Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 81

15 апреля 2018 г.

1-й тур

10-11-й класс

Для принятия решения о величине

K

Кларе необходимо учесть ответные действия Марфы, по-

этому сначала определим их.

Докажем, что Марфа не будет вкладывать в проект больше, чем Клара. Допустим, что оптималь-

ное

M

больше, чем выбранное Кларой

K

. Тогда полезность Марфы убывает по

M

, то есть уменьше-

ние значения

M

выгодно для Марфы, а значит, изначально оно было неоптимальным. Действитель-

но, снизив вклад, Марфа не только увеличивает денежный выигрыш

x

M

, но и уменьшает зависть.

Остается считать, что

M

∈

[

0

;

K

]

. В этом случае полезность Марфы может как возрастать, так и

убывать по

M

, а также оставаться неизменной.

• Если

β

>

0

,

2, полезность возрастает и будет выбрано максимально возможное значение

M

=

=

K

, полезность будет равна

U

M

=

100

+

0

,

6

K

.

• Если

β

<

0

,

2, полезность убывает и будет выбрано минимально возможное значение

M

=

0,

полезность будет равна

U

M

=

100

−

(

β

−

0

,

8

)

K

>

100

+

0

,

6

K

.

• Если

β

=

0

,

2, полезность Марфы не зависит от ее выбора и равна

U

M

=

100

−

(

β

−

0

,

8

)

K

=

100

+

0

,

6

K

. В этом случае Марфа выберет наибольшую сумму вложений, то есть

M

=

K

.

Сравнивая полезности, можно заключить, что Марфа выберет

M

=

K

при

β

⩾

0

,

2 и

M

=

0 при

β

<

0

,

2.

Обратимся теперь к задаче Клары.

• Если

β

⩾

0

,

2, то какое бы

K

не было выбрано, ответом будет

M

=

K

. Полезность Клары в этом

случае равна

U

K

=

100

+

0

,

6

K

. Эта функция возрастает по

K

, поэтому оптимально выбрать наи-

большее значение

K

=

100 и получить полезность (и доход)

U

K

=

160 (полезность Марфы будет

такой же).

• Если

β

<

0

,

2, Марфа выберет

M

=

0. Полезность Клары будет равна

U

M

=

100

+

(

β

−

0

,

2

)

K

. Эта

функция убывает по

K

, так что оптимальное

K

=

0, а полезность (и доход)

U

K

=

160 (как и у

Марфы).

Получается, что если Клара и Марфа достаточно сильно стыдятся несправедливости

в свою сто-

рону

(

β

⩾

0

,

2), инвестиционный проект реализуется и принесет им максимально возможный доход.

Если

β

<

0

,

2, то никто не будет ничего вкладывать в проект. От

α

(степени неприятия несправедли-

вости

в чужую сторону

) ответ не зависит.

Схема оценивания

б) 1 балл

ставится за идею о том, что сначала нужно найти оптимальный ответ Марфы на дей-

ствия Клары, а уже потом выяснять, как поведет себя Клара (с учетом этого овтета). Если в начале
решения есть такое указание, но впоследствии автор решения не следует этому пути (а, например,
решает задачу как одновременную игру), балл не ставится.

1 балл

ставится за обсуждение оптимального поведения Марфы для случая

M

⩾

K

.

2 балла

ставится за обсуждения оптимального поведения Марфы для случая

M

⩾

K

, то есть

вывод о том, как решение Марфы зависит от

β

(и указание на то, что оно не зависит от

α

).

2 балла

ставится за обсуждения оптимального поведения Клары

с учетом

оптимального ответа

Марфы, то есть вывод о том, как решение Марфы зависит от

β

(и указание на то, что оно не зависит

от

α

).

Если в правильном в целом решении вообще не обсуждается зависимость ответа от

α

(то есть

нигде нет указания на то, что ответ верен при любом

α

), то

снимается 1 балл

.

Примечание.

За рассуждения о том, что полезность Клары и/или Марфы в случае инвестиро-

вания должна быть больше, чем в ином случае, как правило, баллы не ставятся (даже если они
приводят к правильному ответу), поскольку это условие не является достаточным для нахождения
ограничения на

α

и

β

: инвестирование не просто должно быть выгоднее, чем его отсутствие, но

10

15 апреля 2018 г.

1-й тур

10-11-й класс

еще и участники должны выбрать оптимальные для себя действия, причем именно с такими пра-
вилами игры, как описаны в задаче.

11

Всероссийская олимпиада школьников по экономике

Заключительный этап

Москва, 14—19 апреля 2018 года

10-11-й класс

Второй тур

Дата написания

16 апреля 2018 г.

Количество заданий

4

Сумма баллов

24

Время написания

180 минут

Решения

Составители написали приведенные ниже решения более подробно, чем если бы им са-
мим пришлось участвовать в олимпиаде. Данный документ содержит пояснения, при-
мечания, альтернативные способы решений, которые предназначены исключительно
для информирования жюри, а также всех, кто будет разбирать эти задачи в дальнейшем
при изучении экономики или подготовке к олимпиадам. От участников не требуется
слишком подробного решения; в любом случае самое важное при оценке –– понимает
ли участник, как решается задача.

16 апреля 2018 г.

2-й тур

10-11-й класс

Задача 5

. Гипотеза перманентного дохода

(6 баллов)

Согласно гипотезе перманентного дохода Милтона Фридмена (

permanent income hypothesis

, PIH),

предложенной в 1957 году, уровень потребительских расходов человека зависит не столько от его
текущего дохода, сколько от его

перманентного дохода

–– некоторого ожидаемого среднего уров-

ня доходов в будущем. Таким образом, человек, имеющий небольшой доход сейчас, но ожидающий
его рост в будущем, потребляет больше (к примеру, молодой человек с хорошими карьерными пер-
спективами), а человек с большим доходом, ожидающий его падения –– меньше (к примеру, немо-
лодой человек, собирающийся в скором времени выходить на пенсию).

Одним из известных следствий PIH является сглаживание потребления –– сравнительно высо-

кая стабильность расходов человека на потребление даже в условиях значительно изменяющегося
текущего дохода.

а) (2 балла)

По некоторым оценкам, сглаживание потребления значительно более свойствен-

но богатым домохозяйствам, чем бедным. Укажите две возможные причины этого явления (если
укажете больше, проверены будут первые две).

б) (4 балла)

За последние десятилетия было предпринято много попыток подтвердить или

опровергнуть гипотезу перманентного дохода на основе реальных данных. Объясните, каким об-
разом можно было бы проверить эту гипотезу на каждом из приведенных ниже наборов данных, а
также какие недостатки могут быть у их использования:

• Данные по доходам и расходам на продукты питания 2000 домашних хозяйств. Для каждого

из домохозяйств есть данные за 7 лет.

• Ежегодный опрос домохозяйств по очень широкому кругу вопросов, включая доходы и расхо-

ды на разные группы товаров. 7 лет, 2000 домохозяйств, но в отличие от предыдущего случая
каждый год опрашиваются новые домохозяйства.

Решение

а) Принимаются

следующие аргументы (не более двух):

• Богатые тратят меньшую долю дохода на потребление и поэтому имеют больше возможно-

стей сберегать;

• богатым доступнее кредиты и они могут компенсировать снижение доходов кредитом;
• Финансовая грамотность: богатые могут быть более финансово грамотны, поэтому у них боль-

ше возможностей длЯ прогнозированиЯ своих доходов и меньше ошибка прогноза.

Не принимаются

следующие аргументы:

• У богатых больше сбережений, поэтому они сглаживают (если не объясняется, откуда сбере-

жения);

• у бедных более волатильная зарплата или больше рисков (это учтено при построении ожида-

ний);

• бедные на что-нибудь копят, а потом резко увеличивают траты (у богатых тоже есть цели для

накоплений)

• у богатых и так всё есть, или они достигли оптимального уровня потреблени, или они привык-

ли к своему потреблению.

б)

• Как: посмотреть на динамику доходов и расходов. Если волатильность расходов боль-

ше, то гипотеза выполняется. Либо если за повышением потребления следует повышение до-
хода (оба изменения перманентные). Минусы: расходы на продукты питания слабо эластичны
по доходам, поэтому они могут быть относительно стабильны не из-за сглаживания потребле-
ния. Кроме того, не учитываются другие факторы, которые могли повлиять и на сглаживание,
и на доход.

2

16 апреля 2018 г.

2-й тур

10-11-й класс

• Как: с использованием различных показателей, которые у нас есть, можем найти похожие до-

мохозяйства и объединить их в группы. Можем применить метод из предыдущего случая для
среднего потребления и дохода по всем домохозяйствам или по их группам. Минус: домохо-
зяйства различаются, и даже схожие по многим показателям домохозяйства могут принимать
разные решения, поэтому мы можем получить неверную оценку.

Схема оценивания

а) (2 балла)

По 1 баллу за каждый корректный аргумент (не более 2).

б) (4 балла)

По 2 балла за каждый набор данных, в каждом из них 1 балл за способ проверки

гипотезы и 1 балл за недостатки использованиЯ именно таких данных. Общие рассуждения о раз-
личии корреляции и причинно-следственной связи баллов не приносят.

3

16 апреля 2018 г.

2-й тур

10-11-й класс

Задача 6

. Здоровье не роскошь?

(6 баллов)

В каждом периоде индивид распределяет свой доход

y

>

1 между расходами на здоровье,

h

,

и расходами на остальные потребительские товары,

c

. (К расходам на здоровье можно отнести не

только покупку лекарств и оплату услуг врачей, но и время, потраченное на занятия спортом, и т. д).
Для простоты предположим, что доход потребителя, а также его выбор

c

и

h

не меняются от перио-

да к периоду. Полезность индивида от потребления в каждом периоде равна

u

(

c

)

=

1

−

1

c

. Расходы же

индивида на здоровье увеличивают ожидаемую продолжительность его жизни. Предположим, что
эта зависимость линейна: если индивид будет тратить на здоровье

h

в каждом периоде, то он про-

живет, в среднем,

Ah

периодов, где

A

>

0 –– константа. Его суммарная полезность составит, таким

образом,

Ah

⋅

u

(

c

)

.

а) (2 балла)

Найдите оптимальное распределение дохода

y

>

1 между

h

и

c

.

б) (2 балла)

Предположим, в стране А величина

y

больше, чем в стране B, а больше эти страны

ничем не отличаются. В какой стране больше доля расходов на здоровье в бюджете индивида?
Учитывая ваш ответ на этот вопрос, как можно классифицировать здоровье (в данной модели) с
точки зрения экономической теории?

в) (2 балла)

На протяжении второй половины XX века доля всех расходов на здравоохране-

ние в ВВП росла практически во всех странах (например, в США она выросла с 5 % в 1950 г. до

15 % в 2000 г.) Этому феномену даются разные объяснения, среди которых, например, экзогенное

возникновение дорогостоящих медицинских технологий, старение населения или даже рост моно-
полизации сферы здравоохранения. Некоторые экономисты, однако, склонны считать ключевым
объяснение, основанное на модели, которую вы рассмотрели в данной задаче. Приведите это объ-
яснение в общих чертах.

Решение

а)

{

U

(

c

,

h

)

=

Ah

⋅

(

1

−

1

c

)

→

max

h

=

y

−

c

Подставив ограничение в целевую функцию, получим функцию одной переменной, которую

можно максимизировать, например, с помощью производной:

u

(

c

)

=

A

(

y

−

c

) (

1

−

1

c

)

=

A

(

y

−

c

−

y
c

+

1

)

,

u

′

(

c

)

=

A

(

−

1

+

y

c

2

)

.

Производная убывает по

c

, значит, критическая точка будет максимумом. Приравнивая произ-

водную к нулю, находим

c

⋆

(

y

)

=

√

y

, откуда

h

⋆

(

y

)

=

y

−

√

y

.

Примечание.

Максимизировать функцию

u

(

c

)

можно и без производной. Заметим, что если отбросить

не влияющие на решение константы, максимизация

u

(

c

)

будет эквивалентна максимизации выражения

−

c

−

y
c

или, что то же самое, минимизации выражения

c

+

y
c

2

.

Это выражение –– не что иное, как среднее арифметическое чисел

c

и

y
c

, а среднее геометическое этих чи-

сел равно

√

y

. Как известно, среднее арифметическое не меньше, чем среднее геометрическое тех же чисел,

то есть

c

+

y
c

2

⩾

√

y

.

4

16 апреля 2018 г.

2-й тур

10-11-й класс

Заметим, что если

c

=

√

y

, то среднее арифметическое и среднее геометрическое равны, то есть среднее

геометрическое достигает своего минимального значения, что нам и требовалось.

б)

Доля расходов на здоровье равна

h

⋆

(

y

)/

y

=

1

−

1

/√

y

, то есть растет по доходу. Значит, в стране

A доля расходов на медицину в доходе будет выше, чем в стране Б. (Само по себе указание на то,

что с ростом дохода растет величина расходов на здравоохранение, не является ответом на по-
ставленный вопрос).

Таким образом, эластичность спроса на здоровье по доходу больше единицы; в данном слу-

чае здоровье является, с точки зрения экономической теории, товаром роскоши. (Классификация
здоровья как нормального блага является верным, но не полным, поэтому, наравне с отсутствием
классификации вообще, приводит к потере одного балла).

в)

Во второй половине XX века имел место экономический рост, то есть рост ВВП на душу насе-

ления. Если индивиды имеют предпочтения, согласующиеся с рассмотренной моделью, оптималь-
ная доля расходов на здоровье в доходе каждого индивида должна вырасти. Значит, и доля расхо-
дов на здоровье в ВВП должна вырасти. Общие рассуждения, не касающиеся конкретных трендов
второй половины XX века, не могут быть засчитаны как ответ на данный вопрос. Кроме того, жюри
может снять баллы за отсутствие отсылки к модели из предыдущих пунктов задачи или ошибки в
логике рассуждения.

Необходимо отметить, что в данной задаче каждый следующий пункт содержательно базиру-

ется на предшествующих, поэтому ошибка в одном из пунктов практически неизбежно приводит
к потере баллов в следующих частях задачи.

Схема оценивания

а) (2 балла)

Полный балл ставится за корректную максимизацию любым способом.

б) (2 балла)

Если участник рассуждает о величине

h

, а не

h

/

y

, баллы не ставятся. Если ответ

на вопрос про долю расходов верен, а классификация блага отсутствует или ошибочна, ставится 1
балл.

в) (2 балла)

Если рассуждения не связаны с величиной

h

/

y

, баллы не ставятся. Логическая ошиб-

ка приводит к снятию 1 или 2 баллов в зависимости от наличия противоречий с предыдущими рас-
суждениями.

5

16 апреля 2018 г.

2-й тур

10-11-й класс

Задача 7

. Мед и хлопья (10—11)

(6 баллов)

На левом (L) и правом (R) берегах Молочной реки живут 160 и 200 человек соответственно, ко-

торые потребляют на завтрак только блюдо «Хлопья с медом», приготовленное по старинным ре-
цептам. Каждый житель любит такие завтраки и готов их съесть чем больше, тем лучше.

Рецепты на разных берегах отличаются. Жителям Левого берега одного литра меда хватает на 50

порций кукурузных хлопьев, в то время как жители Правого любят менее сладкие хлопья и одного
литра им хватает на 100 порций. Иными словами, если

y

–– это объем кукурузных хлопьев, измеряе-

мый в порциях, а

b

–– объем меда в литрах, то

y

L

=

50

b

L

и

y

R

=

100

b

R

. Чтобы сделать порцию завтрака,

нужно смешать кукурузные хлопья с медом непременно в заданной пропорции и добавить молоко.

Молоко у жителей есть в неограниченном количестве, а мед и хлопья нужно производить. Каж-

дый житель может тратить свое рабочее время на пасеке или в кукурузном поле. Будем считать, что
один пасечник может следить за одним ульем пчел, который производит 1 литр меда. Урожай куку-
рузы зависит от интенсивности опыления пчелами. Некоторые пчелы летают в том числе на другой
берег и опыляют кукурузу там, поэтому ежемесячный урожай кукурузы на каждом берегу зависит
от того, сколько пчел на обоих берегах:

y

L

=

(

b

L

+

0

,

25

b

R

)

⋅

x

L

,

y

R

=

(

b

R

+

0

,

25

b

L

)

⋅

x

R

,

где

y

–– производство кукурузных хлопьев,

b

–– количество ульев пчел,

x

–– число рабочих, занятых

в производстве кукурузных хлопьев (может быть нецелым). Индексы у всех переменных означают
берег.

а) (3 балла)

Пусть каждый регион независимо принимает решение о распределении труда

между отраслями. Постройте графически кривую производственных возможностей каждого бере-
га для какого-то фиксированного числа ульев на другом берегу. Назовем

равновесием

такое со-

стояние, когда жители каждого берега не захотят менять распределение труда после того, когда
узнают число ульев у другого берега. Сколько меда и хлопьев будет произведено в равновесии?

б) (3 балла)

Предположим, два берега объединили усилия и совместно решают, как распреде-

лить трудовые ресурсы между пасеками и полями (при этом люди переплывать на другой берег
не могут, но передавать мед и хлопья могут). Найдите общую границу производственных возмож-
ностей двух берегов. Покажите, что можно достичь большего числа завтраков для каждого берега
по сравнению с пунктом

а)

.

6