Астрономия (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 47

 29

3. 

Система

 

оценивания

.

 

Задачу

 

можно

 

решать

, 

сравнивая

 

видимые

 

диаметры

 

и

 

яркость

 

либо

 

же

 

видимые

 

диаметры

 

и

 

поверхностную

 

яркость

 

Нептуна

 

для

 

невооруженного

 

глаза

 

и

 

Тритона

 

в

 

телескоп

, 

что

 

одинаково

 

верно

. 

При

 

этом

 

можно

 

не

 

выписывать

 

выражения

 

для

 

полной

 

и

 

поверхностной

 

яркости

, 

а

 

сразу

 

переходить

 

к

 

их

 

соотношению

. 

Если

 

же

 

данные

 

выражения

 

в

 

записаны

 

в

 

абсолютном

 

виде

, 

то

 

в

 

знаменателе

 

участники

 

могут

 

записывать

 

также

 

дополнительные

 

коэффициенты

 2 

или

 4, 

фактически

 

путая

 

геометрическое

 

альбедо

 

со

 

сферическим

. 

Это

 

не

 

влияет

 

на

 

дальнейшие

 

вычисления

  (

так

 

как

 

коэффициенты

 

сокращаются

 

при

 

сравнении

 

яркостей

) 

и

 

не

 

может

 

служить

 

основанием

 

для

 

снижения

 

оценки

. 

Вместо

 

альбедо

 

участники

 

олимпиады

 

могут

 

использовать

 

звездные

 

величины

 

Нептуна

 

и

 

Тритона

 

с

 

Земли

 

в

 

противостоянии

, 

указанные

 

в

 

справочных

 

данных

, 

что

 

при

 

правильном

 

решении

 

с

 

учетом

 

разных

 

размеров

 

двух

 

тел

 

приводит

 

к

 

тому

 

же

 

ответу

. 

Правильная

 

запись

 

соотношения

 

видимых

 

диаметров

 

Нептуна

 (

глазом

) 

и

 

Тритона

 (

в

 

телескоп

) 

оценивается

 

в

 1 

балл

, 

верное

 

вычисление

 

увеличения

 

оценивается

 

еще

 

в

 1 

балл

. 

Запись

 

соотношения

 

полных

 

или

 

поверхностных

 

яркостей

 

объекта

 

оценивается

 

по

 2 

балла

 

за

 

каждый

 

из

 

возможных

 

случаев

. 

Выбор

 

правильного

 

случая

 

оценивается

 

в

 1 

балл

, 

и

 

еще

 1 

балл

 

выставляется

 

за

 

определение

 

диаметра

 

объектива

 

телескопа

. 

При

 

этом

 

допускаются

 

отклонения

 

от

 

полученной

 

выше

 

величины

, 

если

 

они

 

вызваны

 

взятием

 

другого

 

размера

 

зрачка

 

глаза

 

вплоть

 

до

 10 

мм

 (

в

 

этом

 

случае

 

диаметр

 

объектива

 

возрастает

 

до

 13.5 

см

). 

Если

 

второй

 

случай

  (

увеличение

 

телескопа

 

меньше

 

равнозрачкового

) 

не

 

рассматривается

, 

то

 

итоговая

 

оценка

 

за

 

решение

 

не

 

может

 

быть

 

выше

 6 

баллов

. 

 

4. 

Условие

.

 

Вечером

 9 

мая

 2016 

года

 

состоится

 

редкое

 

астрономическое

 

явление

 – 

прохождение

 

Меркурия

 

по

 

диску

 

Солнца

, 

которое

 

будет

 

хорошо

 

видно

 

в

 

Европейской

 

части

 

России

. 

Определите

, 

во

 

сколько

 

раз

 

майские

 

прохождения

 

Меркурия

 

случаются

 

реже

 

ноябрьских

. 

Считайте

, 

что

 

во

 

время

 

майских

 

прохождений

 

Меркурий

 

располагается

 

в

 

афелии

 

своей

 

орбиты

, 

а

 

орбита

 

Земли

 

круговая

. 

 

4. 

Решение

. 

Для

 

того

, 

чтобы

 

произошло

 

прохождение

 

Меркурия

 

по

 

диску

 

Солнца

, 

должны

 

выполниться

 

два

 

условия

: 

Меркурий

 

должен

 

находиться

 

в

 

нижнем

 

соединении

 

с

 

Солнцем

 

(

то

 

есть

 

находиться

 

между

 

Солнцем

 

и

 

Землей

) 

и

 

быть

 

в

 

это

 

же

 

время

 

вблизи

 

одного

 

из

 

узлов

 

своей

 

орбиты

 

– 

точек

 

ее

 

пересечения

 

с

 

плоскостью

 

орбиты

 

Земли

  (

плоскости

 

эклиптики

). 

Если

 

во

 

время

 

нижнего

 

соединения

 

второе

 

условие

 

не

 

выполняется

, 

Меркурий

 

пройдет

 

на

 

небе

 

Земли

 

севернее

 

или

 

южнее

 

Солнца

, 

и

 

прохождение

 

не

 

наступит

. 

Поэтому

 

эти

 

явления

 

происходят

 

только

 

в

 

два

 

противоположных

 

сезона

 

года

 – 

в

 

начале

 

мая

 

и

 

начале

 

ноября

. 

Их

 

частота

 

определяется

 

тем

, 

насколько

 

близко

 

к

 

узлу

 

орбиты

 

должен

 

находиться

 

Меркурий

. 

 30

Пусть

 

в

 

момент

 

нижнего

 

соединения

 

Меркурий

 

располагается

 

на

 

расстоянии

 

l

 

от

 

Солнца

. 

Определим

 

его

 

максимальное

 

расстояние

 

от

 

плоскости

 

орбиты

 

Земли

, 

при

 

котором

 

может

 

наступить

 

прохождение

 

по

 

диску

 

Солнца

 (

см

. 

рисунок

): 

 

R

l

h

a

0

Солнце

Меркурий

Земля

 

.

0

0

a

l

a

R

h





 

 

Здесь

 

R

 

–

 

радиус

 

Солнца

, 

a

0

 

–

 

радиус

 

орбиты

 

Земли

. 

Орбита

 

Меркурия

 

наклонена

 

на

 

угол

 

i

 

к

 

плоскости

 

эклиптики

  (

причем

 

этот

 

угол

 

невелик

), 

поэтому

 

мы

 

можем

 

сразу

 

определить

 

максимальное

 

линейное

 

расстояние

 

Меркурия

 

от

 

узла

 

орбиты

, 

выразив

 

угол

 

i

 

в

 

радианах

: 

 

.

0

0

i

a

l

a

R

i

h

d







 

 

Для

 

ноябрьских

 

прохождений

 

в

 

перигелии

  (

далее

 

–

 

индекс

 "1") 

и

 

майских

 

прохождений

 

в

 

афелии

 (

далее

 

–

 

индекс

 "2") 

эта

 

величина

 

будет

 

отличаться

. 

Обозначив

 

большую

 

полуось

 

и

 

эксцентриситет

 

орбиты

 

Меркурия

 

как

 

a

 

и

 

e

 

соответственно

, 

запишем

:  

 

l

1

=

a

(1–

e

); 

l

2

=

a

(1+

e

); 

.

3

.

1

)

1

(

)

1

(

0

0

2

1













e

a

a

e

a

a

d

d

 

 

Солнце

Ноябрь

Май

d

2

d

1



1



1



1

A

B

B’

C’

A’

 

 

 31

Определим

 

максимальное

 

угловое

 

расстояние

 

Меркурия

 

и

 

Земли

 

от

 

линии

 

узлов

, 

при

 

котором

 

может

 

состояться

 

ноябрьское

 

или

 

майское

 

прохождение

: 

 

 

;

)

1

(

)

1

(

;

)

1

(

)

1

(

0

0

2

2

2

0

0

1

1

1

e

ia

a

e

a

a

R

l

d

e

ia

a

e

a

a

R

l

d

























 

 

.

2

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

0

0

2

0

2

0

0

0

2

1













































a

e

a

a

e

a

e

a

e

a

e

a

e

a

e

e

e

a

a

e

a

a

K





 

 

Здесь

 

мы

 

также

 

учли

, 

что

 

эксцентриситет

 

орбиты

 

Меркурия

 

невелик

, 

а

 

большая

 

полуось

 

его

 

орбиты

 

a

 

заметно

 

меньше

 

радиуса

 

орбиты

 

Земли

 

a

0

.  

Временной

 

интервал

, 

в

 

котором

 

могут

 

произойти

 

прохождения

, 

соответствует

 

дуге

 2



1

 

в

 

ноябре

 

и

 

дуге

 2



2

 

в

 

мае

. 

В

 

градусной

 

мере

 

эти

 

интервалы

 

составляют

 5



 

и

 10



, 

а

 

отрезки

 

времени

, 

в

 

которых

 

возможно

 

наступление

 

прохождений

, 

составляют

 5 

дней

 

для

 

мая

 

и

 10 

дней

 

для

 

ноября

. 

С

 

хорошей

 

степенью

 

точности

 

полученное

 

число

 2 

можно

 

считать

 

ответом

 

на

 

данную

 

задачу

. 

 

Приведем

 

также

 

полное

 

и

 

точное

 

решение

. 

Меркурий

 

проходит

 

отрезки

 

d

1

 

и

 

d

2

 

с

 

разными

 

скоростями

. 

Запишем

 

выражения

 

для

 

скорости

 

Меркурия

 

в

 

перигелии

 

и

 

афелии

 

орбиты

: 

 

.

1

1

;

1

1

2

1

e

e

a

GM

v

e

e

a

GM

v

















 

 

Здесь

 

M

 – 

масса

 

Солнца

. 

Определим

 

время

, 

которое

 

Меркурий

 

проводит

 

на

 

указанных

 

отрезках

 

своей

 

орбиты

: 

 

 

));

1

(

(

1

1

4

2

));

1

(

(

1

1

4

2

0

2

2

0

2

2

2

2

0

2

2

0

2

1

1

1

e

a

a

e

e

i

GMa

aR

v

d

t

e

a

a

e

e

i

GMa

aR

v

d

t





























 

.

86

.

0

)

1

(

)

1

(

1

1

0

0

2

1



















e

a

a

e

a

a

e

e

t

t

 

 

Получается

, 

что

 

на

 

дуге

 

орбиты

, 

соответствующей

 

майским

 

прохождениям

, 

Меркурий

 

проводит

 

даже

 

больше

 

времени

, 

чем

 

на

 

дуге

 

ноябрьских

 

прохождений

. 

Теперь

 

нужно

 

учесть

 

то

, 

что

 

вероятность

 

наступления

 

самого

 

нижнего

 

соединения

 

в

 

разных

 

точках

 

орбиты

 

разная

, 

и

 

определяется

 

это

 

разностью

 

угловых

 

скоростей

 

Меркурия

 

в

 

перигелии

 

и

 

афелии

 

орбиты

 

и

 

Земли

. 

 32

Обозначим

 

дугу

 

на

 

орбите

 

Меркурия

, 

в

 

которой

 

могут

 

наступить

 

прохождения

, 

как

 

AB

. 

Пусть

 

Меркурий

 

в

 

какой

-

то

 

момент

 

пришел

 

в

 

точку

 

орбиты

 

A

 

–

 

начальную

 

точку

 

дуги

, 

в

 

которой

 

возможны

 

ноябрьские

 

прохождения

. 

Очевидно

, 

что

 

это

 

происходит

 

с

 

ним

 

один

 

раз

 

за

 

оборот

 

вокруг

 

Солнца

. 

Определим

 

величину

 

дуги

 

орбиты

, 

в

 

которой

 

в

 

этот

 

момент

 

должна

 

находиться

 

Земля

, 

чтобы

 

прохождение

 

состоялось

. 

Ввиду

 

равномерного

 

вращения

 

Земли

 

по

 

круговой

 

орбите

  (

по

 

условию

 

задачи

) 

величина

 

данной

 

дуги

 

будет

 

пропорциональна

 

вероятности

 

наступления

 

прохождения

  (

точнее

 

говоря

, 

вероятность

 

будет

 

равна

 

угловой

 

длине

 

дуги

, 

деленной

 

на

 2



). 

Стартовая

 

точка

 

этой

 

дуги

 

для

 

Земли

, 

очевидно

, 

точка

 

A'

, 

соответствующая

 

той

 

же

 

гелиоцентрической

 

долготе

. 

Если

 

Земля

 

окажется

 

там

, 

касательное

 

прохождение

 

состоится

 

в

 

этот

 

же

 

момент

. 

Другая

 

граница

 

дуги

 

для

 

Земли

 

–

 

некоторая

 

точка

 

С

' 

(

см

. 

рисунок

), 

опережающая

 

A'

 

по

 

орбитальному

 

движению

 

Земли

. 

Если

 

Земля

 

окажется

 

в

 

ней

, 

Меркурий

 

догонит

 

Землю

 

через

 

некоторое

 

время

, 

находясь

 

в

 

точке

 

B

. 

Земля

 

окажется

 

в

 

точке

 

B'

, 

и

 

вновь

 

состоится

 

касательное

 

прохождение

 

Меркурия

 

по

 

диску

 

Солнца

. 

Нам

 

необходимо

 

вычислить

 

угол

 



1

, 

соответствующей

 

дуге

 

A'C'

 

на

 

орбите

 

Земли

. 

Меркурий

 

преодолевает

 

расстояние

 

AB

 (

дуга

 2



1

) 

за

 

время

 

t

1

 (

см

. 

выше

). 

За

 

это

 

время

 

Земля

 

сместится

 

на

 

угол

 

 

)).

1

(

(

1

1

4

0

2

5

0

2

1

3

0

1

e

a

a

e

e

i

a

aR

t

a

GM

















 

 

Искомый

 

угол

, 

соответствующий

 

дуге

 

A'C'

, 

равен

 

 

 

)).

1

(

(

1

1

4

)

1

(

)

1

(

2

)

1

(

2

2

0

2

5

0

2

0

0

1

1

1

1

1

e

a

a

e

e

i

a

aR

e

ia

a

e

a

a

R

e

a

d







































 

 

После

 

некоторых

 

преобразований

 

имеем

 

 

 

.

)

1

(

)

1

(

1

)

1

(

))

1

(

(

2

3

0

3

3

0

0

1





























e

a

e

a

e

a

ia

e

a

a

R



 

 

Аналогичная

 

формула

 

для

 

майской

 

дуги

 

получается

 

сменой

 

всех

 

знаков

 

перед

 

величиной

 

e

: 

 

 

.

)

1

(

)

1

(

1

)

1

(

))

1

(

(

2

3

0

3

3

0

0

2





























e

a

e

a

e

a

ia

e

a

a

R



 

 33

Отношение

 

вероятностей

 

и

 

частот

 

ноябрьских

 

и

 

майских

 

прохождений

 

составляет

 

 

 

.

)

1

(

)

1

(

1

)

1

(

)

1

(

1

)

1

))(

1

(

(

)

1

))(

1

(

(

3

0

3

3

3

0

3

3

0

0

2

1

e

a

e

a

e

a

e

a

e

e

a

a

e

e

a

a

K



































 

Эту

 

формулу

 

можно

 

записать

 

в

 

более

 

простом

 

виде

: 

 

 

.

59

.

2

)

1

(

)

/

(

)

1

(

)

1

(

)

/

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

2

2

/

3

0

2

2

2

/

3

0

2

2

0

2

0

2

1

































e

a

a

e

e

a

a

e

e

a

e

a

e

a

e

a

K





 

 

Полученные

 

формулы

 

достаточно

 

громоздкие

. 

Но

 

если

 

в

 

них

 

пренебречь

 

слагаемыми

, 

пропорциональными

 

e

2

 

и

 (

a

/

a

0

)

3/2

, 

то

 

они

 

сведутся

 

к

 

уже

 

знакомому

 

для

 

нас

 

виду

: 

 

.

2

)

1

(

)

1

(

0

0













a

e

a

a

e

a

K

 

 

Получаем

, 

что

 

ноябрьские

 

прохождения

 

по

 

частоте

 

более

 

чем

 

вдвое

 

превышают

 

майские

. 

В

 

реальности

, 

линия

 

апсид

 

орбиты

 

Меркурия

 

строго

 

не

 

совпадает

 

с

 

линией

 

узлов

, 

и

 

данное

 

отношение

 

меньше

 2.59 

и

 

лишь

 

незначительно

 

превосходит

 2. 

Майские

 

прохождения

 

Меркурия

 

по

 

диску

 

Солнца

 

происходят

 

в

 

среднем

 

дважды

 

за

 

период

 

повторяемости

 

в

 46 

лет

 

– 

это

 

действительно

 

редкие

 

явления

. 

Ноябрьские

 

прохождения

 

Меркурия

 

за

 

тот

 

же

 

период

 

обычно

 

случаются

 

четырежды

.

 

 

4. 

Система

 

оценивания

. 

Данное

 

задание

 

достаточно

 

сложное

, 

и

 

оценка

 

должна

 

определяться

, 

прежде

 

всего

, 

количеством

 

учтенных

 

факторов

 

и

 

общим

 

построением

 

решения

. 

Если

 

участник

 

олимпиады

 

приводит

 

приближенное

 

решение

, 

описанное

 

выше

 

и

 

базирующееся

 

на

 

вычислении

 

отношения

 

дуг

 (



1

/



2

) 

и

 

соответствующих

 

интервалов

 

в

 

ноябре

 

и

 

мае

, 

когда

 

возможны

 

прохождения

, 

то

 

при

 

условии

 

верного

 

выполнения

 

оно

 

оценивается

 

в

 

6 

баллов

. 

Внутренняя

 

структура

 

решения

 

при

 

этом

 

может

 

отличаться

 

от

 

приведенной

 

выше

, 

примерная

 

схема

 

разделения

 

оценки

 

по

 

этапам

 

выглядит

 

следующим

 

образом

: 

нахождение

 

максимального

 

расстояния

 

Меркурия

 

от

 

плоскости

 

эклиптики

 

в

 

общем

 

или

 

численном

 

виде

 

(

h

12

) 

– 2 

балла

, 

пространственные

 

расстояния

 

Меркурия

 

от

 

узла

 

орбиты

  (

d

12

) – 2 

балла

, 

отношение

 

величин

 

дуг

 

(



1

/



2

) 

– 2 

балла

, 

причем

 

численные

 

значения

 

дуг

 

выписывать

 

не

 

обязательно

.

 

 34

 

Тезисное

 

описание

 

полного

 

решения

 

задачи

  (

попытка

 

учета

 

соотношения

 

угловых

 

скоростей

 

Меркурия

 

и

 

Земли

 

для

 

расчета

 

вероятности

) 

оценивается

 

в

 1 

балл

, 

приведенное

 

точное

 

решение

 

– 

еще

 

в

 1 

балл

.

 

 

Если

 

правильный

 

ответ

 (

соотношение

 

частот

 

явлений

 

равно

 2) 

приводится

, 

исходя

 

из

 

личного

 

опыта

 

и

 

знаний

 

участника

 

олимпиады

 

без

 

математического

  (

приближенного

 

или

 

полного

) 

вывода

, 

оценка

 

за

 

задание

 

составляет

 2 

балла

. 

 

5. 

Условие

.

 

По

 

одной

 

из

 

версий

 

ученых

, 

роль

 

частиц

 

темной

 

материи

 

могут

 

играть

 «

вимпы

» 

(WIMP 

–

 weakly interacting massive particle) 

–

 

элементарные

 

частицы

 

с

 

энергией

 

около

 100 

ГэВ

. 

Определите

 

среднюю

 

концентрацию

 

вимпов

 

в

 

пространстве

, 

если

 

масса

 

Галактики

 

в

 

пределах

 50 

кпк

 

от

 

центра

 

оценивается

 

в

 2

·

10

12

 

масс

 

Солнца

, 

а

 

доля

 

темной

 

материи

 

в

 

ней

 

составляет

 

примерно

 80%. 

 

5. 

Решение

.

 

Определим

 

массу

 

частицы

 

m

, 

исходя

 

из

 

того

, 

что

 

ее

 

энергия

 

E

 

равна

 10

11

 

эВ

 

или

 

1.6

·

10

–

8

 

Дж

: 

.

10

2

25

2

кг

c

E

m









 

 

Масса

 

Галактики

 

составляет

 

2

·

10

12

 

масс

 

Солнца

 

или

 4

·

10

42

 

кг

. 

Определим

 

плотность

 

темной

 

материи

 

в

 

Галактике

: 

.

/

10

2

4

3

8

.

0

3

22

3

м

кг

R

M













 

 

Здесь

 

R

 – 

радиус

 

гало

 

Галактики

, 

равный

 50 

кпк

 

или

 1.5

·

10

21

 

м

. 

Отсюда

 

мы

 

имеем

 

концентрацию

 

частиц

: 

 

.

10



3

3

м

m

n



 

 

 

5. 

Система

 

оценивания

. 

Для

 

решения

 

задачи

 

нужно

 

определить

 

массу

 

одной

 

частицы

, 

что

 

оценивается

 

в

 2 

балла

. 

Далее

 

нужно

 

определить

 

либо

 

плотность

 

темной

 

материи

 

в

 

Галактике

, 

либо

 

общее

 

количество

 

частиц

 

в

 

ней

. 

Оба

 

подхода

 

одинаково

 

верны

 

и

 

оцениваются

 

в

 4 

балла

. 

Эти

 4 

балла

 

не

 

выставляются

, 

если

 

при

 

вычислении

 

допускается

 

физическая

 

ошибка

 

(

например

, 

если

 

предполагается

, 

что

 

темная

 

материя

 

расположена

 

в

 

диске

 

Галактики

). 

Расчет

 

концентрации

 

частиц

 

оценивается

 

еще

 

в

 2 

балла

. 

 

 35

6. 

Условие

.

 

Пульсар

 PSR B1257+12 

стал

 

первым

, 

у

 

которого

 

была

 

найдена

 

планета

. 

Период

 

этого

 

пульсара

 

составляет

 6.22 

мс

, 

его

 

масса

 

равна

 1.5 

массам

 

Солнца

. 

Планета

 

была

 

обнаружена

 

на

 

основе

 

того

, 

что

 

импульсы

 

регистрировались

 

не

 

в

 

то

 

время

, 

в

 

которое

 

они

 

должны

 

были

 

поступать

. 

На

 

графике

 

приведена

 

зависимость

 

величины

 

смещения

 

моментов

 

регистрации

 

импульсов

 

пульсара

  (

по

 

сравнению

 

с

 

моделью

 

без

 

этой

 

планеты

) 

от

 

времени

. 

Оцените

 

массу

 

планеты

, 

считая

, 

что

 

луч

 

зрения

 

лежит

 

в

 

плоскости

 

ее

 

орбиты

. 

 

 

 

6. 

Решение

.

 

Пульсар

 

изменяет

 

свой

 

наблюдаемый

 

период

 

вследствие

 

своего

 

вращения

 

вокруг

 

общего

 

с

 

планетой

 

центра

 

масс

 

и

 

эффекта

 

Доплера

. 

По

 

графику

 

мы

 

можем

 

определить

 

период

 

обращения

 

пульсара

 

и

 

планеты

 

вокруг

 

общего

 

центра

 

масс

 

T

, 

он

 

равен

 25 

суткам

. 

Само

 

изменение

 

периода

 

ничтожно

 

мало

, 

но

 

складываясь

 

период

 

за

 

периодом

, 

оно

 

дает

 

величину

 

смещения

 

периода

 

наблюдаемого

 

максимума

 

по

 

сравнению

 

со

 

случаем

, 

если

 

бы

 

планеты

 

у

 

пульсара

 

не

 

было

.  

Задание

 

можно

 

решать

 

несколькими

 

способами

. 

Возьмем

, 

к

 

примеру

, 

момент

 

наиболее

 

быстрого

 

изменения

 

величины

 

смещения

 

на

 

рисунке

, 

проведя

 

касательную

 

к

 

изображенной

 

там

 

кривой

, 

и

 

определим

 

это

 

изменение

: 

 

 

.

10

2

11











T

t



 

 36

 

 

Это

 

означает

, 

что

 

каждый

 

из

 

периодов

 

пульсара

 

в

 

этот

 

момент

 

был

 

в

 (1+



) 

раз

 

больше

, 

чем

 

при

 

отсутствии

 

экзопланеты

. 

Тем

 

самым

, 

мы

 

можем

 

определить

 

ничтожную

 

амплитуду

 

лучевой

 

скорости

 

пульсара

: 

v

 = c



 = 3 

мм

/c. 

 

Мы

 

считаем

, 

что

 

луч

 

зрения

 

лежит

 

в

 

плоскости

 

орбит

 

в

 

системе

, 

следовательно

, 

полученная

 

величина

 

совпадает

 

с

 

полной

 

скоростью

 

звезды

. 

График

 

представляет

 

собой

 

синусоиду

, 

поэтому

 

мы

 

можем

 

считать

 

орбиту

 

круговой

, 

а

 

скорости

 – 

постоянными

. 

Вычислим

 

радиус

 

орбиты

 

пульсара

: 

.

1

2

км

vT

A







 

 

При

 

решении

 

задачи

 

другим

 

способом

 

эту

 

же

 

величину

 

можно

 

определить

 

еще

 

проще

. 

Запаздывание

 

сигналов

 

определяется

 

тем

, 

насколько

 

дальше

  (

или

 

ближе

) 

расположен

 

пульсар

 

по

 

сравнению

 

с

 

центром

 

масс

 

системы

. 

Если

 

луч

 

зрения

 

находится

 

в

 

плоскости

 

орбит

, 

то

 

радиус

 

орбиты

 

пульсара

 

A

 

есть

 

произведение

 

максимального

 

запаздывания

 

импульса

 



t

 (0.0035 

мс

, 

см

. 

рисунок

) 

и

 

скорости

 

света

 

c

.  

Обозначим

 

массы

 

пульсара

 

и

 

планеты

 

как

 

M

 

и

 

m

, 

радиус

 

орбиты

 

планеты

 

A

. 

Расстояние

 

между

 

компонентами

 

системы

 

равно

 

 

.

)

(

0

m

m

M

A

A

a

a









 

 

 37

Здесь

 

a

 – 

большая

 

полуось

 

орбиты

 

планеты

. 

Мы

 

учли

, 

что

 

из

 

определения

 

центра

 

масс

  

AM

 = 

am

. 

Из

 III 

закона

 

Кеплера

 

имеем

: 

 

 

.

)

(

4

)

(

3

3

3

3

0

2

2

m

m

M

A

a

T

m

M

G










 

 

Масса

 

планеты

 

составляет

 

 

.

4

)

(

4

3

/

1

2

2

3

/

1

2

3

2

2

3

/

1

2

3

2

2

































G

A

M

v

GT

A

M

GT

A

m

M

m





 

 

Мы

 

получаем

 

значение

 10

23

 

кг

 

или

 1/60 

массы

 

Земли

! 

С

 

учетом

 

возможного

 

наклона

 

орбиты

 

планеты

 

к

 

картинной

 

плоскости

  (

при

 

решении

 

не

 

рассматривалось

) 

масса

 

планеты

 

может

 

быть

 

больше

. 

В

 

реальности

 

у

 

данного

 

пульсара

 

есть

 

еще

 

две

 

планеты

 

с

 

большей

 

массой

, 

в

 

данной

 

задаче

 

был

 

отдельно

 

рассмотрен

 

эффект

, 

по

 

которому

 

удалось

 

открыть

 

третью

, 

наименее

 

массивную

 

планету

. 

 

6. 

Система

 

оценивания

.

 

Первая

 

часть

 

решения

 

задания

 

связана

 

с

 

анализом

 

графика

, 

из

 

которого

 

участники

 

олимпиады

 

должны

 

получить

 

значения

 

орбитального

 

периода

 (1 

балл

), 

а

 

также

 

амплитуды

 

лучевой

 

скорости

 

и

/

или

 

радиуса

 

орбиты

 

пульсара

 (

достаточного

 

одного

 

из

 

этих

 

параметров

, 2 

балла

), 

при

 

этом

 

допускаются

 

отклонения

 

от

 

указанных

 

выше

 

величин

 

в

 

пределах

 20%. 

Если

 

приведенная

 

на

 

графике

 

величина

 

воспринимается

 

как

 

само

 

изменение

 

периода

 

пульсара

, 

общая

 

оценка

 

не

 

может

 

превышать

 2 

баллов

. 

Связь

 

скорости

 (

или

 

радиуса

 

орбиты

) 

звезды

, 

планеты

 

и

 

центра

 

масс

 

оценивается

 

в

 2 

балла

. 

Правильное

 

применение

 III 

закона

 

Кеплера

  (

или

 

формул

 

кругового

 

движения

) 

оценивается

 

еще

 

в

 2 

балла

. 

Наконец

, 

последний

 1 

балл

 

выставляется

 

за

 

вычисление

 

массы

 

экзопланеты

. 

Если

 

правильное

 

значение

 

массы

 

планеты

 

дается

 

без

 

обоснований

, 

то

 

итоговая

 

оценка

 

не

 

может

 

быть

 

более

 2 

баллов

. 

 

 

1 

 

Всероссийская

 

олимпиада

 

школьников

 2014-2015 

гг

.

 

ВСЕРОССИЙСКАЯ

 

ОЛИМПИАДА

 

ШКОЛЬНИКОВ

 

ПО

 

АСТРОНОМИИ

. 2014–2015 

ГОД

  

ШКОЛЬНЫЙ

 

ЭТАП

. 5–7 

КЛАССЫ

 

 

Критерии

 

оценивания

 

 

В

 

каком

 

месяце

 

в

 

Москве

 

полная

 

Луна

 

поднимается

 

выше

 

всего

 

над

 

горизонтом

? (1 

балл

) 

 
1) 

март

 

2) 

июнь

 

3) 

сентябрь

 

4) 

декабрь

  

 

Ответ

:  

4) 

декабрь

 – 1 

балл

 

Другие

 

варианты

, 

в

 

т

. 

ч

. 

упоминание

 

нескольких

 

вариантов

 

ответа

, 

являются

 

ошибкой

 – 0 

баллов

. 

 

Какие

 

из

 

этих

 

планет

 

были

 

известны

 

ещё

 

в

 

Античности

, 

до

 

изобретения

 

телескопа

? (1 

балл

) 

 
1) 

Меркурий

 

2) 

Венера

 

3) 

Марс

 

4) 

Юпитер

 

5) 

Сатурн

 

6) 

Уран

 

7) 

Нептун

 

 

Ответ

:  

Меркурий

, 

Венера

, 

Марс

, 

Юпитер

, 

Сатурн

 (

все

 

вместе

) – 1 

балл

 

Ответ

 

считается

 

правильным

, 

только

 

если

 

перечислены

 

все

 

эти

 

планеты

. 

Отсутствие

 

хотя

 

бы

 

одной

 

планеты

 

из

 

списка

 (1–5) 

является

 

ошибкой

, 

также

 

ошибкой

 

является

 

включение

 

в

 

список

 

Урана

 

и

 

Нептуна

.  

1 

2 

 

2 

 

Всероссийская

 

олимпиада

 

школьников

 2014-2015 

гг

.

 

Расположите

 

объекты

 

в

 

порядке

 

увеличения

 

размера

. (3 

балла

)  

(

Например

, 

последовательность

 01–02–03–04–05–06–07 

означает

, 

что

 

объект

 

01 

является

 

самым

 

маленьким

, 07 – 

самым

 

большим

.) 

 
01 

02 

03 

 

 

 

04 

05 

06 

 

 

 

07 

 

 

 

 

 

 

Ответ

: 

05–03–01–02–04–06–07 – 3 

балла

 

Любой

 

другой

 

вариант

 

ответа

 – 0 

баллов

. 

 

 

Какое

 

явление

 

показано

 

на

 

видео

? (2 

балла

) 

Ответ

: 

На

 

видео

 

показано

 

лунное

 

затмение

 – 2 

балла

. 

Другие

 

варианты

 

ответа

, 

в

 

т

. 

ч

. 

просто

 

«

затмение

», 

считаются

 

неправильными

 – 0 

баллов

. 

3 

4 

 

3 

 

Всероссийская

 

олимпиада

 

школьников

 2014-2015 

гг

.

 

Что

 

показано

 

на

 

изображении

? (1 

балл

) 

 

 

 
1) 

поверхность

 

Луны

 

2) 

Млечный

 

Путь

  

3) 

солнечные

 

пятна

  

4) 

поверхность

 

Земли

 

 

Ответ

: 

4) 

поверхность

 

Земли

 – 1 

балл

 

Другие

 

варианты

, 

в

 

т

. 

ч

. 

упоминание

 

нескольких

 

вариантов

 

ответа

, 

являются

 

ошибкой

 – 0 

баллов

. 

5 

 

4 

 

Всероссийская

 

олимпиада

 

школьников

 2014-2015 

гг

.

 

Турист

, 

путешествуя

 

по

 

экватору

 

Земли

, 

может

 

обойти

 

Землю

 

за

  3 

года

. 

Сколько

 

времени

 

потребовалось

 

бы

 

ему

, 

чтобы

 

такими

 

же

 

темпами

 

добраться

 

от

 

Земли

 

до

 

Луны

? 

Диаметр

 

Земли

 

равен

 12 800 

км

, 

расстояние

 

от

 

Земли

 

до

 

Луны

 – 384 400 

км

. (3 

балла

) 

 

Решение

: 

Длина

 

экватора

 

Земли

 

равна

 

диаметру

 

Земли

, 

помноженному

 

на

 

число

 

пи

, 

и

 

составляет

  3,14 x 12 800 = 40 200 

км

. 

Расстояние

 

от

 

Земли

 

до

 

Луны

 

примерно

 

в

 9,5 

раз

 

больше

. 

Значит

, 

и

 

путешествие

 

будет

 

длиннее

 

в

 9,5 

раз

 

и

 

продлится

 28,7 

лет

. 

 

Любой

 

ответ

 

в

 

промежутке

 

от

  27 

до

  30 

лет

 

с

 

верным

 

обоснованием

 

оценивается

 

в

  3 

балла

. 

Другие

 

ответы

 

считаются

 

неверными

  –  0 

баллов

. 

Правильный

 

ответ

, 

записанный

 

без

 

решения

, 

оценивается

 

в

 1 

балл

. 

 

Справедливы

 

ли

 

следующие

 

утверждения

, «

да

» 

или

 «

нет

». (2 

балла

)  

 

А

) 

В

 

каждом

 

созвездии

 

звезда

 

α

 

ярче

 

звезды

 

β

. 

Б

) 

Звёзды

 

одного

 

созвездия

 

обычно

 

находятся

 

близко

 

друг

 

к

 

другу

 

в

 

пространстве

. 

В

) 

Первые

 

звёзды

 

становятся

 

видны

 

на

 

небе

 

каждый

 

вечер

 

в

 

одном

 

и

 

том

 

же

 

положении

. 

Г

) 

Ровно

 

через

 

год

 

в

 

то

 

же

 

время

 

суток

 

в

 

том

 

же

 

пункте

 

расположение

 

звёзд

 

и

 

созвездий

 

на

 

небе

 

будет

 

таким

 

же

. 

Д

) 

Очертания

 

созвездий

 

на

 

Марсе

 

практически

 

не

 

отличаются

 

от

 

земных

. 

 

 

Ответ

: 

А

 

Б

 

В

 

Г

 

Д

 

 

нет

 

нет

 

нет

 

да

 

да

 

 

Если

 

верный

 

ответ

 

дан

 

для

 

каждого

 

утверждения

  –  2 

балла

, 

при

 

наличии

 

одной

 

ошибки

 – 1 

балл

, 

при

 

двух

 

и

 

более

 

ошибках

 – 0 

баллов

. 

6 

 

7 

 

 

1 

 

Всероссийская

 

олимпиада

 

школьников

 2014-2015 

гг

.

 

ВСЕРОССИЙСКАЯ

 

ОЛИМПИАДА

 

ШКОЛЬНИКОВ

 

ПО

 

АСТРОНОМИИ

. 2014–2015 

ГОД

  

ШКОЛЬНЫЙ

 

ЭТАП

. 8–9 

КЛАССЫ

 

Критерии

 

оценивания

 

 

В

 

каком

 

месяце

 

в

 

Москве

 

полная

 

Луна

 

поднимается

 

выше

 

всего

 

над

 

горизонтом

? (1 

балл

) 

1) 

март

 

2) 

июнь

 

3) 

сентябрь

 

4) 

декабрь

  

Ответ

:  

4) 

декабрь

 – 1 

балл

 

Другие

 

варианты

, 

в

 

т

. 

ч

. 

упоминание

 

нескольких

 

вариантов

 

ответа

, 

являются

 

ошибкой

 – 0 

баллов

. 

 

Звезда

 

взошла

 

в

 00:01 

по

 

местному

 

времени

. 

Сколько

 

ещё

 

раз

 

она

 

пересечёт

 

горизонт

 

в

 

данном

 

пункте

 

в

 

эти

 

сутки

? (1 

балл

)  

1)  0 

раз

  

2)  1 

раз

  

3)  2 

раза

  

4)  4 

раза

 

Ответ

:  

3) 2 

раза

 – 1 

балл

 

 

Расположите

 

объекты

 

в

 

порядке

 

увеличения

 

размера

. (3 

балла

)  

(

Например

, 

последовательность

  01–02–03–04–05–06–07 

означает

, 

что

 

объект

 01 

является

 

самым

 

маленьким

, 07 – 

самым

 

большим

.) 

01 

02 

03 

 

 

 

04 

05 

06 

 

 

 

07 

 

 

 

 

 

Ответ

: 

05–03–01–02–04–06–07 – 3 

балла

 

Любой

 

другой

 

вариант

 

ответа

 – 0 

баллов

. 

2 

 

3 

 

1 

 

 

2 

 

Всероссийская

 

олимпиада

 

школьников

 2014-2015 

гг

.

 

 

Какое

 

явление

 

показано

 

на

 

видео

? (2 

балла

) 

Ответ

: 

На

 

видео

 

показано

 

лунное

 

затмение

 – 2 

балла

. 

Другие

 

варианты

 

ответа

, 

в

 

т

. 

ч

. 

просто

 

«

затмение

», 

считаются

 

неправильными

 – 0 

баллов

. 

 

Что

 

Вы

 

видите

 

на

 

изображении

? (1 

балл

) 

 

 
1)

поверхность

 

Луны

 

2)

Млечный

 

Путь

  

3)

солнечные

 

пятна

  

4)

поверхность

 

Земли

 

Ответ

: 

4) 

поверхность

 

Земли

 (1 

балл

) 

Другие

 

варианты

, 

в

 

т

. 

ч

. 

упоминание

 

нескольких

 

вариантов

 

ответа

, 

являются

 

ошибкой

 – 0 

баллов

. 

 

Как

 

изменится

 

на

 

фотографии

 

вид

 

полной

 

Луны

, 

если

 

закрыть

 

правую

 

половину

 

объектива

 

телескопа

? (1 

балл

) 

 
1) 

Не

 

изменится

, 

Луна

 

останется

 

полным

 

кругом

. 

2) 

Будет

 

видна

 

только

 

правая

 

половина

 

Луны

. 

3) 

Будет

 

видна

 

только

 

левая

 

половина

 

Луны

. 

4) 

Луну

 

станет

 

не

 

видно

. 

 

Ответ

: 

1) 

не

 

изменится

 (1 

балл

) 

Другие

 

варианты

, 

в

 

т

. 

ч

. 

упоминание

 

нескольких

 

вариантов

 

ответа

, 

являются

 

ошибкой

 – 0 

баллов

. 

4 

 

5 

 

6 

 

3 

 

Всероссийская

 

олимпиада

 

школьников

 2014-2015 

гг

.

 

Вычислите

, 

как

 

долго

 

путешествует

 

свет

 

от

 

Солнца

 

до

 

Нептуна

. 

Расстояние

 

между

 

ними

 

составляет

  30 

астрономических

 

единиц

,  1 

астрономическая

 

единица

  – 

это

 

расстояние

 

от

 

Земли

 

до

 

Солнца

, 

примерно

 

равное

 

150 000 000 

км

. 

Скорость

 

света

 

считайте

 

равной

 300 000 

км

/

с

. (3 

балла

) 

 

Решение

:  

Свет

 

от

 

Солнца

 

до

 

Земли

 

идёт

 

150 000 000 

   

 500

300 000 

/

км

с

км

с

=

. 

Расстояние

 

от

 

Солнца

 

до

 

Нептуна

 

в

  30 

раз

 

больше

, 

следовательно

, 

время

 

движения

 

света

 

составит

 

4 

часа

 10 

минут

.  

Допустимы

 

другие

 

варианты

 

записи

 

ответа

:  15 000 

секунд

,  250 

минут

, 

4,167 

часа

. 

Верный

 

ответ

 

с

 

обоснованием

 

оценивается

 

в

 3 

балла

.  

Правильный

 

ответ

 

без

 

решения

 

оценивается

 

в

 1 

балл

. 

 
 

Пусть

 

масса

 

планеты

 

составляет

 

26

6,33 10

⋅

 

кг

, 

радиус

 – 60 000 

км

. 

Оцените

 

её

 

плотность

. 

Ответ

 

выразите

 

в

 

3

кг

м

. 

Объём

 

шара

 

с

 

радиусом

 R 

вычисляется

 

по

 

формуле

 

3

4

3

V

R

π

=

. (3 

балла

) 

 

Решение

:  

Плотность

 

планеты

 

равна

 

массе

, 

делённой

 

на

 

объём

: 

M

V

ρ

=

.

 

Объём

 

шара

: 

3

3

3

23

4

4

3,14 60000000

9, 05 10

3

3

V

R

м

π

=

= ×

×

≈

×

 

Разделив

 

указанную

 

в

 

условии

 

массу

 

на

 

вычисленный

 

объём

, 

получаем

 

плотность

: 700 

3

кг

м

. 

Верный

 

ответ

 

с

 

обоснованием

 

оценивается

 

в

  3 

балла

. 

Любой

 

ответ

 

между

 

699 

и

 701 

также

 

считается

 

верным

 

и

 

оценивается

 

в

 3 

балла

, 

другие

 

ответы

 – 

в

 0 

баллов

. 

Правильный

 

ответ

 

без

 

решения

 

оценивается

 

в

 1 

балл

. 

8

 

7