Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 80

15 апреля 2018 г.

1-й тур

10-11-й класс

Задача 1

. Университетские обеды

(6 баллов)

Некоторое время назад один известный университет переехал в новое здание и заключил до-

говор с кафе «Клюква», которое будет обеспечивать студентов и профессоров горячими обедами.

В Университете работают несколько состоятельных профессоров, их общая функция спроса

на горячие обеды в «Клюкве» имеет вид

D

t

=

50

−

P

/

2. Однако профессора не любят обедать од-

новременно с большим количеством студентов, поэтому ни один из них не отправится в столовую,
если количество порций, на которые предъявляют спрос студенты, превышает 20 (в этом случае
профессора пойдут обедать в ресторан неподалеку). Спрос студентов на горячие обеды имеет вид

D

s

=

80

−

2

P

. Издержки «Клюквы» на приготовление обедов описываются функцией

TC

(

Q

)

=

2

Q

. За

аренду помещений в университете ничего платить не нужно.

а) (4 балла)

Какую цену за обед назначит «Клюква»?

б) (2 балла)

Чтобы студенты и профессора не мешали друг другу, университет выделил «Клюк-

ве» еще один зал, в котором теперь можно обедать только профессорам (а в обычном зале теперь
можно обедать только студентам). Благодаря этому, студенты не будут мешать профессорам обе-
дать. Клюква может назначать разные цены на обеды в разных залах. Какие цены она назначит? Как
появление профессорского зала скажется на положении профессоров, студентов и фирмы –– кто
из них выиграет от этого, а кто проиграет?

Решение

а)

Чтобы найти цену, которую установит «Клюква», нужно найти суммарный спрос:

Q

d

=

⎧⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎩

0

,

если

P

>

100

50

−

P

/

2

,

если

P

∈

[

40

;

100

]

;

130

−

2

,

5

P

,

если

P

∈

[

30

;

40

]

;

80

−

2

P

,

если

P

∈

[

0

;

30

)

.

Последняя строка появилась из-за того, что при

P

<

30 величина спроса студентов больше 20, и

профессора обедать в кафе не пойдут.

Запишем функцию прибыли:

π

(

P

)

=

Q

(

P

)(

P

−

AC

)

∶

π

=

⎧⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎩

0

,

если

P

>

100

(

50

−

P

/

2

)(

P

−

2

)

,

если

P

∈

[

40

;

100

]

;

(

130

−

2

,

5

P

)(

P

−

2

)

,

если

P

∈

[

30

;

40

]

;

(

80

−

2

P

)(

P

−

2

)

,

если

P

∈

[

0

;

30

)

.

Найдем вершины всех парабол с ветвями вниз:

π

=

⎧⎪⎪

⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

P

=

51

,

Q

=

24

,

5

,

π

=

1200

,

5

если

P

∈

[

40

;

100

]

;

P

=

27

,

Q

=

62

,

5

,

π

=

1562

,

5

если

P

∈

[

30

;

40

]

;

P

=

21

,

Q

=

38

,

π

=

722

,

если

P

∈

[

0

;

30

)

.

В первом и третьем случае оптимальная цена попала в нужный интервал, а во втором –– нет

(студентов по такой цене слишком много, и профессора не пойдут в «Клюкву»), следовательно, во

втором случае нужно рассмотреть точку, ближайшую к вершине ––

P

=

30 (немного повысить цену,

чтобы студентов стало ровно 20). В этом случае

Q

=

55 и

π

=

55

⋅

(

30

−

2

)

=

1540. Это самая большая

прибыль среди трех вариантов, поэтому «Клюква» назначит именно цену

P

⋆

=

30.

2

15 апреля 2018 г.

1-й тур

10-11-й класс

б)

Запишем функцию общей прибыли фирмы, если

P

t

и

P

s

–– цены в профессорском и в студен-

ческом зале соответственно:

π

=

(

50

−

P

t

/

2

)

⋅

P

t

+

(

80

−

2

P

s

)

⋅

P

s

−

2

⋅

(

50

−

P

t

/

2

+

80

−

2

P

s

)

.

После упрощения получаем:

π

=

(

50

−

P

t

/

2

)

⋅

(

P

t

−

2

)

+

(

80

−

2

P

s

)

⋅

(

P

s

−

2

)

.

Это сумма двух независимых друг от друга парабол с ветвями вниз, найдем их вершины:

P

⋆⋆

t

=

51,

P

⋆⋆

s

=

21, общая прибыль равна 1922,5. По сравнению с пунктом

а)

профессора покупают обедов

меньше и дороже (они проиграли), а студенты –– больше и дешевле (они выиграли). Прибыль фир-
мы увеличилась (она выиграла).

Примечание.

Чтобы сделать вывод об увеличении прибыли фирмы, считать саму прибыль необя-

зательно. Можно заметить, что фирма в пункте

б)

могла получить прибыль даже больше, чем в пунк-

те

а)

, назначив цену 27 для всех типов потребителей (прибыль была бы равна 1562,5). Но она сде-

лала нечто другое, значит, ее максимальная прибыль еще больше.

Схема оценивания

а) (4 балла) 1 балл

ставится за нахождение суммарного спроса.

3 балла

ставится за корректную максимизацию прибыли на суммарном спросе.

б) (2 балла) 1 балл

ставится за максимизацию прибыли в 2 залах по отдельности.

1 балл

ставится за анализ благосостояния.

За арифметическую ошибку 1 балл снимается.

3

15 апреля 2018 г.

1-й тур

10-11-й класс

Задача 2

. Таргетирование инфляции

(6 баллов)

В экономике страны Альфа издержки инфляции (потери «мертвого груза», вызванные инфляци-

ей или дефляцией) в году

t

равны:

L

t

=

{

π

2

t

,

если

π

t

>

0

,

3

π

2

t

,

если

π

t

<

0

.

Здесь

π

t

–– уровень инфляции в стране Альфа в году

t

в процентах (отрицательные значения

π

t

со-

ответствуют дефляции).

В ближайшие 4 года центральный банк страны Альфа (ЦБА) планирует придерживаться полити-

ки инфляционного таргетирования: это означает, что на все четыре года будет установлен единый
целевой уровень инфляции

π

⋆

, и ЦБА будет проводить политику, направленную на поддержание

инфляции на этом уровне.

К сожалению, ЦБА не может добиться точного соответствия инфляции своему целевому ориен-

тиру из-за внешних шоков, которые не подвластны его контролю. Исходя из прошлого опыта, ЦБА
считает, что в два года из следующих четырех фактическая инфляция будет превышать установлен-
ный целевой уровень на 4 процентных пункта, а остальные два –– будет на 4 процентных пункта
ниже установленного целевого ориентира.

а) (2 балла)

Укажите две причины, по которым инфляция может приводить к потерям для эко-

номики в долгосрочной перспективе (если укажете больше, проверены будут первые две).

б) (1 балл)

Укажите причину, по которой дефляция может быть более болезненна для эконо-

мики, чем инфляция (как это имеет место в стране Альфа)

в) (3 балла)

Какой целевой уровень инфляции должен установить ЦБА, если он стремится ми-

нимизировать суммарные издержки инфляции за 4 года?

Решение

а)

Можно привести следующие виды источников потерь (издержек инфляции):

1. «Издержки меню». В условиях высокой инфляции фирмы вынуждены чаще менять цены на свою

продукцию и поэтому несут больше издержек, связанных с необходимостью пересмотра цен.
Например, рестораны вынуждены печатать новые меню, магазины — рассылать новые ката-
логи и так далее.

2. Издержки, связанные с искажением относительных цен товаров. Наличие даже незначитель-

ных издержек меню может сделать невыгодным частое изменение цен и фирмы предпочтут
корректировать цены лишь время от времени. В результате возникнут искажения в относи-
тельных ценах товаров, что может привести к значительно более серьезным потерям, чем
сами издержки меню, послужившие причиной появления подобных искажений.

3. Трансакционные издержки (издержки «стоптанных башмаков»). В условиях инфляции налич-

ные деньги быстро обесцениваются, поэтому, стремясь избежать этого «налога», люди стара-
ются держать меньше наличных денег на руках (предпочитая получать с них процентный до-
ход). Если, например, доход индивида перечисляется на его счет в банке, то при росте уровня
цен он будет предпочитать снимать их со счета маленькими порциями, поэтому он будет вы-
нужден чаще ходить в банк, тратить время и деньги на проезд, стаптывать башмаки, идя туда
пешком и т.п. 

4. Рост уровня неопределенности. Высокому уровню инфляции, как правило, соответствует вы-

сокий уровень её волатильности. Что порождает для фирм дополнительную неопределен-
ность по поводу будущего и снижает их стимулы к инвестированию. А это, в свою очередь,
ограничивает экономический рост.

4

15 апреля 2018 г.

1-й тур

10-11-й класс

5. Искажение налогообложения. Многие налоги являются прогрессивными. В этом случае к по-

терям следует отнести и тот факт, что даже при условии роста доходов в соответствии с инфля-
цией, реальные располагаемые доходы будут ниже, поскольку больший номинальный доход
подпадает при прогрессивном налогообложении под более высокую налоговую ставку.

6. Издержки непредвиденной инфляции связаны с тем, что она приводит к перераспределению

доходов от должника к кредитору.

7. Другим направлением перераспределения средств в результате неожидаемой инфляции яв-

ляется перераспределение средств от работников, получающих фиксированную в номиналь-
ном выражении заработную плату, к владельцам фирм/государству.

б)

Дополнительные издержки, характерные не для любого изменения общего уровня цен, а

именно для дефляции:

В условиях дефляции наличные деньги со временем не обесцениваются, а наоборот растут

в цене (даже если просто хранить их «под подушкой»). Таким образом, у индивидов снижаются
стимулы осуществлять сбережения путем размещения их на депозитах или покупки облигаций.
Падение сбережений негативно сказывается на долгосрочном экономическом росте. Аналогично,
высокая изменчивость валютного курса, вызванная инфляцией, может снижать иностранные ин-
вестиции.

Потребление в этом случае также может падать, так как появляется стимул откладывать покуп-

ки на будущее, когда цены упадут. Это негативно сказывается на экономической активности.

В условиях дефляции номинальные процентные ставки оказываются близки к нулю. Иными

словами, экономика оказывается в «ликвидной ловушке». Это затрудняет проведение монетарной
политики путем регулирования процентных ставок (нарушает работу канала кредитно-денежной
трансмиссии).

в)

Рассмотрим случай

−

4

<

π

<

4. В этом случае два года в экономике будет наблюдаться ин-

фляция, а другие два года — дефляция. Следовательно, суммарные за 4 года потери будут иметь
вид:

3

π

2
1

+

π

2
2

+

3

π

2
3

+

π

2
4

3

(

π

−

4

)

2

+

(

π

+

4

)

2

+

3

(

π

−

4

)

2

+

(

π

+

4

)

2

Относительно

π

⋆

это парабола с ветвями, направленными вверх, следовательно, её вершина и

определяет нужный целевой уровень инфляции:

π

=

2 процента.

В этом случае издержки инфляции составят 2

(

3

(

2

−

4

)

2

+

(

2

+

4

)

2

)

=

96.

Осталось показать, что случаи

π

⩾

4 и

π

⩽

−

4 нам не подходят. Рассмотрим случай

π

⩾

4. В этом

случае ни в одном из периодов не будет дефляции, и суммарные издержки инфляции составят:

(

π

−

4

)

2

+

(

π

+

4

)

2

+

(

π

−

4

)

2

+

(

π

+

4

)

2

=

4

(

π

)

2

+

64

Ясно, что

π

⩾

4 это монотонно возрастающая функция, которая достигает наименьшего значе-

ния при

π

=

4. Это наименьшее значение равно 4

∗

16

+

64

=

128, что больше, чем 96. Следовательно

этот вариант хуже, чем

π

=

2. Аналогично можно показать, что нам не подходит случай

π

⩽

−

4.

Схема оценивания

а) (2 балла)

1 балл, если приведен только один вид издержек инфляции. 2 балла, если приве-

дено два вида (или более.

5

15 апреля 2018 г.

1-й тур

10-11-й класс

б) (1 балл)

1 балл, если приведена хотя бы одна причина более высоких потерь от дефляции

по сравнению с инфляцией.

в) (3 балла)

Полное верное решение оценивается в 3 балла. При наличии одного или несколь-

ких мелких недочетов (вычислительная ошибка или отсутствие пояснения, почему найденная точ-
ка является точкой минимума функции) решение оценивается в 2 балла. При наличии существен-
ных недочетов (рассмотрен только один из случаев), но при условии, что минимизируемая в ос-
новном случае функция записана корректно, решение оценивается в 1 балл.

6

15 апреля 2018 г.

1-й тур

10-11-й класс

Задача 3

. Где устроить свалку?

(6 баллов)

М (2)

Б (1)

В (1)

К (1)

4

5

2

3

2

В стране A есть четыре города и прямые дороги между ними.

Расположение городов и дорог, а также расстояния между города-
ми изображены на картинке. В скобках указано население городов
в миллионах человек.

Государство думает, где именно расположить мусорную свалку.

Для возможности транспортировки мусора свалка может находить-
ся только непосредственно на обочине дороги или в самих городах.
Конечно, жители каждого города хотят, чтобы свалка была как мож-
но дальше от их города (для простоты будем считать, что они имеют
в виду расстояние, которое нужно проехать по дороге).

а) (2 балла)

Назовем точку X

доминирующим местом для свалки

,

если она победила бы во всеобщем голосовании жителей страны,
будучи выставленной против любой другой точки, по правилу про-
стого большинства голосов. При правиле простого большинства по-
беждает тот вариант расположения, который получает строго боль-
ше половины голосов всех жителей. При безразличии жителей города между двумя вариантами
считайте, что они разделяют свои голоса поровну между предлагаемыми вариантами.

Есть ли в стране A

доминирующее место для свалки

? Если есть, найдите его; иначе докажите, что

его нет.

б) (3 балла)

Назовем точку Y

неудачным местом для свалки

, если существует такая точка Z, что

жители по меньшей мере трех городов строго предпочитают точку Z точке Y. Найдите множество

неудачных мест для свалки

.

в) (1 балл)

Глава государства Джон Ролз решил разместить свалку таким образом, чтобы ни один

город не был особенно ущемлен: решение принимается так, чтобы свалка была как можно дальше
от ближайшего к ней города. Где будет размещена свалка?

Решение

Рис. 3.1: Свалки: пункт а)

а)

Нужно сначала найти оптимальную точку. Сде-

лаем это с помощью последовательного исключе-
ния доминируемых альтернатив.

Очевидно доминируемые альтернативы –– те, ко-

торые доминируются соседними. Посмотрим, напри-
мер, на участок М—В. Отдаление от М сторону В
получит минимум 3 голоса от К и М –– это простое
большинство. Аналогичным образом мы показыва-
ем доминирование и на других участках. На картин-
ке стрелками вдоль дорог показано доминирование
большинством.

Остаются три точки: X, Y, Z, которые так не доми-

нируются. Если мы их сравним, то получим, что X до-
минирует Y (проголосуют все, кроме В) и X домини-
рует Z (так же). Таким образом X –– альтернатива, ко-
торая может доминировать все.

Докажем, что она действительно доминирует все.

Поставим симметричную точку X’ на дороге М—В.
Все точки ниже X и X’ будут доминироваться Х (минимум 3 голоса от М и К). Все точки выше –– тоже

7

15 апреля 2018 г.

1-й тур

10-11-й класс

(минимум 3 голоса от М и В). Точка X’ также доминируется X (голоса В и К пополам –– в итоге 3 голоса

за Х)

Рис. 3.2: Свалки: пункт б)

б)

Заметим, что расположение свалки в В для

трех городов будет лучше, чем в нижнем треугольни-
ке, поэтому в нижнем треугольнике все места неудач-
ные. Аналогично можно показать, что точка F доми-
нирует любую точку на дороге F—M, а точка Х –– лю-
бую точку на дороге Х—Б.

Покажем теперь, что в верхнем участке не может

быть никакого доминирования тремя (даже точками
из неудачных мест) точками. Доказательство анало-
гично пункту

а)

. Для любой точки берем симметрич-

ную на другой дороге. Город К будет против всех то-
чек ниже, а также будут против М или Б. Город В будет
против всех точек выше, а также будут против М или
Б.

в)

На каком бы отрезке ни находилась свалка,

она должна быть в середине этого отрезка, потому
что, сдвинув свалку к середине, можно сделать луч-
ше городу, который в самом худшем положении. При
этом отрезок нужно выбрать самый длинный — то-
гда двум городам, находящимся в худшем положе-
нии, будет лучше всего. Поэтому свалка должна быть
расположена в середине отрезка В—Б.

Схема оценивания

а) (2 балла) 1 балл

за нахождение точки и

1 балл

за доминирование. Нахождение точки можно

подробно не обосновывать –– главное доказать, показав доминирование.

б) (3 балла)

Нахождение области неудачных мест оценивается в

2 балла

: 1 балл ответ и 1 балл

доказательство. В оставшийся

1 балл

оценивается доказательство, что в верхнем множестве нет

неудачных мест.

в) (1 балл) 1 балл

за правильный ответ с обоснованием.

8

15 апреля 2018 г.

1-й тур

10-11-й класс

Задача 4

. Стыд и зависть в экономической модели

(6 баллов)

Экономистов часто упрекают в том, что люди в их моделях –– эгоистичные создания, лишенные

доброты, любви, эмпатии и чувства справедливости. Реальные люди, между тем, не такие, что под-
тверждается исследованиями их поведения. Так, в экспериментах (и в реальных жизненных ситу-
ациях) участники зачастую принимают решения так, как будто их заботит не только собственный
выигрыш, но и справедливость распределения. Причем неприязнь несправедливости может быть
связана как с завистью

(я не хочу, чтобы другие получили больше, чем я)

, так и со стыдом

(я не хочу

получить больше, чем другие)

.

Рассмотрим модель взаимоотношения двух инвесторов, Клары и Марфы, которые могут вло-

жить деньги в совместный проект. Если Клара вложит

K

тыс. руб., а Марфа вложит

M

тыс. руб., то

проект принесет им общую сумму 1

,

6

(

K

+

M

)

, которую они разделят пополам. Каждая из них может

вложить любую сумму не больше 100 тыс. руб. Считайте, что если какая-то из девушек безразлична
между несколькими вариантами вложения, она выбирает из них тот, в котором сумма вложения
максимальна.

Совместное инвестирование предложила Клара, но Марфа не очень доверяет ей, поэтому по-

ставила Кларе условие:

«Сначала ты вносишь на банковский счет свою сумму K, а уже потом, когда

я увижу эту сумму на счете, я добавлю к ней M»

. Так и договорились.

а) (0 баллов)

Предположим, что каждая из девушек просто максимизирует сумму денег, ко-

торая останется у нее после реализации инвестиционного проекта. Доказать, что в этом случае

K

=

M

=

0, слишком просто, поэтому составители решили не давать за это баллов.

б) (6 баллов)

Предположим теперь, что у девушек есть и другие интересы, кроме личного обо-

гащения. А именно, используем функцию полезности, предложенную Эрнстом Фером и Клаусом
Шмидтом:

1

U

K

=

x

K

−

α

max

(

x

M

−

x

K

;

0

)

−

β

max

(

x

K

−

x

M

;

0

)

,

U

M

=

x

M

−

α

max

(

x

K

−

x

M

;

0

)

−

β

max

(

x

M

−

x

K

;

0

)

,

где

U

K

и

U

M

–– функции, которые девушки (Клара и Марфа соответственно) максимизируют,

x

K

и

x

M

––

их выигрыш в деньгах (сумма, оставшаяся на руках после реализации проекта),

α

–– параметр зави-

сти,

β

–– параметр стыда (

α

,

β

>

0). Функция max

(

x

;

y

)

принимает значение

x

, если

x

>

y

, и значение

y

в ином случае.

Оказывается, что забота не только о своем, но и о чужом выигрыше может хорошо сказаться

на итогах инвестиционного проекта: в отличие от ситуации пункта

а)

(в котором

α

=

β

=

0), девушки

могут на нем заработать. Найдите ограничения на параметры

α

и

β

, при которых это произойдет.

Решение

б)

Сначала преобразуем функции полезности, принимая во внимание, что

x

K

=

100

−

K

+

1

,

6

(

K

+

M

)/

2

,

x

M

=

100

−

M

+

1

,

6

(

K

+

M

)/

2

.

Случай

M

>

K

Случай

M

⩽

K

Полезность Клары

U

K

=

100

+

(

β

−

0

,

2

)

K

−

(

β

−

0

,

8

)

M

U

K

=

100

−

(

α

+

0

,

2

)

K

+

(

α

+

0

,

8

)

M

Полезность Марфы

U

M

=

100

−

(

α

+

0

,

2

)

M

+

(

α

+

0

,

8

)

K

U

M

=

100

+

(

β

−

0

,

2

)

M

−

(

β

−

0

,

8

)

K

1

Fehr, E.; Schmidt, K.M. (1999). ”A theory of fairness, competition, and cooperation”.

The Quarterly Journal of Economics

. 114

(3): 817–68.

9