ ʣʖ ʣʤʘʱʟ ʚʡʵ ʣʛʛ ʦʱʣʤʠ 

ɻʧʡʞ ʚʖ ʨʤ ʧʨʤʞʨ ʡʞ ʥʦʞ ʳʨʤʢ ʤʨʠʦʱʘʖʨʲ ʘʨʤʦʤʟ ʝʖʘʤʚ 

ʆʛʮʛʣʞʛ

ʇʣʖʭʖʡʖ ʣʖʟʚʛʢ ʤʗʯʩʴ ʪʩʣʠʬʞʴ ʞʝʚʛʦʜʛʠ ʚʡʵ ʧʡʩʭʖʵ ʤʨʠʦʱʨʞʵ ʘʨʤʦʤʙʤ ʝʖʘʤʚʖ ʨʤ ʛʧʨʲ ʥʦʞ

2

=

R

Ċ

+

R

ċ

R

ċ

>

ĉ ʅʦʞ ʤʥʨʞʢʖʡʲʣʤʢ ʦʖʧʥʦʛʚʛʡʛʣʞʞ ʘʱʥʩʧʠʖ ʢʛʜʚʩ ʝʖʘʤʚʖʢʞ  ʛʧʡʞ ʣʖ ʤʗʤ

ʞʫ ʝʖʘʤʚʖʫ ʥʦʤʞʝʘʤʚʞʨʧʵ ʣʛʣʩʡʛʘʤʛ ʠʤʡʞʭʛʧʨʘʤ ʨʤʘʖʦʖ ʥʦʛʚʛʡʲʣʱʛ ʞʝʚʛʦʜʠʞ ʣʖ ʚʘʩʫ ʝʖʘʤʚʖʫ
ʚʤʡʜʣʱ ʗʱʨʲ ʦʖʘʣʱ ɻʧʡʞ ʳʨʤ ʗʩʚʛʨ ʣʛ ʨʖʠ ʨʤ ʚʤʧʨʖʨʤʭʣʤ ʥʛʦʛʢʛʧʨʞʨʲ ʣʛʗʤʡʲʮʤʟ ʤʗʰʛʢ ʥʦʤ
ʞʝʘʤʚʧʨʘʖ ʧ ʨʤʙʤ ʝʖʘʤʚʖ ʙʚʛ ʞʝʚʛʦʜʠʞ ʥʦʤʞʝʘʤʚʧʨʘʖ ʥʤʧʡʛʚʣʛʟ ʛʚʞʣʞʬʱ ʗʤʡʲʮʛ ʨʩʚʖ ʙʚʛ ʤʣʞ
ʢʛʣʲʮʛ ʞ ʞʝʚʛʦʜʠʞ ʩʢʛʣʲʮʖʨʧʵ ʥʦʞ ʣʛʞʝʢʛʣʣʤʟ ʘʱʦʩʭʠʛ

ɽʣʖʭʞʨ ʚʤʡʜʣʤ ʗʱʨʲ ʘʱʥʤʡʣʛʣʤ

.$

Ċ

(

R

ċ

)

=

.$

ċ

(

R

ċ

)

,

ċ

R

Ċ

+

Ċċ

=

ċ

R

ċ

+

Ċċ

,

R

Ċ

=

R

ċ

=

2

/

ċ

.

ʇʤʧʨʖʘʞʢ ʪʩʣʠʬʞʴ ʤʗʯʞʫ ʞʝʚʛʦʜʛʠ ʤʨ ʧʩʢʢʖʦʣʤʙʤ ʤʗʰʛʢʖ ʘʱʥʩʧʠʖ

5$

(

2

)

=

5$

Ċ

(

R

Ċ

)

+

5$

ċ

(

R

ċ

)

=

ċ

⋅

(

(

2

/

ċ

)

ċ

+

Ċċ

(

2

/

ċ

)

+

ċĉĊĐ

)

=

2

ċ

/

ċ

+

Ċċ

2

+

čĉČč

.

 

ʈʖʠʞʢ ʤʗʦʖʝʤʢ ʘ ʤʗʤʞʫ ʥʩʣʠʨʖʫ ʝʖʚʖʭʞ ʪʞʦʢʖ ʢʤʜʛʨ ʘʱʗʞʦʖʨʲ ʢʛʜʚʩ ʪʩʣʠʬʞʛʟ ʞʝʚʛʦʜʛʠ ʠʤʨʤ
ʦʖʵ ʚʖʣʖ ʘ ʩʧʡʤʘʞʞ ʞ ʪʩʣʠʬʞʛʟ ʞʝʚʛʦʜʛʠ