Астрономия (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 46

 13

5. 

Система

 

оценивания

.

 

Основным

 

этапом

 

решения

 

является

 

определение

 

разности

 

гелиоцентрических

 

долгот

 

Сатурна

 

и

 

Земли

 

в

 

момент

, 

описанный

 

в

 

задаче

. 

Участники

 

олимпиады

 

могут

 

искать

 

ее

 

в

 

точности

  (

хотя

 

это

 

и

 

не

 

является

 

необходимым

), 

могут

 

использовать

 

приближенные

 

вычисления

, 

как

 

описано

 

выше

, 

могут

 

даже

 

использовать

 

графический

 

метод

, 

который

 

оценивается

 

полностью

 

при

 

условии

 

точности

 

вычислений

. 

Весь

 

этот

 

этап

 

решения

 

оценивается

 

в

 6 

баллов

. 

При

 

использовании

 

схемы

, 

описанной

 

выше

, 

2 

балла

 

выставляется

 

за

 

определение

 

углового

 

расстояния

 

между

 

Солнцем

 

и

 

двумя

 

планетами

 

в

 

небе

 

Земли

, 2 

балла

 

за

 

определение

 

расстояния

 

до

 

Сатурна

  (

точно

 

или

 

приближенно

), 2 

балла

 – 

за

 

определение

 

угла

 



.  

Окончательный

 

этап

 

решения

 – 

вычисление

 

даты

 

противостояния

 

Сатурна

 – 

оценивается

 

в

 2 

балла

. 

При

 

этом

 

допускается

 

ошибка

 

в

 1-2 

дня

. 

Если

 

участник

 

олимпиады

 

записывает

 

дату

 

противостояния

, 

не

 

приводя

 

решения

 

задачи

, 

ему

 

выставляется

 2 

балла

. 

Если

 

решение

 

задачи

 

делается

 

приближенно

, 

и

 

Сатурн

 

считается

 

бесконечно

 

удаленной

 

планетой

, 

то

 

при

 

условии

 

правильности

 

вычислений

 

такое

 

решение

 

оценивается

 7 

баллами

 (5 

баллов

 

за

 

вычисление

 

угла

 



 

и

 2 

балла

 

за

 

расчет

 

даты

 

противостояния

). 

 

6. 

Условие

. 

На

 

рисунке

 

показано

 

перемещение

 

ярчайшей

 

звезды

 

ночного

 

неба

 

Сириус

 

среди

 

далеких

 

звезд

 

с

 

момента

 

начала

 

наблюдений

  (

годовые

 

параллактические

 

колебания

 

вычтены

). 

На

 

рисунке

 

заметен

 

эффект

 

наличия

 

спутника

 

этой

 

звезды

. 

Оцените

 

массу

 

этого

 

спутника

, 

считая

 

ее

 

существенно

 

меньшей

 

массы

 

самого

 

Сириуса

, 

а

 

орбиту

 – 

лежащей

 

в

 

плоскости

 

рисунка

. 

Масса

 

Сириуса

 

равна

 2 

массам

 

Солнца

, 

расстояние

 

до

 

него

 – 2.64 

пк

. 

 

1844

0

50

50

100

150

200

250

100

1862

1893

1915

1925

1944

1962

2000

1896

Север

Восток

Угловые

 

секунды

У

гл

о

вы

е

 

секу

нд

ы

 

 

 14

6. 

Решение

.

 

Расстояние

 

до

 

Сириуса

 

равно

 2.64 

пк

, 

это

 

означает

, 

что

 

одна

 

угловая

 

секунда

 

в

 

плоскости

 

рисунка

 

соответствует

 

расстоянию

 2.64 

а

.

е

. 

Траектория

 

Сириуса

 

отличается

 

от

 

прямой

 

линии

 

из

-

за

 

его

 

вращения

 

вокруг

 

центра

 

масс

 

двойной

 

системы

. 

Период

 

этого

 

вращения

 

T

, 

как

 

видно

 

из

 

рисунка

, 

чуть

 

больше

 50 

лет

 (

мы

 

вполне

 

можем

 

использовать

 

это

 

значение

). 

По

 

условию

 

задачи

, 

мы

 

предполагаем

, 

что

 

вращение

 

происходит

 

в

 

плоскости

 

рисунка

. 

Оно

 

происходит

 

по

 

эллипсу

. 

Для

 

еще

 

большего

 

упрощения

 

предположим

, 

что

 

линия

 

апсид

 

этого

 

эллипса

  (

линия

, 

соединяющая

 

точки

 

перицентра

 

и

 

апоцентра

) 

перпендикулярна

 

собственному

 

движению

 

Сириуса

  (

это

 

близко

 

к

 

истине

, 

в

 

чем

 

можно

 

убедиться

 

по

 

примерно

 

постоянной

 

скорости

 

движения

 

звезды

 

по

 

своей

 

траектории

). 

 

1844

0

50

50

100

150

200

250

100

1862

1893

1915

1925

1944

1962

2000

1896

Север

Восток

Угловые

 

секунды

У

гл

о

вы

е

 

секу

нд

ы

r

P

r

A

 

 

Проведем

 

на

 

рисунке

 

прямую

 

линию

, 

соответствующую

 

движению

 

центра

 

масс

 

двойной

 

системы

 

и

 

отметим

 

перицентрическое

  (

r

P

) 

и

 

апоцентрическое

  (

r

A

) 

расстояния

 

Сириуса

. 

Так

 

как

 

нас

 

в

 

дальнейшем

 

будет

 

интересовать

 

только

 

сумма

 

этих

 

величин

, 

высокая

 

точность

 

проведения

 

прямой

 

не

 

требуется

 (

можно

 

вообще

 

провести

 

две

 

касательных

 

к

 

кривой

 

и

 

сразу

 

искать

 

суммарный

 

отрезок

). 

Большая

 

полуось

 

орбиты

 

Сириуса

 

A

 = (

r

P

 + 

r

A

)/2 

составляет

 

примерно

 2.5



, 

что

 

соответствует

 6.5 

а

.

е

. 

на

 

расстоянии

 

Сириуса

. 

Среднее

 

расстояние

 

между

 

компонентами

 

системы

 

равно

 

 

,

)

(

0

m

m

M

A

A

a

a









 

 

где

 

M

 

и

 

m

 – 

массы

 

Сириуса

 

и

 

его

 

спутника

, 

a

 – 

большая

 

полуось

 

орбиты

 

спутника

. 

Здесь

 

мы

 

учли

, 

что

 

из

 

определения

 

центра

 

масс

 

AM

 = 

am

. 

Из

 III 

закона

 

Кеплера

 

имеем

: 

 15

 

 

.

)

(

4

)

(

3

3

3

3

0

2

2

m

m

M

A

a

T

m

M

G











 

 

Масса

 

спутника

 

Сириуса

 

составляет

 

 

 

.

4

)

(

4

3

/

1

2

3

2

2

3

/

1

2

3

2

2























GT

A

M

GT

A

m

M

m





 

 

Здесь

 

мы

 

учитываем

 

то

, 

что

 

масса

 

спутника

, 

по

 

условию

 

задачи

, 

существенно

 

меньше

 

массы

 

Сириуса

. 

Масса

 

спутника

 

получается

 

равной

 1.5·10

30

 

кг

 

или

 3/4 

массы

 

Солнца

, 

что

 

оправдывает

 

это

 

предположение

. 

Реальная

 

масса

 

Сириуса

 B 

немного

 

больше

, 

она

 

равна

 

одной

 

массе

 

Солнца

. 

Разница

 

определяется

, 

в

 

основном

, 

предположением

 

о

 

совпадении

 

плоскости

 

орбиты

 

и

 

плоскости

 

рисунка

 

и

 

перпендикулярностью

 

линии

 

апсид

 

и

 

скорости

 

движения

 

центра

 

масс

. 

 

6. 

Система

 

оценивания

.

 

Первым

 

этапом

 

решения

 

задачи

 

является

 

определение

 

большой

 

полуоси

 

орбиты

 

Сириуса

 

по

 

рисунку

, 

при

 

этом

 

возможны

 

значительные

  (

до

 20-30%) 

отклонения

 

от

 

приведенного

 

выше

 

значения

. 

Вычисление

 

этой

 

величины

 

в

 

угловых

 

секундах

 

оценивается

 

в

 2 

балла

, 

еще

 1 

балл

 

выставляется

 

за

 

ее

 

перевод

 

в

 

пространственное

 

расстояние

 

(

это

 

возможно

 

делать

 

напрямую

, 

что

 

оценивается

 

теми

 

же

 3 

баллами

). 

Участники

 

олимпиады

 

могут

 

использовать

 

упрощенный

 

метод

, 

предполагая

, 

что

 

линия

 

апсид

 

перпендикулярна

 

траектории

 

движения

 

центра

 

масс

, 

а

 

могут

 

идти

 

более

 

сложным

 

путем

, 

что

  (

при

 

условии

 

правильности

 

вычислений

) 

не

 

должно

 

сказываться

 

на

 

оценке

. 

Определение

 

орбитального

 

периода

 

Сириуса

 

оценивается

 

в

 1 

балл

. 

Запись

 III 

закона

 

Кеплера

 

и

 

вывод

 

выражения

 

для

 

массы

 

спутника

 

оценивается

 

в

 2 

балла

. 

Наконец

, 

последние

 

2 

балла

 

выставляются

 

за

 

вычисление

 

массы

 

спутника

 

Сириуса

. 

Если

 

правильное

 

значение

 

массы

 

спутника

 

Сириуса

 

дается

 

без

 

обоснований

 

(

например

, 

по

 

памяти

 

участника

), 

то

 

итоговая

 

оценка

 

не

 

может

 

быть

 

более

 2 

баллов

. 

 

 16

10 

класс

 

 

1. 

Условие

. 

Астроном

 

проводит

 

визуальные

 

наблюдения

 

в

 

телескоп

 

с

 

увеличением

 10 

крат

. 

Определите

 

максимально

 

возможную

 

звездную

 

величину

 

самых

 

слабых

 

звезд

, 

которые

 

он

 

может

 

увидеть

.  

 

1. 

Решение

.

 

Нас

 

интересует

 

предельно

 

возможная

 

звездная

 

величина

, 

поэтому

 

будем

 

считать

, 

что

 

атмосферные

 

эффекты

  (

размытие

, 

поглощение

, 

фон

 

неба

) 

не

 

сказываются

 

на

 

наблюдениях

. 

Обозначим

 

диаметры

 

объектива

 

и

 

зрачка

 

человеческого

 

глаза

 

как

 

D

 

и

 

d

0

. 

Диаметр

 

выходного

 

пучка

 

света

 

от

 

звезды

 

d

 

будет

 

равен

 

D

/

Г

, 

где

 

Г

 – 

увеличение

, 

создаваемое

 

окуляром

 

телескопа

. 

Если

 

диаметр

 

выходного

 

пучка

 

будет

 

не

 

больше

, 

чем

 

d

0

 

(

увеличение

 

не

 

меньше

 

равнозрачкового

 

Г



D

/

d

0

), 

то

 

в

 

глаз

 

наблюдателя

 

попадет

 

весь

 

свет

, 

собранный

 

объективом

. 

Обозначив

 

поток

 

энергии

 

от

 

звезды

 

до

 

попадания

 

в

 

телескоп

 

как

 

F

0

, 

запишем

 

выражение

 

для

 

количества

 

энергии

, 

зарегистрированной

 

наблюдателем

 

в

 

единицу

 

времени

: 

 

.

,

4

4

0

2

0

0

2

0

2

0

0

2

0

Г

d

D

d

D

J

d

D

d

F

D

F

J





























 

 

Здесь

 

J

0

 – 

количество

 

энергии

 

от

 

звезды

, 

которое

 

за

 

то

 

же

 

время

 

зарегистрирует

 

невооруженный

 

глаз

. 

Если

 

увеличение

 

будет

 

меньше

, 

чем

 

D

/

d

0

, 

выходной

 

зрачок

 

d

 

будет

 

больше

 

зрачка

 

глаза

 

d

0

, 

и

 

не

 

вся

 

энергия

, 

собранная

 

телескопом

, 

попадет

 

в

 

глаз

 

наблюдателя

. 

Он

 

зарегистрирует

 

ее

 

лишь

 

часть

: 

 

 

.

,

4

4

0

2

0

2

2

0

2

0

2

0

Г

d

D

Г

J

d

D

d

d

d

D

F

J





































 

 

Получается

, 

что

 

при

 

фиксированном

 

увеличении

 

Г

 

для

 

телескопов

 

с

 

малыми

 

диаметрами

 

объектива

 

D

 

количество

 

собранного

 

света

 

будет

 

возрастать

 

пропорционально

 

D

2

, 

пока

 

не

 

достигнет

 

величины

 

J

0

Г

2

. 

Дальнейший

 

рост

 

диаметра

 

объектива

 

не

 

будет

 

изменять

 

величину

 

J

, 

так

 

как

 

она

 

уже

 

будет

 

описываться

 

второй

 

формулой

. 

В

 

итоге

, 

телескоп

 

поможет

 

различить

 

объекты

 

в

 

Г

2

 

раз

 

более

 

слабые

, 

чем

 

человеческий

 

глаз

. 

Предельная

 

звездная

 

величина

 

составит

 

m

 = 

m

0

 + 2.5 lg 

Г

2

 = 

m

0

 + 5 lg 

Г

 = 11. 

 

Здесь

 

m

0

 – 

предельная

 

звездная

 

величина

 

для

 

невооруженного

 

глаза

. 

 17

1. 

Система

 

оценивания

.

 

Задачу

 

можно

 

решать

 

несколько

 

разными

 

способами

, 

однако

 

в

 

любом

 

случае

 

нужно

 

показать

, 

что

 

существуют

 

два

 

возможных

 

случая

, 

в

 

одном

 

из

 

которых

 

количество

 

энергии

 

от

 

звезды

 

возрастает

 

до

 

определенного

 

уровня

, 

а

 

в

 

другом

 – 

остается

 

на

 

этом

 

уровне

. 

Рассмотрение

 

каждого

 

из

 

случаев

 

оценивается

 

по

 3 

балла

. 

Окончательный

 

вывод

 

и

 

вычисление

 

предельной

 

звездной

 

величины

 

оценивается

 

в

 2 

балла

. 

Эти

 2 

балла

 

выставляются

 

в

 

качестве

 

окончательной

 

оценки

, 

если

 

в

 

решении

 

сразу

 

записывается

 

последняя

 

формула

 

без

 

обоснования

. 

Участники

 

олимпиады

 

могут

 

брать

 

в

 

качестве

 

предельной

 

звездной

 

величины

 

для

 

невооруженного

 

глаза

 

значения

 

от

 5

m

 

до

 7

m

, 

в

 

противном

 

случае

 

оценка

 

снижается

 

на

 1 

балл

. 

 

2. 

Условие

. 

С

 

какой

 

части

 

поверхности

 

Земли

 

можно

 

наблюдать

 

Международную

 

космическую

 

станцию

, 

если

 

известно

, 

что

 

высота

 

ее

 

круговой

 

орбиты

 

составляет

 420 

км

, 

а

 

наклонение

 51.6 

градуса

? 

Рефракцией

, 

атмосферными

 

помехами

 

и

 

сжатием

 

Земли

 

пренебречь

. 

 

2. 

Решение

.

 

Изобразим

 

Землю

 

и

 

орбиту

 

МКС

 

со

 

стороны

 

одного

 

из

 

узлов

 

орбиты

 

МКС

 

(

точки

 

ее

 

пересечения

 

с

 

плоскостью

 

экватора

): 

 



h

R

D

i

A

B

 

 

МКС

 

располагается

 

на

 

низкой

 

круговой

 

орбите

, 

ее

 

период

 

обращения

 

существенно

 

меньше

 

земных

 

суток

. 

Поэтому

 

в

 

разные

 

моменты

 

времени

 

северная

, 

южная

 

и

 

экваториальная

 

часть

 

орбиты

 

будет

 

располагаться

 

над

 

разными

 

областями

 

поверхности

 

Земли

. 

В

 

этом

 

случае

 

на

 

экваторе

 

и

 

в

 

низких

 

широтах

 

с

 

модулем

 

меньше

 

наклона

 

орбиты

 

i

 

МКС

 

будет

 

периодически

 

видна

, 

более

 

того

, 

она

 

может

 

оказываться

 

там

 

в

 

зените

. 

Существенно

 

сложнее

 

ее

 

будет

 

наблюдать

 

в

 

высоких

 

широтах

. 

Определим

 

максимальную

 

широту

 



, 

на

 

которой

 

МКС

 

 18

сможет

 

наблюдаться

 

хотя

 

бы

 

на

 

горизонте

. 

Из

 

рисунка

 

видно

, 

что

 

это

 

можно

 

сделать

 

по

 

следующей

 

формуле

: 

.

9

.

71

arccos

O

h

R

R

i











 

 

Здесь

 

R

 – 

радиус

 

Земли

, 

h

 – 

высота

 

орбиты

 

МКС

. 

Если

 

бы

 

величина

 



 

получилась

 

большей

 

90



, 

это

 

бы

 

означало

, 

что

 

станцию

 

можно

 

наблюдать

 

со

 

всей

 

Земли

, 

включая

 

полюса

. 

Теперь

 

же

 

максимальное

 

расстояние

 

от

 

точки

 

наблюдения

 

до

 

плоскости

 

экватора

 

будет

 

равно

  

 

D

 = 

R

 sin 



. 

 

МКС

 

может

 

наблюдаться

 

на

 

широтах

 

с

 

модулем

 

меньше

 



 (

то

 

есть

, 

кроме

 

зон

, 

покрашенных

 

темным

 

цветом

 

на

 

рисунке

). 

Разделяя

 

площадь

 

соответствующей

 

поверхности

 

на

 

полную

 

площадь

 

поверхности

 

шара

, 

получаем

 

ответ

 

на

 

вопрос

 

задачи

: 

 

.

95

.

0

sin

4

4

2

















R

D

R

RD

 

 

2. 

Система

 

оценивания

.

 

При

 

решении

 

задачи

 

участник

 

олимпиады

 

должен

 

отметить

, 

что

 

орбитальный

 

период

 

МКС

 

существенно

 

меньше

 

суток

, 

и

 

разные

 

части

 

орбиты

 

в

 

разное

 

время

 

располагаются

 

над

 

разными

 

областями

 

поверхности

 

планеты

. 

Этот

 

вывод

 

оценивается

 

в

 1 

балл

. 

Вне

 

зависимости

 

от

 

его

 

наличия

, 

оставшаяся

 

часть

 

решения

 

оценивается

 

в

 

полной

 

мере

. 

Вычисление

 

максимальной

 

широты

 



  (

либо

 

расстояния

 

от

 

плоскости

 

экватора

 

D

), 

на

 

которой

 

может

 

наблюдаться

 

МКС

, 

оценивается

 

в

 4 

балла

. 

Вычисление

 

соответствующей

 

доли

 

поверхности

 

Земли

 

оценивается

 

в

 3 

балла

. 

Это

 

можно

 

делать

 

как

 

точно

 (

через

 

площадь

 

части

 

сферы

), 

так

 

и

 

приближенно

, 

считая

 

приполярные

 

области

 

невидимости

 

МКС

 

плоскими

 

кругами

, 

что

 

также

 

оценивается

 

полностью

. 

 

3. 

Условие

.

 14 

июля

 2015 

года

 

космический

 

аппарат

 New Horizons 

прошел

 

рядом

 

с

 

Плутоном

, 

имеющим

 

на

 

тот

 

момент

 

геоцентрические

 

координаты

 



=19

ч

00.2

м

, 



=–20



45



. 

В

 

какое

 

местное

 

время

 

станция

 

слежения

, 

расположенная

 

на

 

экваторе

 

Земли

, 

могла

 

отправить

 

сигнал

 

на

 

аппарат

, 

чтобы

 

получить

 

ответ

? 

Считать

, 

что

 

аппарат

 

дает

 

ответ

 

мгновенно

 

при

 

получении

 

сигнала

. 

Расстояние

 

от

 

Солнца

 

до

 

Плутона

 

в

 2015 

году

 

считать

 

равным

 33 

а

.

е

., 

атмосферные

 

помехи

 

и

 

уравнение

 

времени

 

не

 

учитывать

.  

 

 19

3. 

Решение

.

 

Прохождение

 

аппарата

 

мимо

 

Плутона

 

произошло

 

спустя

 21 

день

 

после

 

летнего

 

солнцестояния

. 

Поскольку

 

за

 

сутки

 

эклиптическая

 

долгота

 

Солнца

 

меняется

 

примерно

 

на

 1°, 

прямое

 

восхождение

 

Солнца

 



0

 

увеличится

 

примерно

 

на

 1.5 

часа

, 

т

.

е

. 

составит

 7.5 

часов

. 

По

 

координатам

 

мы

 

видим

, 

что

 

Плутон

 

в

 

момент

 

подлета

 

станции

 

был

 

вблизи

 

противостояния

 

с

 

Солнцем

, 

если

 

наблюдать

 

с

 

Земли

. 

Поэтому

 

геоцентрическое

 

расстояние

 

Плутона

 

D

 

было

 

на

 

1 

а

.

е

. 

меньше

 

гелиоцентрического

 

и

 

составляло

 32 

а

.

е

.  

Станция

 

может

 

отправить

 

сигнал

 

к

 

станции

 

только

 

в

 

тот

 

момент

, 

когда

 

Плутон

 

располагается

 

над

 

горизонтом

. 

Сигнал

 

должен

 

дойти

 

до

 

Плутона

, 

потом

 

то

 

же

 

время

 

потребуется

 

ответному

 

сигналу

. 

В

 

момент

 

приема

 

ответного

 

сигнала

 

станцией

 

Плутон

 

должен

 

вновь

 

находиться

 

над

 

горизонтом

. 

Определим

 

суммарное

 

время

, 

требуемое

 

прямому

 

и

 

ответному

 

сигналу

, 

чтобы

 

преодолеть

 

свой

 

путь

: 

 

.

9

~

32000

2

ч

c

c

D

T





 

 

Это

 

достаточно

 

большое

 

время

, 

но

 

все

 

же

 

меньшее

 12 

часов

 – 

именно

 

столько

 

Плутон

 

проводит

 

над

 

горизонтом

 

и

 

под

 

ним

 

на

 

экваторе

  (

разницей

 

между

 

продолжительностью

 

солнечных

 

и

 

звездных

 

суток

 

мы

 

пренебрегаем

). 

Поэтому

 

отправить

 

сигнал

 

на

 

экваторе

 

перед

 

заходом

 

Плутона

, 

чтобы

 

получить

 

ответный

 

сигнал

 

после

 

восхода

, 

не

 

получится

. 

Единственная

 

возможность

 – 

отправить

 

сигнал

 

вскоре

 

после

 

восхода

 

Плутона

 

и

 

получить

 

ответ

 

перед

 

его

 

заходом

. 

Определим

 

местное

 

время

 

восхода

 

и

 

захода

 

Плутона

 

на

 

экваторе

 

в

 

указанный

 

день

. 

Момент

 

верхней

 

кульминации

 

Плутона

 

в

 

этот

 

день

 

приходится

 

на

 

местное

 

время

: 

 

T

0

 = 12

ч

 + 



 – 



0

 = 23

ч

30

м

. 

 

Эта

 

планета

 

взойдет

 

на

 

экваторе

 

в

 17

ч

30

м

 

и

 

зайдет

 

в

 05

ч

30

м

. 

Сигнал

 

нужно

 

отправить

 

после

 

восхода

, 

но

 

не

 

менее

 

чем

 

за

 9

ч

 

до

 

захода

 

Плутона

. 

Этому

 

условию

 

удовлетворяет

 

интервал

 

от

 

17

ч

30

м

 

до

 20

ч

30

м

 

по

 

местному

 

времени

. 

 

3. 

Система

 

оценивания

.

 

Для

 

решения

 

задачи

 

нужно

 

определить

 

время

, 

которое

 

потребуется

 

сигналу

, 

чтобы

 

достичь

 

Плутона

 

и

 

вернуться

 

обратно

 

на

 

Землю

. 

Выполнение

 

этого

 

этапа

 

оценивается

 

в

 3 

балла

. 

Если

 

вместо

 

геоцентрического

 

расстояния

 

Плутона

 

берется

 

гелиоцентрическое

 (33 

а

.

е

.), 

оценка

 

уменьшается

 

на

 1 

балл

, 

но

 

дальнейшее

 

решение

 

оценивается

 

в

 

полной

 

мере

. 

Далее

 

участники

 

олимпиады

 

должны

 

сделать

 

вывод

, 

что

 

сигнал

 

 20

необходимо

 

отправить

 

вскоре

 

после

 

восхода

 

Плутона

, 

чтобы

 

получить

 

ответ

 

перед

 

его

 

заходом

, 

это

 

оценивается

 

в

 2 

балла

. 

Вычисление

 

допустимого

 

интервала

 

времени

 

оценивается

 

в

 3 

балла

. 

При

 

вычислениях

 

достаточна

 

точность

, 

представленная

 

в

 

решении

 

выше

. 

Участники

 

вправе

 

решать

 

задачу

 

более

 

точно

, 

оценка

 

определяется

 

правильностью

 

делаемых

 

вычислений

. 

 

4. 

Условие

.

 

Звезда

 A 

вдвое

 

горячее

, 

вдвое

 

дальше

 

и

 

выглядит

 

на

  2

m

 

ярче

, 

чем

 

звезда

 B. 

Найдите

 

соотношение

 

размеров

 

звезд

. 

Межзвездное

 

поглощение

 

не

 

учитывать

. 

 

4. 

Решение

.

 

Обозначим

 

потоки

 

световой

 

энергии

 

от

 

звезд

 A 

и

 B 

на

 

Земле

 

как

 

J

A

 

и

 

J

B

, 

расстояния

 

до

 

этих

 

звезд

 – 

как

 

D

A

 

и

 

D

B

. 

Определим

 

соотношение

 

светимостей

 

звезд

 

I

A

 

и

 

I

B

: 

 

 

.

25

4

10

;

4

2

4

.

0

2

2

,

,

,

























B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

D

D

J

J

I

I

D

I

J



 

 

По

 

закону

 

Стефана

-

Больцмана

, 

светимость

 

звезды

 

пропорциональна

 

ее

 

температуре

 

T

 

в

 

четвертой

 

степени

 

и

 

радиусу

 

R

 

во

 

второй

 

степени

. 

Отсюда

 

мы

 

получаем

 

соотношение

 

радиусов

 

звезд

: 

.

4

5

2

2

/

1





















A

B

B

A

B

A

T

T

I

I

R

R

 

 

4. 

Система

 

оценивания

. 

Для

 

решения

 

задачи

 

участники

 

должны

 

указать

 

два

 

базовых

 

факта

 

(

в

 

любой

 

последовательности

): 

видимая

 

яркость

 

звезды

 

пропорциональна

 

ее

 

светимости

 

и

 

обратно

 

пропорциональна

 

расстоянию

; 

светимость

 

пропорциональна

 

температуре

 

в

 

четвертой

 

степени

 

и

 

радиусу

 

во

 

второй

 

степени

. 

Указание

  (

текстовое

 

или

 

математическое

) 

каждого

 

факта

 

оценивается

 

по

 3 

балла

, 

итоговые

 

вычисления

 

оцениваются

 

в

 2 

балла

. 

 

5. 

Условие

.

 

Ближайшее

 

полное

 

солнечное

 

затмение

 

состоится

 9 

марта

 2016 

года

. 

Точка

, 

в

 

которой

 

полное

 

затмение

 

будет

 

видно

 

раньше

 

всего

, 

будет

 

располагаться

 

вблизи

 

экватора

 

(

широта

 –3



). 

На

 

какой

 

широте

 

будет

 

располагаться

 

последняя

 

точка

 

наблюдения

 

полной

 

фазы

 

затмения

? 

Луна

 

во

 

время

 

затмения

 

будет

 

около

 

нисходящего

 

узла

 

своей

 

орбиты

. 

 

5. 

Решение

.

 

Обратим

 

внимание

, 

что

 

затмение

 

происходит

 

вблизи

 

момента

 

весеннего

 

равноденствия

. 

В

 

этот

 

момент

 

линия

 

эклиптики

 

проходит

 

под

 

углом

 



 (23.4



) 

к

 

экватору

. 

Сама

 

Луна

 

движется

 

под

 

углом

 

i

 

к

 

эклиптике

, 

причем

 

она

 

находится

 

в

 

нисходящем

 

узле

. 

 21

Поэтому

 

движение

 

Луны

 

будет

 

происходить

 

под

 

углом

 (



 – 

i

) = 18.25



 

к

 

экватору

. 

Примерно

 

под

 

таким

 

же

 

углом

 

к

 

плоскости

 

экватора

 

будет

 

двигаться

 

тень

 

Луны

 

на

 

Земле

  (

так

 

как

 

угловое

 

перемещение

 

Земли

 

по

 

орбите

 

вокруг

 

Солнца

 

в

 

плоскости

 

эклиптики

 

происходит

 

со

 

значительно

 

меньшей

 

угловой

 

скоростью

). 

 



i

Экватор

Экли

птика

Путь

 

Луны

 

 

Рассмотрим

 

Землю

 

со

 

стороны

 

Луны

 

и

 

движение

 

тени

 

Луны

 

по

 

ней

. 

Будем

 

считать

, 

что

 

картина

 

наблюдается

 

прямо

 

в

 

момент

 

равноденствия

  (

это

 

не

 

приведет

 

к

 

существенной

 

ошибке

 

в

 

ответе

). 

Учтем

, 

что

 

проекция

 

второго

 

рисунка

 

зеркальна

 

по

 

отношению

 

к

 

проекции

 

первого

 

рисунка

. 

 

Экватор

Сев

.

полюс

ЗЕМЛЯ

Путь

 

тени













i



i

 

 

Из

 

рисунка

 

мы

 

получаем

 

соотношение

 

для

 

широт

 

точек

 

Земли

, 

в

 

которых

 

начнется

 

и

 

завершится

 

полное

 

затмение

: 



1

 = 90



 – (



 – 

i

) – 



;      



2

 = 90



 + (



 – 

i

) – 



; 

90



 – (



 – 

i

) – 



1

 = 90



 + (



 – 

i

) – 



2

; 



2

 = 



1

 + 2 (



 – 

i

) = +33.5



. 

 

 22

Несмотря

 

на

 

ряд

 

сделанных

 

допущений

, 

мы

 

получили

 

ответ

, 

всего

 

на

 0.5



 

превышающий

 

истинное

 

значение

.  

 

Система

 

оценивания

.

 

Для

 

решения

 

задачи

 

участники

 

должны

 

установить

, 

что

 

движение

 

Луны

 

в

 

день

 

затмения

 

будет

 

происходить

 

под

 

углом

 (



 – 

i

) 

к

 

экватору

, 

это

 

оценивается

 

в

 3 

балла

. 

Если

 

участник

 

олимпиады

 

не

 

учитывает

 

наклон

 

лунной

 

орбиты

 

к

 

эклиптике

 

и

 

вместо

 

угла

  (



 – 

i

) 

берет

 

угол

 



  (

с

 

окончательным

 

ответом

 

в

 

задаче

 +44



), 

то

 

из

 

этих

 3 

баллов

 

выставляется

 

только

 1, 

но

 

последующее

 

решение

 

при

 

условии

 

его

 

правильности

 

оценивается

 

в

 

полной

 

мере

. 

1 

балл

 

выставляется

 

за

 

указание

 

либо

 

понимание

, 

что

 

лунная

 

тень

 

будет

 

двигаться

 

под

 

тем

 

же

 

углом

  (

участники

 

могут

 

вычислить

 

этот

 

угол

 

более

 

точно

, 

с

 

учетом

 

движения

 

Земли

 

по

 

орбите

, 

что

 

не

 

влияет

 

на

 

оценку

). 

Построение

 

соотношения

 

между

 

широтами

 

первого

 

и

 

последнего

 

контактов

 

тени

 

Луны

 

с

 

Землей

 

оценивается

 

в

 3 

балла

. 

При

 

этом

 

можно

, 

но

 

не

 

обязательно

, 

учитывать

 

размеры

 

тени

, 

которые

 

не

 

скажутся

 

на

 

ответе

. 

Наконец

, 

вычисление

 

широты

 

последнего

 

контакта

 

оценивается

 

в

 1 

балл

. 

 

6. 

Условие

. 

Более

 20 

лет

 

назад

, 

в

 1995 

году

, 

была

 

открыта

 

первая

 

экзопланета

, 

обращающаяся

 

вокруг

 

звезды

 51 

Пегаса

. 

Масса

 

звезды

 

равна

 

массе

 

Солнца

. 

На

 

графике

 

приведена

 

зависимость

 

гелиоцентрической

 

лучевой

 

скорости

 

этой

 

звезды

 

от

 

времени

. 

Оцените

 

по

 

этому

 

графику

 

массу

 

экзопланеты

, 

считая

, 

что

 

луч

 

зрения

 

лежит

 

в

 

плоскости

 

ее

 

орбиты

.  

 

6. 

Решение

.

 

По

 

графику

 

мы

 

можем

 

определить

 

период

 

обращения

 

звезды

  (

и

 

ее

 

планеты

) 

вокруг

 

общего

 

центра

 

масс

 

T

, 

он

 

равен

 4.2 

суткам

. 

Амплитуда

 

лучевой

 

скорости

 

звезды

 

v

 

 23

составляет

 60 

м

/c. 

Мы

 

считаем

, 

что

 

луч

 

зрения

 

лежит

 

в

 

плоскости

 

орбит

 

в

 

системе

, 

следовательно

, 

полученная

 

величина

 

совпадает

 

с

 

полной

 

скоростью

 

звезды

. 

Изменения

 

лучевой

 

скорости

 

синусоидальные

, 

поэтому

 

мы

 

можем

 

считать

 

орбиту

 

круговой

, 

а

 

скорости

 

– 

постоянными

. 

Вычислим

 

радиус

 

орбиты

 

звезды

: 

 

.

3500

2

км

vT

A







 

 

Обозначим

 

массы

 

звезды

 

и

 

планеты

 

как

 

M

 

и

 

m

, 

радиус

 

орбиты

 

планеты

 

как

 

a

. 

Расстояние

 

между

 

компонентами

 

системы

 

равно

 

.

)

(

0

m

m

M

A

A

a

a









 

 

Здесь

 

a

 – 

большая

 

полуось

 

орбиты

 

планеты

. 

Мы

 

учли

, 

что

 

из

 

определения

 

центра

 

масс

  

AM

 = 

am

. 

Из

 III 

закона

 

Кеплера

 

имеем

: 

 

 

.

)

(

4

)

(

3

3

3

3

0

2

2

m

m

M

A

a

T

m

M

G










 

 

Масса

 

планеты

 

составляет

 

.

4

)

(

4

3

/

1

2

2

3

/

1

2

3

2

2

3

/

1

2

3

2

2

































G

A

M

v

GT

A

M

GT

A

m

M

m





 

 

Мы

 

получаем

 

значение

  9

·

10

26

 

кг

 

или

 

половина

 

массы

 

Юпитера

. 

С

 

учетом

 

возможного

 

наклона

 

орбиты

 

планеты

 

к

 

картинной

 

плоскости

  (

при

 

решении

 

не

 

рассматривалось

) 

масса

 

планеты

 

может

 

быть

 

больше

.  

 

6. 

Система

 

оценивания

.

 

Первая

 

часть

 

решения

 

задания

 

связана

 

с

 

анализом

 

графика

, 

из

 

которого

 

участники

 

олимпиады

 

должны

 

получить

 

значения

 

орбитального

 

периода

 (1 

балл

) 

и

 

амплитуды

 

лучевой

 

скорости

 (1 

балл

), 

при

 

этом

 

допускаются

 

отклонения

 

от

 

указанных

 

выше

 

величин

 

в

 

пределах

 20%. 

Связь

 

скорости

  (

или

 

радиуса

 

орбиты

) 

звезды

, 

планеты

 

и

 

центра

 

масс

 

оценивается

 

в

 2 

балла

. 

Правильное

 

применение

 III 

закона

 

Кеплера

  (

или

 

формул

 

кругового

 

движения

) 

оценивается

 

еще

 

в

 2 

балла

. 

Наконец

, 

последние

 2 

балла

 

выставляются

 

за

 

вычисление

 

массы

 

экзопланеты

. 

Если

 

правильное

 

значение

 

массы

 

планеты

 

дается

 

без

 

обоснований

, 

то

 

итоговая

 

оценка

 

не

 

может

 

быть

 

более

 2 

баллов

. 

 24

11 

класс

 

 

1. 

Условие

.

 

Звезда

 

имела

 

в

 

зените

 

видимый

 

блеск

 0

m

, 

а

 

на

 

высоте

 30 

градусов

 

стала

 

светить

 

вдвое

 

слабее

. 

Какую

 

звездную

 

величину

 

она

 

будет

 

иметь

 

на

 

высоте

 20 

градусов

 

над

 

горизонтом

? 

Атмосферные

 

условия

 

считать

 

постоянными

 

и

 

однородными

. 

 

1. 

Решение

.

 

При

 

стабильных

 

атмосферных

 

условиях

 

вдали

 

от

 

горизонта

 

для

 

решения

 

данной

 

задачи

 

мы

 

можем

 

считать

 

атмосферу

 

некоторым

 

плоским

 

слоем

 

толщиной

 

L

. 

Поглощение

 

света

 

в

 

ней

 (

увеличение

 

видимой

 

звездной

 

величины

 

светила

) 

будет

 

пропорционально

 

пути

 

луча

 

в

 

ней

 

D

=

L

/sin 

h

, 

где

 

h

 – 

высота

 

светила

 

над

 

горизонтом

. 

 

Зенит

Наблюдатель

Атмосфера

h

L

D

 

Тогда

 

видимая

 

звездная

 

величина

 

объекта

 

m

 

зависит

 

от

 

его

 

высоты

 

над

 

горизонтом

 

h

 

как

 

 

.

sin

0

h

E

m

m

m





 

 

Здесь

 

величина

 

E

m

 

есть

 

ослабление

 

блеска

 

звезды

 

в

 

зените

. 

Нам

 

известно

, 

что

 

в

 

зените

 

(1/sin

h

1

 = 1) 

величина

 

m

1

 

равна

 0, 

а

 

на

 

высоте

 30



 (1/sin

h

2

 = 2) 

звездная

 

величина

 

составляет

 

 

m

2

 = 

m

1

 + 2.5 lg 2 = 0.75. 

 

Отсюда

 

мы

 

получаем

: 

m

0

 = –0.75, 

E

m

 = 0.75. 

Для

 

высоты

 

h

3

, 

равной

 20



, 

имеем

: 

 

.

4

.

1

20

sin

75

.

0

75

.

0

3









O

m

 

 

Указанная

 

ситуация

, 

очевидно

, 

относится

 

к

 

сильно

 

запыленной

 

атмосфере

. 

Если

 

пыль

 

располагается

 

в

 

самых

 

нижних

 

слоях

  (

а

 

это

 

обычно

 

так

), 

то

 

записанная

 

простая

 

модель

 

 25

закона

 

Бугера

 

для

 

плоской

 

атмосферы

 

работает

 

до

 

еще

 

меньших

 

высот

 

над

 

горизонтом

, 

и

 

ее

 

использование

 

в

 

данном

 

случае

 

вполне

 

оправдано

.  

 

1. 

Система

 

оценивания

.

 

Для

 

решения

 

задачи

 

участники

 

олимпиады

 

должны

 

воспользоваться

 

законом

 

изменения

 

звездной

 

величины

 

звезды

 

в

 

зависимости

 

от

 

ее

 

высоты

 

над

 

горизонтом

  (

или

 

зенитного

 

расстояния

) – 

законом

 

Бугера

. 

Он

 

может

 

быть

 

записан

 

по

-

разному

 (

звездные

 

величины

, 

логарифмы

 

яркости

, 

сама

 

яркость

 

в

 

экспоненциальном

 

виде

), 

что

 

является

 

в

 

равной

 

степени

 

правильным

 

и

 

оценивается

 

в

 3 

балла

. 

Восстановление

 

параметров

 

закона

 

Бугера

  (

звездная

 

величина

 

или

 

яркость

 

в

 

зените

 

или

 

за

 

атмосферой

, 

параметр

 

E

m

 

или

 

его

 

аналог

) 

оценивается

 

еще

 

в

 3 

балла

. 

Наконец

, 

вычисление

 

звездной

 

величины

 

на

 

высоте

 20



 

оценивается

 

еще

 

в

 2 

балла

. 

 

2. 

Условие

. 

Две

 

яркие

 

звезды

 – 

Сириус

  (



=06

ч

45.1

м

, 



=–16



43



) 

и

 

Вега

  (



=18

ч

36.9

м

, 



=+38



47



) – 

располагаются

 

на

 

одинаковой

 

высоте

 

над

 

горизонтом

. 

На

 

какой

 

широте

 

на

 

Земле

 (

с

 

точностью

 

до

 

градуса

) 

эта

 

высота

 

будет

 

наибольшей

? 

 

2. 

Решение

.

 

Сириус

 

и

 

Вега

 

находятся

 

на

 

небе

 

далеко

 

друг

 

от

 

друга

, 

но

 

не

 

в

 

противоположных

 

точках

 

небесной

 

сферы

. 

Через

 

них

 

можно

 

провести

 

ровно

 

один

 

большой

 

круг

 

небесной

 

сферы

. 

Звезды

 

располагаются

 

на

 

одной

 

высоте

 

над

 

горизонтом

 

на

 

этом

 

круге

. 

Эта

 

высота

 

будет

 

наибольшей

, 

если

 

данный

 

круг

 

располагается

 

вертикально

, 

проходя

 

через

 

зенит

 (

см

. 

рисунок

): 

Сириус

Эква

тор

Вега

Зенит

Сев

.

полюс

мира











z

z

 

 26

Угловое

 

расстояние

 

между

 

Сириусом

 

и

 

Вегой

, 

как

 

видно

 

по

 

координатам

, 

составляет

 

примерно

 160



, 

и

 

звезды

 

будут

 

видны

 

примерно

 

на

 10



 

над

 

горизонтом

. 

Разность

 

прямых

 

восхождений

 

Сириуса

 

и

 

Веги

 

существенно

 

меньше

, 

и

 

мы

 

можем

 

считать

 

их

 

одинаковыми

. 

Тогда

 

большой

 

круг

, 

содержащий

 

две

 

звезды

 

и

 

зенит

, 

пройдет

 

также

 

через

 

полюса

 

мира

 

и

 

совпадет

 

с

 

небесным

 

меридианом

. 

Обозначим

 

зенитные

 

расстояния

 

звезд

 

как

 

z

. 

Для

 

северного

 

полушария

 

Земли

 (

рисунок

) 

и

 

южного

 

полушария

 

мы

 

можем

 

записать

: 

 

Северное

 

полушарие

:  

z

 + 



2

 = 180



 – 



  

z

 + 



1

 = 



 

z

 + 



1

 + 

z

 + 



2

 = 180



. 

Южное

 

полушарие

:  

z

 – 



2

 = 180



 – 



  

z

 – 



1

 = 



 

z

 – 



1

 + 

z

 – 



2

 = 180



. 

 

Отсюда

 

мы

 

получаем

 

величины

 

зенитных

 

расстояний

: 79



 

для

 

северного

 

полушария

 

и

 101



 

для

 

южного

 

полушария

. 

По

 

условию

 

задачи

, 

звезды

 

располагаются

 

над

 

горизонтом

, 

и

 

мы

 

выбираем

 

случай

 

северного

 

полушария

. 

Очевидно

, 

Сириус

 

располагается

 

в

 

верхней

 

кульминации

, 

Вега

 – 

в

 

нижней

 

кульминации

. 

Широта

 

места

 

наблюдения

 

составляет

 

 



 = 



1

 + 

z

 = 180



 –



2

 – 

z

 = +62



. 

 

Этот

 

ответ

 

очень

 

близок

 

к

 

точному

, 

который

 

можно

 

было

 

бы

 

получить

, 

не

 

предполагая

 

противоположность

 

прямых

 

восхождений

 

звезд

 (+61.9



). 

 

2. 

Система

 

оценивания

.

 

Для

 

решения

 

задачи

 

участники

 

должны

 

указать

, 

в

 

каком

 

случае

 

одинаковая

 

высота

 

Сириуса

 

и

 

Веги

 

над

 

горизонтом

 

будет

 

наибольшей

: 

большой

 

круг

, 

проведенный

 

через

 

эти

 

звезды

, 

должен

 

пройти

 

также

 

через

 

зенит

. 

Этот

 

вывод

, 

сделанный

 

словами

 

или

 

графически

, 

оценивается

 

в

 2 

балла

. 

Далее

 

участники

 

могут

 

строить

 

метод

 

точного

 

вычисления

 

широты

  (

через

 

формулы

 

сферической

 

тригонометрии

 

или

 

векторный

 

анализ

), 

что

 

должно

 

быть

 

засчитано

 

полностью

 (6 

баллов

) 

при

 

условии

 

правильного

 

выполнения

. 

При

 

использовании

 

приближенного

 

метода

, 

описанного

 

выше

, 

участники

 

должны

 

записать

 

условие

 

равных

 

высот

 

для

 

северного

 

полушария

 (2 

балла

), 

ту

 

же

 

формулу

 

для

 

южного

 

полушария

 

либо

 

обоснование

, 

почему

 

этот

 

случай

 

не

 

нужно

 

рассматривать

 (2 

балла

), 

и

, 

наконец

, 

определить

 

значение

 

широты

 (2 

балла

). 

Задачу

 

можно

 

также

 

решить

, 

 27

найдя

 

середину

 

дуги

 

большого

 

круга

 

небесной

 

сферы

, 

соединяющей

 

Вегу

 

и

 

Сириус

, 

и

 

приравнять

 

склонение

 

этой

 

точки

 

широте

 

места

. 

Если

 

участники

 

олимпиады

 

сразу

 

и

 

без

 

обоснований

 

указывают

, 

что

 

Сириус

 

находится

 

в

 

верхней

 

кульминации

, 

а

 

Вега

 

в

 

нижней

 

кульминации

, 

то

 

итоговая

 

оценка

 

в

 

случае

 

правильного

 

ответа

 

не

 

может

 

превышать

 4 

баллов

. 

 

3. 

Условие

. 

Задолго

 

до

 

подлета

 

межпланетной

 

станции

 

к

 

Нептуну

 

со

 

стороны

 

Солнца

 

диск

 

его

 

спутника

 

Тритон

 

различим

 

с

 

борта

 

станции

 

в

 

некоторый

 

телескоп

, 

причем

 

выглядит

 

таким

 

же

 (

по

 

видимым

 

размерам

 

и

 

яркости

), 

как

 

сам

 

Нептун

 

без

 

телескопа

. 

Найдите

 

диаметр

 

объектива

 

телескопа

 

и

 

его

 

увеличение

. 

Геометрическое

 

альбедо

 

Нептуна

 

и

 

Тритона

 

равно

 

0.41 

и

 0.76 

соответственно

. 

 

3. 

Решение

.

 

По

 

условию

 

задачи

, 

станция

 

подлетает

 

к

 

Нептуну

 

со

 

стороны

 

Солнца

, 

поэтому

 

планета

 

и

 

все

 

ее

 

спутники

, 

видимые

 

в

 

тот

 

или

 

иной

 

момент

, 

будут

 

иметь

 

полную

 

фазу

, 

то

 

есть

 

выглядеть

 

как

 

круглые

 

диски

. 

Для

 

углового

 

диаметра

 



 

и

 

яркости

 

объекта

 

j

  (

или

 

плотности

 

потока

 

энергии

 

от

 

него

) 

в

 

этом

 

случае

 

справедливы

 

соотношения

: 

 

.

4

4

;

2

2

2

2

L

A

I

L

A

I

j

L



















 

 

Здесь

 

I

 – 

поток

 

солнечного

 

излучения

 

вблизи

 

объекта

, 

L

 – 

расстояние

 

до

 

него

, 



 

и

 

A

 – 

диаметр

 

и

 

геометрическое

 

альбедо

 

объекта

. 

Отметим

, 

что

 

в

 

случае

 

использования

 

сферического

 

альбедо

 

в

 

предположении

 

одинакового

 

отражения

 

света

 

во

 

все

 

стороны

, 

в

 

знаменателе

 

появился

 

бы

 

еще

 

множитель

 4. 

Это

 

не

 

меняло

 

бы

 

дальнейшее

 

решение

 

задачи

, 

так

 

как

 

это

 

в

 

равной

 

степени

 

относилось

 

бы

 

к

 

Нептуну

 

и

 

Тритону

. 

По

 

условию

 

задачи

, 

космический

 

аппарат

 

находится

 

еще

 

достаточно

 

далеко

 

от

 

системы

  "

Нептун

-

Тритон

", 

поэтому

 

расстояния

 

до

 

Нептуна

 

и

 

Тритона

 

можно

 

считать

 

одинаковыми

. 

Также

 

одинакова

 

для

 

них

 

величина

 

I

. 

При

 

использовании

 

телескопа

 

с

 

диаметром

 

объектива

 

D

 

и

 

увеличением

 

Г

 

видимый

 

диаметр

 

объекта

 

будет

 

равен

 

 



' = 



·

Г

. 

 

Видимая

 

яркость

 

объекта

 

зависит

 

от

 

параметров

 

телескопа

, 

который

 

при

 

этом

 

используется

. 

Если

 

увеличение

 

телескопа

 

Г

 

больше

 

отношения

 

диаметров

 

телескопа

 (

D

) 

и

 

зрачка

 

глаза

 (

d

), 

то

 

вся

 

собранная

 

объективом

 

световая

 

энергия

 

попадет

 

в

 

глаз

 

наблюдателя

: 

 28

 

;

,

'

2

2

d

D

Г

d

D

j

j





 

 

Вспомним

, 

что

 

величина

 

j

 

соответствует

 

наблюдениям

 

невооруженным

 

глазом

. 

Если

 

же

 

увеличение

 

меньше

, 

то

 

в

 

глаз

 

попадет

 

лишь

 

энергия

, 

собранная

 

центральной

 

частью

 

объектива

 

диаметром

 

d·

Г

. 

Тогда

 

.

,

'

2

d

D

Г

j

Г

j





 

 

По

 

условию

 

задачи

, 

Тритон

 (

индекс

 2) 

выглядит

 

в

 

телескоп

 

таким

 

же

, 

как

 

Нептун

 (

индекс

 1) 

без

 

телескопа

, 

то

 

есть

  



'

2

 = 



1

,    

j

'

2

 = 

j

1

. 

 

Тогда

 

равенства

 

видимых

 

диаметров

 

мы

 

имеем

: 

 

 

.

18

;

1

'

2

1

1

2

1

2

1

2



















Г

Г

Г









 

 

Из

 

равенства

 

видимой

 

яркости

: 

 

 

;

,

1

1

'

2

2

2

1

2

2

1

2

2

2

2

1

2

2

2

1

2

1

2

d

D

Г

Г

d

D

A

A

d

D

A

A

d

D

j

j

j

j























 

.

,

1

1

'

1

2

2

2

1

2

2

1

2

2

2

1

2

2

1

2

1

2

d

D

Г

A

A

Г

Г

A

A

Г

A

A

Г

j

j

j

j

























 

 

Во

 

втором

 

случае

 

мы

 

пришли

 

к

 

противоречию

, 

так

 

как

 

геометрическое

 

альбедо

 

у

 

Нептуна

 

и

 

Тритона

 

разное

, 

их

 

отношение

 

не

 

равно

 

единице

. 

Для

 

первого

 

случая

 

имеем

: 

 

 

.

8

5

.

13

2

1

2

1

2

1

см

d

A

A

d

A

A

d

Г

D















 

 

Диаметр

 

зрачка

 

глаза

 

принят

 

равным

 6 

мм

  (

необходимо

 

удостовериться

, 

что

 

выполняется

 

соотношение

 

Г



D

/

d

). 

Обратим

 

внимание

, 

что

 

решение

 

задачи

 

существует

 

только

 

при

 

A

2



A

1

 

(

геометрическое

 

альбедо

 

у

 

спутника

 

не

 

меньше

, 

чем

 

у

 

планеты

).