Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 92

Всероссийская олимпиада школьников

2017

Экономика

При этом помните, что приведенные ниже схемы проверки и обозначенные выше

принципы будут применяться сегодня во всех регионах; для сопоставимости резуль-
татов необходимо следовать им максимально четко. В случае если решение участника
не укладывается в предложенную схему проверки, примите решение исходя из сво-
его опыта и справедливости. В спорных случаях вы можете спросить совета у коллег
из других регионов или у ЦПМК на странице

http://iloveeconomics.ru/olimp/region/2017/grading

. Если ЦПМК посчитает нужным про-

яснить какие-либо аспекты авторских решений или схем проверки, она сделает это
в день проведения этапа на той же странице, поэтому членам жюри из всех регионов
рекомендуется следить за содержанием этой страницы при проверке работ.

Если вам потребуется неотложная консультация в день проведения регионального

этапа, вы можете написать ЦПМК по экономике напрямую: region@iloveeconomics.ru.

Удачи!

ЦПМК по экономике, 2017 год

Региональный этап

4

Всероссийская олимпиада школьников

2017

Экономика

Задача 1.

«Импортозамещение»

(30 баллов)

𝑥

1

+ 𝑦

1

= 190

2𝑥

2

+ 𝑦

2

= 80

3𝑥

3

+ 𝑦

3

= 90

4𝑥

4

+ 𝑦

4

= 140

Мир состоит из четырех стран –– Первой, Второй, Третьей и Чет-

вертой; в них могут производиться два товара –– Икс и Игрек. Уравне-
ния КПВ четырех стран представлены в таблице. Товары во всех стра-
нах потребляются только в комплектах, состоящих строго из

𝐾

еди-

ниц Игрека и одной единицы Икса.

Изначально страны свободно торгуют товарами. В равновесии производство то-

варов распределяется эффективно между странами, причем две страны производят
только Икс, а две –– только Игрек. Известно, что одна из четырех стран (назовем ее
«страна

N

») экспортирует 100 единиц Игрека.

а)

(12 баллов)

Определите значение

𝐾

. Какую страну мы обозначили буквой

N

?

б)

(6 баллов)

В стране

N

пришел к власти новый президент, основа программы

которого –– поддержка отечественного производителя и импортозамещение. Новый
президент запретил импорт Икса, и страна перестала участвовать в мировой торговле.
Определите, в какую сторону и на сколько единиц в результате этого изменилось
потребление комплектов из

𝐾

единиц Икса и единицы Игрека в данной стране.

в)

(12 баллов)

Определите, в какую сторону и на сколько единиц в результате собы-

тий пункта

б)

изменилось суммарное потребление комплектов в остальных странах.

(Считайте, что после исключения страны

N

из торговли на мировом рынке устано-

вилось новое равновесие, и в нем производство товаров распределяется эффективно
между торгующими странами.)

Решение.

а)

Определить

𝐾

можно

одним из двух способов

.

Корректное

решение

любым

способом приносит 9 баллов.

Способ 1.

При эффективном распределении производ-

ства

товар производят те страны, в которых альтернатив-

ные издержки его производства минимальны.

4 балла

за идею о сравнитель-

ном преимуществе.

В данном случае альтернативные издержки производ-

ства Икса равны 1, 2, 3 и 4 единицы Игрека в странах соответ-
ственно.

Значит, товар Икс производят страны 1 и 2, а то-

вар Игрек –– страны 3 и 4.

Таким образом, общее производ-

2 балла

за корректный вывод

о том, какие страны что произво-

дят.

ство Икса равно

190 + 80/2 = 230

, общее производства Игрека

равно

90 + 140 = 230

. Следовательно, товары потребляются

в пропорции

1 ∶ 1

,

то есть

𝐾 = 1

.

3 балла

за расчет суммарного

производства и определение

𝐾

.

Способ 2.

Тот же результат можно было получить,

по-

строив суммарную КПВ

(Рис. 1.2). Точка на КПВ, в которой две

Построение суммарной КПВ ––

6 баллов

.

страны производят только Икс –– это вторая точка излома
КПВ (если считать слева направо), ее координаты ––

(230; 230)

.

Через нее и начало координат проходит прямая с наклоном
1

(отсюда получается

𝐾 = 1

)

.

3 балла

за определение

𝐾

.

В странах 1 и 2 производится Икс, и поэтому они не экс-

портируют Игрек. Страна 3 производит 90 единиц Игрека,

Региональный этап

5

Задача 1.

«Импортозамещение»

Всероссийская олимпиада школьников

2017

Экономика

𝑥

1

190

𝑦

1

190

𝑥

1

+ 𝑦

1

= 190

Первая страна

𝑥

2

40

𝑦

2

28

80

2𝑥

2

+ 𝑦

2

= 80

Вторая страна

𝑥

3

30

𝑦

3

90

3𝑥

3

+ 𝑦

3

= 90

Третья страна

𝑥

4

35

𝑦

4

140

4𝑥

4

+ 𝑦

4

= 140

Четвертая страна

Рис. 1.1:

Кривые производственных возможностей отдельных стран

и поэтому она не может экспортировать 100 единиц.

Значит,

«страна

N

» –– это страна 4

.

3 балла

за определение

N

.

б)

Поскольку страна 4 экспортирует 100 единиц Игрека и

производит 140,

для домашнего потребления остается 40 еди-

ниц Игрека, а 40 единиц Икса импортируется

.

2 балла

за корректный подсчет

потребления в условиях торгов-

ли.

В отсутствие торговли (в условиях

автаркии

) страна 4 бу-

дет производить равное количество единиц Икса и Игрека
(и потреблять столько же). Значит,

4𝑥

4

+ 𝑥

4

= 140

, откуда

𝑥

4

=

= 𝑦

4

= 28

. В условиях торговли страна потребляла по 40 еди-

3 балла

за подсчет потребления

в автаркии.

ниц Икса и Игрека. Значит, потребление комплектов из Икса
и Игрека

сократилось на 12 единиц

(Рис. 1.3b).

1 балл

за правильный ответ.

Этот результат не должен вызвать удивления:

отказыва-

ясь от участия в торговле, страна лишает себя возможности
покупать товар дешевле, чем ей обходится его производство

.

Если по приведенной выше схе-
ме участник набрал меньше 2
баллов за пункт, но в решении

на качественном уровне присут-

ствует данная идея, то пункт оце-
нивается в

2 балла

.

Региональный этап

6

Задача 1.

«Импортозамещение»

Всероссийская олимпиада школьников

2017

Экономика

𝑋

190 230 260 295

𝑌

140

230

310

500

1

2

3

4

𝑌 = 𝑋

Рис. 1.2:

Суммарная КПВ

в)

В условиях торговли со страной 4 страны 1, 2 и 3 в сум-

ме потребляли

230 − 40 = 190

единиц Икса и Игрека. После

исключения страны 4 из торговли объемы потребления бу-
дут определяться пересечением суммарной КПВ стран 1, 2 и 3
и прямой

𝑌 = 𝑋

.

Суммарная КПВ стран 1, 2 и 3 является ломаной, соеди-

няющей точки

(0; 360)

,

(190; 170)

,

(230; 90)

,

(260; 0)

, она пред-

ставлена на Рис. 1.3a. Поскольку точка излома

(190; 170)

ле-

Построение суммарной КПВ ––

6 баллов

.

жит ниже прямой

𝑌 = 𝑋

, пересечение будет достигаться на

первом участке КПВ. Первый участок описывается уравне-

Региональный этап

7

Задача 1.

«Импортозамещение»

Всероссийская олимпиада школьников

2017

Экономика

𝑋

190

230 260

𝑌

90

170

180

190

360

1

2

3

𝑌 = 𝑋

(a)

Страны 1, 2, 3

𝑥

4

28 40

𝑦

4

28

40

140

4𝑥

4

+ 𝑦

4

= 140

𝑦

4

= 𝑥

4

(b)

Четвертая страна

Рис. 1.3:

В результате импортозамещения происходит переход потребления из точки

побольше в точку поменьше

нием

𝑌 = 360 − 𝑋

, значит, точка пересечения удовлетворяет

уравнению

360 − 𝑋 = 𝑋

, откуда

𝑋 = 180

. Значит, суммар-

5 баллов

за поиск новой точки

потребления.

ное потребление комплектов из Икса и Игрека в трех странах
уменьшилось на

190 − 180 = 10

единиц.

1 балл

за ответ.

Этот результат не должен вызвать удивления:

когда од-

на из стран отказалась от участия в торговле, остальные
страны потеряли возможность покупать товар, в котором
она имеет сравнительное преимущество

.

Если по приведенной выше схе-
ме участник набрал меньше 4
баллов за пункт, но в решении

на качественном уровне присут-

ствует данная идея, то пункт оце-
нивается в

4 балла

. В ином слу-

чае, как и в пункте

б)

, баллы

за содержательное объяснение

не ставятся, а ставятся только за

расчеты.

Примечание:

интересно, что страна 4 пострадала от соб-

ственной изоляции сильнее, чем все остальные страны вме-
сте взятые (

12 > 10

), и уж тем более сильнее, чем какая-либо

другая страна в среднем (

12 > 10/3

). Подумайте, выполняется

ли это свойство всегда или его выполнение зависит от пара-
метров модели.

Региональный этап

8

Задача 1.

«Импортозамещение»

Всероссийская олимпиада школьников

2017

Экономика

Задача 2.

«Консультанты»

(30 баллов)

Знаменитая консалтинговая компания MBB занимается оптимизацией процессов

на различных предприятиях, отправляя туда команды консультантов. Оптимизацию
процессов на одном предприятии назовем

проектом

(пример проекта: улучшение

структуры управления на металлургическом комбинате X). Проект длится один ме-
сяц. Консультанты бывают двух типов –– опытные и неопытные. Для качественного
выполнения проекта в срок можно поставить на проект либо двух опытных консуль-
тантов, либо одного опытного и трех неопытных (без одного опытного никак не обой-
тись, но в одиночку ему не справиться). Консультант может работать одновременно
только над одним проектом.

Зарплата одного неопытного консультанта равна 100 тыс. руб. в месяц, и предло-

жение их услуг на рынке не ограничено (выпускников экономических и математиче-
ских факультетов –– множество). Опытные же консультанты –– редкий вид, их прихо-
дится с трудом переманивать из конкурирующих компаний, и поэтому найм каждого
следующего обходится дороже. Чтобы нанять

𝐿

опытных консультантов, фирме нуж-

но затратить

𝐿 ⋅ (240 + 𝐿)

тыс. руб. в месяц.

Всего в следующем месяце фирма собирается выполнить

𝑄

проектов.

а)

(15 баллов)

Допустим,

𝑄 = 25

. Сколько опытных и неопытных консультантов ей

следует нанять, чтобы минимизировать издержки на выполнение проектов?

б)

(15 баллов)

При каких значениях

𝑄

фирма не будет нанимать неопытных кон-

сультантов?

Решение.

В пункте

а)

приведено решение для произвольно-

го

𝑄

, потому что это удобно для выводов пункта

б)

. Участник

может решать первый пункт сразу для

𝑄 = 25

, баллы за это

не снижаются, схема проверки написана для решения при

𝑄 = 25

. Решение для произвольного

𝑄

, выполненное в этом

пункте, может принести баллы в пункте

б)

.

а)

Пусть

𝑞

1

–– количество проектов, на которые фирма бу-

дет ставить неопытных консультантов вместе с опытными,
а

𝑞

2

–– количество проектов, на которые фирма будет ставить

только двух опытных консультантов,

𝑞

1

+ 𝑞

2

= 𝑄

. Обозна-

(1) 5 баллов

за формализацию

задачи,

включая

выражение

спроса на квалифицированный
и

неквалифицированный

труд в зависимости от коли-

чества проектов двух типов,
а

также

функции

издержек

в зависимости от затрат труда.

чим за

𝑙

количество неопытных консультантов, за

𝐿

–– коли-

чество опытных. Тогда

𝑙 = 3𝑞

1

,

𝐿 = 𝑞

1

+2𝑞

2

. Затраты компании

на услуги труда консультантов равны

𝐶 = 100𝑙 + 𝐿 ⋅ (240 + 𝐿).

Нужно минимизировать эту функцию при ограничениях

𝑙 = 3𝑞

1

,

𝐿 = 𝑞

1

+2𝑞

2

,

𝑞

1

+𝑞

2

= 𝑄

. Эту задачу можно свести к зада-

че минимизации по одной переменной. Поскольку перемен-
ных у нас четыре (

𝑞

1

,

𝑞

2

,

𝑙

и

𝐿

), это можно сделать четырьмя

способами.

Региональный этап

9

Задача 2.

«Консультанты»

Всероссийская олимпиада школьников

2017

Экономика

Способ 1 (по

𝑞

1

).

Подставим выражения для

𝑙

и

𝐿

в целе-

вую функцию:

𝐶 = 100𝑙 + 𝐿 ⋅ (240 + 𝐿) = 100 ⋅ 3𝑞

1

+ 240(𝑞

1

+ 2𝑞

2

) + (𝑞

1

+ 2𝑞

2

)

2

.

Затем, подставляя

𝑞

1

= 𝑄 − 𝑞

2

, получаем

(2) 4 балла

за получение целе-

вой функции одной переменной.

𝐶 = 540(𝑄 − 𝑞

2

) + 480𝑞

2

+ (𝑄 + 𝑞

2

)

2

= 𝑞

2

2

− (60 − 2𝑄)𝑞

2

+ 𝑄

2

+ 540𝑄.

Фирма минимизирует значение этого выражения по

𝑞

2

на отрезке

[0; 𝑄]

. Относительно

𝑞

2

это парабола с ветвями

вверх

, и поэтому минимум издержек достигается в ее вер-

шине

𝑞

⋆

2

= 30 − 𝑄

, если

𝑞

⋆

2

∈ [0; 𝑄]

. Тот же ответ можно полу-

(3) 5 баллов

за поиск оптималь-

ного

𝑞

. Из них 1 балл снимает-

ся, если не проверено, что най-

ден именно минимум (достаточ-
ное условие).

чить, взяв производную функции по

𝑞

2

(

𝐶′ = 2𝑞

2

− (60 − 2𝑄)

) и

приравняв ее к 0. В этом случае можно заметить, что произ-
водная в критической точке меняет знак с − на + (варианты:
первая производная возрастает, вторая производная равна 2,
то есть положительна), так что это точка минимума.

При

𝑄 = 25

имеем

𝑞

⋆

2

= 30 − 25 = 5 ∈ [0; 25]

.

Способ 2 (по

𝑞

2

).

Подставим выражения для

𝑙

и

𝐿

в целе-

вую функцию:

𝐶 = 100𝑙 + 𝐿 ⋅ (240 + 𝐿) = 100 ⋅ 3𝑞

1

+ 240(𝑞

1

+ 2𝑞

2

) + (𝑞

1

+ 2𝑞

2

)

2

.

Затем, подставляя

𝑞

2

= 𝑄 − 𝑞

1

, получаем

(2) 4 балла

за получение целе-

вой функции одной переменной.

𝐶 = 540𝑞

1

+ 480(𝑄 − 𝑞

1

) + (2𝑄 − 𝑞

1

)

2

= 𝑞

2

1

+ (60 − 4𝑄)𝑞

1

+ 4𝑄

2

+ 480𝑄.

Фирма минимизирует значение этого выражения по

𝑞

1

на отрезке

[0; 𝑄]

. Относительно

𝑞

1

это парабола с ветвями

вверх

, и поэтому минимум издержек достигается в ее вер-

шине

𝑞

⋆

1

= 2𝑄 − 30

, если

𝑞

⋆

1

∈ [0; 𝑄]

. Тот же ответ можно полу-

(3) 5 баллов

за поиск оптималь-

ного

𝑞

. Из них 1 балл снимает-

ся, если не проверено, что най-

ден именно минимум (достаточ-
ное условие).

чить, взяв производную функции по

𝑞

1

(

𝐶′ = 2𝑞

1

+ (60 − 4𝑄)

) и

приравняв ее к 0. В этом случае можно заметить, что произ-
водная в критической точке меняет знак с − на + (варианты:
первая производная возрастает, вторая производная равна 2,
то есть положительна), так что это точка минимума.

При

𝑄 = 25

имеем

𝑞

⋆

1

= 50 − 30 = 20 ∈ [0; 25]

.

Окончание способов 1 и 2.

Значит, на 5 проектов фирма

отправит только опытных консультантов, а на 20 –– группы
из 1 опытного и 3 неопытных консультантов.

Всего она най-

мет

𝑙 = 3𝑞

1

= 60

неопытных и

𝐿 = 𝑞

1

+ 2𝑞

2

= 30

опытных

консультантов

.

(4) 1 балл

за подсчет ответа

Региональный этап

10

Задача 2.

«Консультанты»

Всероссийская олимпиада школьников

2017

Экономика

Способ 3 (по

𝑙

).

Выразим

𝑞

1

и

𝑞

2

через

𝑙

и

𝐿

.

𝑞

1

= 𝑙/3

, и

поэтому

𝐿 = 𝑞

1

+ 2𝑞

2

= 𝑙/3 + 2𝑞

2

. Отсюда

𝑞

2

= (𝐿 − 𝑙/3)/2

. Значит,

ограничение

𝑞

1

+ 𝑞

2

= 𝑄

принимает вид

𝑙/3 + (𝐿 − 𝑙/3)/2 = 𝑄

,

то есть

𝑙/6 + 𝐿/2 = 𝑄

. Oтсюда

𝐿 = 2𝑄 − 𝑙/3

. Подставляя это

соотношение в целевую функцию, получаем

(2) 4 балла

за получение целе-

вой функции одной переменной.

𝐶 = 100𝑙+𝐿⋅(240+𝐿) = 100𝑙+480𝑄−80𝑙+(2𝑄−𝑙/3)

2

= 𝑙

2

/9+(20−4𝑄/3)𝑙+480𝑄+4𝑄

2

.

Фирма минимизирует значение этого выражения по

𝑙

на отрезке

[0; 6𝑄]

. Относительно

𝑙

это парабола с ветвями

вверх

, и поэтому минимум издержек достигается в ее вер-

шине

𝑙

⋆

= 6𝑄 − 90

, если

𝑙

⋆

∈ [0; 6𝑄]

. Тот же ответ можно полу-

(3) 5 баллов

за поиск оптималь-

ного

𝑞

. Из них 1 балл снимает-

ся, если не проверено, что най-

ден именно минимум (достаточ-
ное условие).

чить, взяв производную функции по

𝑙

(

𝐶′ = 2𝑙/9+(20−4𝑄/3)

) и

приравняв ее к 0. В этом случае можно заметить, что произ-
водная в критической точке меняет знак с − на + (варианты:
первая производная возрастает, вторая производная равна 2,
то есть положительна), так что это точка минимума.

При

𝑄 = 25

имеем

𝑙

⋆

= 150 − 90 = 60 ∈ [0; 6 ⋅ 25]

. Получаем

тот же ответ, что выше:

фирма наймет 60 неопытных и

𝐿

⋆

=

2 ⋅ 25 − 𝑙

⋆

/3 = 30

опытных консультантов

.

(4) 1 балл

за подсчет ответа

Способ 4 (по

𝐿

).

Аналогично способу 3, получаем, что

𝑙/6+

𝐿/2 = 𝑄

. Отcюда

𝑙 = 6𝑄 − 3𝐿

. Подставляя это соотношение в

целевую функцию, получаем

(2) 4 балла

за получение целе-

вой функции одной переменной.

𝐶 = 100𝑙 + 𝐿 ⋅ (240 + 𝐿) = 𝐿

2

+ 240𝐿 + 100(6𝑄 − 3𝐿) = 𝐿

2

− 60𝐿 + 600𝑄.

Фирма минимизирует значение этого выражения по

𝐿

на отрезке

[0; 2𝑄]

. Относительно

𝐿

это парабола с ветвями

вверх

, и поэтому минимум издержек достигается в ее вер-

шине

𝐿

⋆

= 30

, если

𝐿

⋆

∈ [0; 2𝑄]

. Тот же ответ можно полу-

(3) 5 баллов

за поиск оптималь-

ного

𝑞

. Из них 1 балл снимает-

ся, если не проверено, что най-

ден именно минимум (достаточ-
ное условие).

чить, взяв производную функции по

𝐿

(

𝐶′ = 2𝐿−60

) и прирав-

няв ее к 0. В этом случае можно заметить, что производная
в критической точке меняет знак с − на + (варианты: первая
производная возрастает, вторая производная равна 2, то есть
положительна), так что это точка минимума.

При

𝑄 = 25

имеем

𝐿

⋆

= 30 ∈ [0; 2 ⋅ 25]

. Получаем тот же

ответ, что выше:

фирма наймет 30 опытных консультантов

и

6 ⋅ 25 − 3 ⋅ 30 = 60

неопытных консультантов

.

(4) 1 балл

за подсчет ответа

б)

Будем руководствоваться ответами, полученными в

предыдущем пункте для произвольного

𝑄

.

Если участник решал пункт

а)

сразу в общем виде, то баллы,
полученные по критериям

(2)

и

(3)

, нужно удвоить. Если реше-

ние в общем виде впервые при-
ведено в пункте

б)

(а пункт

а)

ре-

шается для случая

𝑄 = 25

), то

нужно проверить его по крите-
риям

(2)

и

(3)

пункта

а)

.

Если фирма не нанимает неопытных консультантов, то

𝑞

1

= 0

,

𝑞

2

= 𝑄

,

𝑙 = 0

,

𝐿 = 2𝑄

то есть

𝑞

1

и

𝑙

должны лежать на

левой границе допустимого интервала, а

𝑞

2

и

𝐿

–– на правой.

Региональный этап

11

Задача 2.

«Консультанты»