содержание .. 80 81 82 83 ..
Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 82
16 апреля 2018 г.
2-й тур
10-11-й класс
Решение
а)
Подставим ресурсные ограничения в производственные функции и получим КПВ:
y
L
=
(
b
L
+
b
R
/
4
)(
160
−
b
L
)
y
R
=
(
b
R
+
b
L
/
4
)(
200
−
b
R
)
Построим их графически:
Рис. 7.1: КПВ отдельных берегов
У КПВ есть возрастающие участки. Если нам нужно не производственное множество, а множе-
ство наборов, доступных для потребления, то можно предположить, что каждый берег может лег-
ко утилизировать часть произведенного меда (на рисунке представлены оба варианта, в решении
участников засчитывается любой).
Теперь найдем оптимальный выбор каждого берега. Прямые
y
L
=
50
b
L
и
y
R
=
100
b
R
(задавае-
мые рецептами из условия) пересекут КПВ на убывающих участках парабол. Например, для левого
берега вершина параболы точно левее 80, а количество хлопьев при этом не меньше 6400. При
этом на прямой лежит точка (80, 4000) –– пересечение будет дальше от начала координат, чем она.
Доказательство для правого берега аналогично.
Чтобы выбор обоих берегов составлял равновесие (по определению, данному в условии), оба
равенства должны выполняться одновременно –– иначе кому-то будет выгодно поменять свое ре-
шение. Составим систему:
{
50
b
L
=
−
b
2
L
−
b
L
b
R
4
+
40
b
R
+
160
b
L
100
b
R
=
−
b
2
R
−
b
L
b
R
4
+
50
b
L
+
200
b
R
Вычитая одно равенство из другого, получаем
b
2
R
−
b
2
L
+
60
b
L
−
60
b
R
=
0, или
(
b
R
−
b
L
)(
b
L
+
b
R
−
60
)
=
0. Можем исключить ситуацию
b
L
+
b
R
=
60, так как из рассуждений выше
b
L
>
80 и
b
R
>
100.
Подставляем
b
R
=
b
L
и получаем
b
R
=
b
L
=
120, тогда
y
L
=
6000 и
y
R
=
12000.
7