Астрономия (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 45

Всероссийская олимпиада школьников по астрономии

 2015–2016 

уч. г

. 

Муниципальный

 

этап

. 10 

класс

 

 

без письменного согласия ГАОУ ДПО ЦПМ запрещена.

 

7

 

 

 

Явление

 

Май

 

Ноябрь

 

Полярные сияния

 

 

 

Метеоры

 

 

 

Серебристые облака

 

 

 

 

А

 – 

Наблюдения данного явления практически невозможны.

 

Б

  – 

Наблюдения  данного  явления  маловероятны,  но  всё  же  возможны  при 

определённом везении

. 

В

 – 

С высокой степенью вероятности

 

данное явление удастся пронаблюдать

. 

Г

 – 

Внимательный  наблюдатель  обязательно  сумеет  пронаблюдать  данное 

явление.

 

 

Решение 

1.  Полярные  сияния  редко  наблюдаются  на  наших  широтах,  но  при  высокой 
солнечной  активности  и  наличии  тёмного  неба  это  возможно.  В  частности, 
в

 

текущем 2015 году полярные сияния наблюдались. Таким образом, и в мае, и 

в ноябре ответ Б.

 

2. Метеоры можно наблюдать каждую ночь. Даже при

 

отсутствии регулярных 

метеорных  потоков  можно  ожидать  увидеть  несколько  спорадических 
(случайных) метеоров за ночь, необходимо лишь тёмное небо. Ответ Г и в мае, 
и в ноябре.

 

3. Серебристые облака можно наблюдать на сумеречном небе, когда небо уже 
достаточно тёмное, но на высоте в 80 км они ещё освещаются Солнцем. Близко 
ко  дню  летнего  солнцестояния,  во  второй  половине  мая  они  наблюдаются 
достаточно  регулярно,  хотя  и  не  каждую  ночь,  ответ  В,  в  ноябре  же  их 
наблюдения исключены, ответ А. 

 

 

Явление

 

Май

 

Ноябрь

 

Полярные сияния

 

Б

 

Б

 

Метеоры

 

Г

 

Г

 

Серебристые облака

 

В

 

А

 

 

Каждая верная строка в таблице оценивается в 

1 балл

. Дополнительно 

1 балл

 

ставится за обоснование строки Полярные сияния и по 

2 балла

 

за обоснование 

строки Метеоры и Серебристые облака. 

 

Максимум за задачу 

– 

8 баллов

. 

 

 

Максимальный балл за всю работу 

– 48.

 

Всероссийская олимпиада школьников по астрономии

 2015–2016 

уч. г

. 

Муниципальный

 

этап

. 11 

класс

 

 

без письменного согласия ГАОУ ДПО ЦПМ запрещена.

 

1

 

 

Решения и критерии

 

оценивания

 

 

Задача 

1. 

Склонения звёзд

 

В  астрономии  для  определения  координат  на  небе  используют  прямое 
восхождение  (аналог  географической  долготы)  и  склонение  (аналог  широты). 
Величина  склонения  меняется  от 

–

90  (южный  полюс  мира)  до  +90  градусов 

(северный  полюс  мира).  Три  ярчайшие  для  невооружённого  глаза  звезды 
ночного неба имеют следующие склонения:

 

 

Звезда

 

Склонение

 

Сириус

 

–17° 

Канопус

 

–53° 

Толиман

 

–61° 

 

Определите для каждой из звёзд, на каких широтах Земли они остаются всегда 
выше  и  всегда  ниже  линии  горизонта,  то  есть  являются  незаходящими  и 
невосходящими светилами соответственно.

 

 

Решение 
 

 

 

Высота  северного  полюса  мира  над  горизонтом  равна  широте  места 
наблюдения (

h

С

 

= 

φ). Высота южного равна широте, взятой с противоположным 

знаком  (

h

Ю

 

= –

φ).  Если  угловое  расстояние  от  ближайшего  полюса  мира  до 

звезды (величина 90

° – 

|δ|) меньше его высоты, такая звезда будет незаходящей. 

Все три звезды находятся в южном полушарии, так что нас интересует южный 

Всероссийская олимпиада школьников по астрономии

 2015–2016 

уч. г

. 

Муниципальный

 

этап

. 11 

класс

 

 

без письменного согласия ГАОУ ДПО ЦПМ запрещена.

 

2

 

 

полюс мира (δ

 = –90°). 

δ

 – (–90°) < h

Ю

 

=> δ 

– (–90°) < –

φ => δ

 + 90° + 

φ

 < 0 => 

=> 

φ

 < –

δ

 – 90°. 

Подставляя  значения  δ  для  каждой  звезды,  получаем  для 

Сириуса  φ

 < –73

°

,  для  Канопуса  φ

 < –37

°

,  для  Толимана  φ

 < –29

°

.  Иными 

словами,  Сириус  не  заходит  южнее  7

3° 

ю.

 

ш.,  Канопус  южнее  37

° 

ю.

 

ш., 

Толиман южнее 29

° 

ю.

 

ш.

  

 

 

Звёзды  южного  полушария  могут  быть  невосходящими  при  наблюдении  из 
северного  полушария.  Высота  светил  в  верхней  кульминации  составляет 

h = 90° – 

φ

 + 

δ,  если  высота  отрицательна,  светила  всегда  остаются  под 

горизонтом. 90

° – 

φ

 + 

δ < 0

°, 

φ

 > 90 + 

δ

. 

Таким  образом,  Сириус  является  невосходящим  на  широтах  севернее 

 

φ

 > 73° 

с.

 

ш.,  для Канопуса  φ

 > 37° 

с.

 

ш.,  для  Толимана  φ

 > 29° 

с.

 

ш.  Обратите 

внимание,  что  области  являются  симметричными

; 

если  в  одном  полушарии 

звезда  является  незаходящей  на  данных  широтах,  то  в  другом  полушарии  она 
не восходит на тех же по модулю широтах.

 

 

К  решению  данной  задачи  возможны  различные  подходы.  Верная  формули

-

ровка  критериев,  при  которых  звезда  становится  невосходящей/незаходящей 
оценивается в 

2 балла

 

(суммарно 

4

). Ещё по 

2 

балла

 

(суммарно 

4

) 

добавляется, 

если проведены верные расчёты 

незаходимости

 

/невосходимости

 

для всех трёх 

звёзд

. 

При  наличии  арифметических  ошибок  хотя  бы  для  одной  звезды 

соответствующая оценка снижается до 

1 балла

 

из 2

.  

 
Максимум за задачу

 – 

8 баллов

. 

 

Всероссийская олимпиада школьников по астрономии

 2015–2016 

уч. г

. 

Муниципальный

 

этап

. 11 

класс

 

 

без письменного согласия ГАОУ ДПО ЦПМ запрещена.

 

3

 

 

Задача 

2. 

Лампа и Солнце

 

На каком расстоянии от наблюдателя освещённость от Солнца будет такой же, 
как  от  лампы  мощностью  100  Ватт  на  расстоянии  в  1  метр?  Сравните 
с

 

расстоянием  от  Солнца  до  Земли  (150  млн  км).  Считайте,  что  половина 

излучения  Солнца  приходится  на  видимый  диапазон  (КПД

  – 

50%),  а  КПД 

лампы

 – 

10%. Полная светимость Солнца составляет 4·10

26 

Вт.

 

 

 

Решение 

Освещённость  обратно  пропорциональна  квадрату  расстояния

 

от  источника 

света. Приравниваем освещённость от Солнца и лампы: 

 

𝜂

Солнце

·

𝐿

Солнце

𝑟

Солнце

2

=

𝜂

Лампа

·

𝐿

Лампа

𝑟

Лампа

2

 

Таким образом, искомое расстояние равно

 

𝑟

Солнце

=

�

𝜂

Солнце

·

𝐿

Солнце

·

𝑟

Лампа

2

𝜂

Лампа

·

𝐿

Лампа

=

�

0

,

5

·

4

·

10

26

0

,

1

·

100

= 4,47 · 10

12

 

метров,

 

что  составляет  примерно  30  расстояний  между  Солнцем  и  Землёй 
(астрономических единиц).

 

 

Верный  расчёт  оценивается  в 

7  баллов

,  ещё 

1  балл

 

ставится  за  сравнение 

с

 

расстоянием  Земля

-

Солнце.  За  неверный  учёт  (или  игнорирование)  КПД 

оценка  снижается  на 

2  балла

.  Угаданный  ответ,  с  отсутствующим  или  грубо 

неверным  решением,  оценивается  в 

1  балл

.  При  использовании  показателя 

степени  при  расчёте  освещённости,  отличного  от  квадрата,  оценка  не 
превышает 

2 балла

. 

Максимум за задачу

 – 

8 баллов

. 

 
 

Задача 

3. 

Мобильный телефон

 

Пусть  разрешение  матрицы  камеры  мобильного  телефона  составляет  16

 

Мп 

(16 

миллионов  пикселей), размер светочувствительного сенсора

  –  5,5 × 4,1 

мм. 

Фокусное  расстояние  камеры  составляет  4

 

мм,

 

диаметр  объектива 

–  1,9 

мм. 

Определите,  сколько  пикселей  займёт  изображение  Луны  на  снимке 
мобильного телефона. Считайте, что светочувствительные элементы (пиксели)

 

имеют  квадратную  форму  и

 

расположены  вплотную  друг  к  другу.  Угловой 

диаметр Луны равен 0,5°.

 

 

 

 

Всероссийская олимпиада школьников по астрономии

 2015–2016 

уч. г

. 

Муниципальный

 

этап

. 11 

класс

 

 

без письменного согласия ГАОУ ДПО ЦПМ запрещена.

 

4

 

 

Решение 

Прежде  всего  определим  линейный  размер  изображения  Луны  на  матрице 
телефона.  Считаем,  что  матрица  находится  в  фокальной  плоскости  камеры. 
Угловой  размер  Луны  следует  предварительно  перевести  из  градусов 
в

 

радианы, 

𝛼

= 0,5° =

0

,

5

180 𝜋

�

~8,73

∙

10

−3

радиан

.

 

Диаметр  изображения  Луны 

равен

 

𝑑

=

𝐹

tan

𝛼

~

𝐹𝛼

= 4

∙

 8,73

∙

10

−3

радиан

~0,035 

мм

.

 

(1 балл)

 

 

Соответственно, площадь изображения составит

 

𝑆

=

𝜋 𝑑

2

4

�

= 9,6

∙

10

−4

 

мм

2

.

 

(1 балл)

 

Теперь  определим  площадь  одного  светочувствительного  элемента  матрицы 
(пикселя). Для этого разделим площадь камеры на общее число пикселей. 

 

𝑎

=

5

,

5∙4

,

1

16∙10

6

~1,41

∙

10

−6

мм

2

.

 

(2 балла)

 

 

Наконец, разделим площадь изображения Луны на площадь пикселя и получим 
ответ:

 

𝑁

=

9

,

6∙10

−4

 

мм

2

1

.

41∙10

−6

мм

2

~680 

пикселей

. 

(4 балла)

 

  

Полностью правильное решение оценивается в 

8 баллов

. Возможно множество 

подходов  к  решению  данной  задачи.  Ответ  может  несколько  отличаться  из

-

за 

различного  округления.

 

Если  школьник  верно  выразит  диаметр  Луны 

в

 

пикселях (около 30), но не её площадь, решение рекомендуется оценивать не 

более чем в 

5 баллов

.

 

Максимум за задачу

 – 

8 баллов

. 

 

Задача 

4. 

Экзопланеты 

 

Вокруг  звезды  в  созвездии  Столовая  Гора  (α

 = 5 

ч

 45 

м,  δ

 = –

70°)  по 

эллиптическим  орбитам  вращаются  три  планеты  (назовём  их  А,  Б  и  В). 
Некоторые параметры этих орбит приведены в таблице.

 

 

Параметр

 

Планета А

 

Планета Б

 

Планета В

 

Период обращения, земные сутки

 

5,64 

14,03 

? 

Большая полуось, а.

 

е.

 

? 

0,0954 

0,172 

Эксцентриситет

 

0,2 

0,11 

0,2 

 

Определите период планеты В и большую полуось планеты А.

 

 

Всероссийская олимпиада школьников по астрономии

 2015–2016 

уч. г

. 

Муниципальный

 

этап

. 11 

класс

 

 

без письменного согласия ГАОУ ДПО ЦПМ запрещена.

 

5

 

 

Решение 

Период  обращения  планеты  и  большая  полуось  её  орбиты  связаны 
соотношением, известным как 3

-

й закон Кеплера:

 

𝑎

𝐴

3

𝑇

А

2

=

𝑎

Б

3

𝑇

Б

2

=

𝑎

В

3

𝑇

В

2

=

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

. 

Обратите  внимание,  что  эксцентриситет  в  данное  соотношение  не  входит.

 

Таким образом, большая полуось планеты

 

А равна 

 

𝑎

А

=

�

𝑇

А

2

·

𝑎

Б

3

𝑇

Б

2

=

3

�

5,64

2

· 0,0954

3

14,03

2

3

≈

0,052 

а

.

е

.

 

 

Период планеты В равен 

𝑇

В

=

�

𝑇

Б

2

·

𝑎

В

3

𝑎

Б

3

=

�

𝑇

Б

2

·

𝑎

В

3

𝑎

Б

3

=

�

14

,

03

2

·

0

,

172

3

0

,

0954

3

≈

34 

суток

 

 
 

Верная  запись  3

-

го  закона  Кеплера  оценивается  в 

2  балла

,  верные  расчёты

  – 

в 

3  балла

 

для  каждой  планеты.  За  верные  решения,  не  использующие  закон 

Кеплера, работа также оценивается максимально, т.

 

е. в 

8 баллов

.

 

Максимум за задачу

 – 

8 баллов

. 

 

Задача 

5.

 

Соединение планет

  

26 октября Венера находилась в наибольшей западной элонгации, то есть в этот 
день  угловое  расстояние  между  Солнцем  и  Венерой  достигло  максимального 
значения в 46°. На  угловом расстоянии в 1°  от  Венеры в тот день находилась

 

планета Юпитер, а в 3,5°

 – 

Марс.

 

1.  Расположите  три  планеты  (Венера,  Марс,  Юпитер)  в  порядке  увеличения 
расстояния от Земли в этот день, от самой близкой до самой далёкой.

 

2.  Расположите  три  планеты  в  порядке  убывания  их  яркости  на  нашем  небе 
в

 

этот день, от самой яркой до самой тусклой. 

 

3. Расположите три  планеты в порядке  убывания их  углового размера  на небе 
в

 

этот день, от самой большой до самой маленькой. 

 

4.

 

Определите фазу Венеры и Юпитера

.

  

 

 

Всероссийская олимпиада школьников по астрономии

 2015–2016 

уч. г

. 

Муниципальный

 

этап

. 11 

класс

 

 

без письменного согласия ГАОУ ДПО ЦПМ запрещена.

 

6

 

 

Решение 

Конфигурация планет показана на рисунке. 

 

 

 

Расстояния до планет следуют из него явным образом, для определения блесков 
и  угловых  размеров  потребуются  некоторые  априорные  знания.  Венера

  – 

практически всегда самая яркая планета при наблюдении с Земли, Марс может 
быть  сравним  по  блеску  с  Юпитером,  но  лишь  вблизи  собственного  противо

-

стояния.  Венера  может  превысить  угловой  размер  Юпитера,  но  лишь  вблизи 
нижнего соединения, когда расстояние между Венерой и Землёй минимально. 

 

 

Ответы 

1. Венера

 – 

Марс

 – 

Юпитер (

2 балла

) 

2. Венера

 – 

Юпитер

 – 

Марс (

2 балла

) 

3. Юпитер 

– 

Венера

 – 

Марс (

2 балла

) 

4.  Фаза  Венеры  0,5  или  50%  (

1  балл

),  фаза  Юпитера  стремится  к  1  (100%). 

 

(

1 балл

) 

Максимум за задачу

 – 

8 баллов

. 

 

Задача 

6.

 

Сравнение фотографий

 

Представьте,  что  Вы  сравниваете  снимки  неба,  полученные  фотоаппаратом  с 
обычным  фотообъективом  и  сделанные  через  телескоп.  Телескоп  направлен  в 
случайно выбранное место на небе.

 

Укажите:

 

1) 

на каком снимке будет выше доля звёзд, более массивных

, 

чем наше Солнце

; 

2) 

на каком снимке будет выше доля звёзд, более старых

, 

чем наше Солнце;

 

3) 

на каком снимке будет выше доля звёзд, более красных

, 

чем наше Солнце

; 

Всероссийская олимпиада школьников по астрономии

 2015–2016 

уч. г

. 

Муниципальный

 

этап

. 11 

класс

 

 

без письменного согласия ГАОУ ДПО ЦПМ запрещена.

 

7

 

 

4) 

на каком снимке будет выше  доля звёзд с большей  светимостью, чем наше 

Солнце

. 

Ответ обоснуйте.

 

 

Решение 

1. 

Необходимо  вспомнить,  что  частота  встречаемости  звёзд  различных  масс 

различна

  – 

чем  звезда  массивнее,  тем  реже  она  встречается  в  природе. 

Большинство  звёзд

  – 

маломассивные  красные  карлики.  В  тоже  время, 

светимость звезды пропорциональна её массе в третьей степени. Это приводит 
к  тому,  что  хотя  массивных  звёзд  и  немного  в  Галактике,  они  хорошо  видны 
издалека и доминируют на нашем небе среди ярких звёзд. Именно такие звёзды 
будут  видны

 

при  наблюдении  невооружённым  глазом,  и  именно  они  будут 

сфотографированы  с  обычным  фотообъективом.  Лишь  с  использованием 
телескопа удастся сфотографировать маломассивные звёзды с низкой светимостью.

  

Ответ: 

Доля  массивных  звёзд  выше  на  фотографии,  полученной 

с

 

обычным объективом

. 

 
2. 

Вспомним, что продолжительность жизни звезды обратным образом зависит 

от её массы

 – 

массивные звёзды живут меньше. Все яркие звёзды относительно 

молоды, а среди тусклых встречаются как молодые, так и старые. А это значит, 
что доля старых звёзд будет выше при наблюдении в телескоп.

 

Ответ: 

Доля  старых  звёзд  выше  на  фотографии,  полученной 

с

 

телескопом

.

 

 
3. 

Многочисленные  маломассивные  звёзды  из

-

за  своей  низкой  температуры 

имеют красный цвет. Кроме того, в телескоп, в среднем, мы наблюдаем более 
далёкие  объекты,  и  такие  звёзды  больше  подвержены  эффекту  межзвёздного 
покраснения света за счёт избирательного поглощения в межзвёздной среде.

 

Ответ: 

Доля  красных  звёзд  выше  на  фотографии,  полученной 

с

 

телескопом

. 

 
4. 

Светимость  звёзд  пропорциональна  их  массе,  массивные  звёзды  обладают 

большей светимостью (см. пункт 1).

 

Ответ: 

Доля  звёзд  с  высокой  светимостью  выше  на  фотографии, 

полученной с

 

обычным объективом

. 

 

Правильный  ответ  в  каждом  из  пунктов  оценивается  в 

1  балл

,  ещё 

1  балл

 

даётся  за  верное  обоснование.  Разумеется,  обоснование  может  отличаться 
от

 

авторского. 

 

Максимум за задачу

 – 

8 баллов

. 

 

 

Максимальный балл за всю работу 

– 48. 

 

5

2. 

Решения

 

заданий

 

Регионального

 

этапа

 

и

 

система

 

оценивания

 

каждого

 

задания

. 

 

9 

класс

 

 

1. 

Условие

. 

С

 

какой

 

минимальной

 

скоростью

 

нужно

 

перемещаться

 

по

 

поверхности

 

Земли

, 

чтобы

 

ежедневно

 

в

 

течение

 

года

, 

хотя

 

бы

 

раз

 

в

 

сутки

, 

наблюдать

 

центр

 

диска

 

Солнца

 

в

 

зените

? 

Орбиту

 

и

 

форму

 

Земли

 

считать

 

круговой

. 

 

1. 

Решение

. 

За

 

счет

 

годичного

 

движения

 

Земли

 

вокруг

 

Солнца

 

и

 

наклона

 

оси

 

вращения

 

Земли

 

к

 

плоскости

 

эклиптики

 

склонение

 

Солнца

 

постоянно

 

изменяется

. 

Оно

 

равно

 

широте

 

точек

 

на

 

Земле

, 

где

 

Солнце

 

в

 

данный

 

день

 

кульминирует

 

в

 

зените

. 

Скорость

 

изменения

 

склонения

 

Солнца

 

со

 

временем

 

непостоянна

. 

Вблизи

 

солнцестояний

 

склонение

 

практически

 

неизменно

, 

а

 

быстрее

 

всего

 

склонение

 

Солнца

 

меняется

 

в

 

периоды

 

равноденствий

, 

когда

 

Солнце

 

в

 

своем

 

видимом

 

годичном

 

движении

 

пересекает

 

небесный

 

экватор

. 

Рассмотрим

 

для

 

определенности

 

момент

 

весеннего

 

равноденствия

 

и

 

последующие

 

сутки

 (

рисунок

): 

 





l

Экватор

Экли

птика

 

 

За

 

сутки

 

Солнце

 

проходит

 

на

 

небесной

 

сфере

 

дугу

 

l

  (

в

 

реальности

, 

Земля

 

проходит

 

такую

 

дугу

 

по

 

орбите

). 

Ее

 

величина

, 

выраженная

 

в

 

радианах

, 

составляет

: 

 

.

0172

.

0

2





T

t

l



 

 

Здесь

 

t

 – 

длительность

 

солнечных

 

суток

 (24 

часа

), 

а

 

T

 – 

продолжительность

 

года

. 

Склонение

 

центра

 

Солнца

, 

равное

 

нулю

 

в

 

момент

 

равноденствия

, 

увеличится

 

за

 

сутки

 

до

 

величины

 

 

.

00683

.

0

sin

2

sin















T

t

l

 

 

6

 

Солнце

 

будет

 

кульминировать

 

в

 

зените

 

на

 

экваторе

 

в

 

день

 

равноденствия

 

и

 

на

 

широте

 



 

на

 

следующий

 

день

. 

Чтобы

 

увидеть

 

Солнце

 

в

 

зените

 

оба

 

дня

 

подряд

, 

необходимо

 

преодолеть

 

дугу

 

меридиана

, 

соответствующую

 

углу

 



. 

Длина

 

этой

 

дуги

 

равна

 

D

 = 

R



 = 43.5 

км

 (

здесь

 

R

 – 

радиус

 

Земли

). 

Чтобы

 

преодолеть

 

такое

 

расстояние

 

за

 

солнечные

 

сутки

 

t

, 

необходима

 

скорость

  

.

/

8

.

1

sin

2

ч

км

T

R

t

D

v











 

 

1. 

Система

 

оценивания

.

 

Для

 

решения

 

задачи

 

участники

 

олимпиады

 

должны

 

понимать

, 

за

 

счет

 

чего

 

ежедневно

 

изменяется

 

широта

 

места

 

на

 

поверхности

 

Земли

, 

где

 

центр

 

Солнца

 

может

 

кульминировать

 

в

 

зените

. 

Выбор

 

момента

 

равноденствия

, 

как

 

сезона

 

самого

 

быстрого

 

изменения

 

склонения

 

Солнца

, 

для

 

вычисления

 

требуемой

 

скорости

, 

оценивается

 

в

 2 

балла

, 

вычисление

 

изменения

 

склонения

 

Солнца

 

за

 

сутки

 – 

еще

 

в

 2 

балла

. 

Если

 

скорость

 

изменения

 

склонения

 

Солнца

 

вычисляется

 

усреднением

 

за

 

более

 

длинный

 

период

  (

например

, 

за

 

полгода

), 

это

 

приводит

 

к

 

уменьшению

 

итогового

 

ответа

 

в

 

полтора

 

раза

. 

В

 

этом

 

случае

 

вместо

 

указанных

 4 

баллов

 

за

 

первую

 

часть

 

решения

 

задачи

 

выставляется

 

только

 2 

балла

, 

но

 

оставшаяся

 

часть

 

решения

 

оценивается

 

в

 

полной

 

мере

. 

Определение

 

пути

, 

который

 

нужно

 

пройти

 

за

 

сутки

, 

оценивается

 

в

 2 

балла

, 

окончательное

 

вычисление

 

минимальной

 

скорости

 – 

еще

 

в

 2 

балла

. 

При

 

выполнении

 

промежуточных

 

этапов

 

указание

 

численных

 

значений

 

величин

 

не

 

является

 

обязательным

, 

решение

 

можно

 

вести

 

в

 

виде

 

математических

 

формул

. 

 

2. 

Условие

. 

Искусственный

 

спутник

 

Земли

 

запускается

 

с

 

космодрома

 

Восточный

 (52



 

с

.

ш

., 

128



 

в

.

д

.). 

До

 

выхода

 

на

 

расчетную

 

круговую

 

орбиту

 

спутник

 

движется

 

строго

 

вертикально

 

(

от

 

центра

 

Земли

), 

а

 

затем

 

ему

 

придается

 

требуемая

 

скорость

 

в

 

восточном

 

направлении

. 

Какой

 

должна

 

быть

 

минимальная

 

высота

 

круговой

 

орбиты

 

искусственного

 

спутника

 

над

 

поверхностью

 

Земли

, 

чтобы

 

с

 

любой

 

точки

 

земной

 

поверхности

 

хотя

 

бы

 

иногда

 

его

 

можно

 

было

 

наблюдать

? 

Рефракцией

 

и

 

атмосферными

 

помехами

 

пренебречь

. 

 

2. 

Решение

.

 

По

 

условию

 

задачи

, 

спутник

 

был

 

поднят

 

на

 

некоторую

 

высоту

 

h

 

над

 

поверхностью

 

Земли

, 

а

 

потом

 

получил

 

скорость

 

в

 

восточном

 

направлении

. 

Как

 

видно

 

из

 

рисунка

, 

в

 

этом

 

случае

 

точка

 

запуска

 

оказывается

 

самой

 

северной

 

на

 

всей

 

круговой

 

орбите

, 

а

 

наклон

 

этой

 

орбиты

 

к

 

плоскости

 

экватора

 

равен

 

широте

 

космодрома

 



.  

 

 

7



h

R

 

 

Сложнее

 

всего

 

спутник

 

будет

 

наблюдать

 

с

 

полюсов

 

Земли

. 

Как

 

видно

 

из

 

рисунка

, 

для

 

того

, 

чтобы

 

он

 

там

 

все

 

же

 

появился

 

хотя

 

бы

 

на

 

горизонте

, 

должно

 

выполняться

 

условие

: 

 

.

sin

h

R

R







 

Отсюда

 

.

1714

sin

sin

1

км

R

h











 

 

Очевидно

, 

что

 

орбитальный

 

период

 

спутника

 (2 

часа

) 

будет

 

существенно

 

меньше

 

суток

, 

и

 

в

 

разные

 

моменты

 

времени

 

можно

 

будет

 

наблюдать

 

с

 

любой

 

точки

 

на

 

Земле

. 

 

2. 

Система

 

оценивания

.

 

Первым

 

этапом

 

решения

 

задачи

 

является

 

установление

 

факта

, 

что

 

орбита

 

спутника

 

будет

 

наклонена

 

к

 

плоскости

 

экватора

 

на

 

угол

, 

равной

 

широте

 

космодрома

, 

и

 

точка

 

выхода

 

на

 

орбиту

 

будет

 

самой

 

северной

 

точкой

 

этой

 

орбиты

. 

Данный

 

вывод

 

оценивается

 

в

 3 

балла

. 

Вычисление

 

минимальной

 

высоты

 

орбиты

, 

при

 

которой

 

спутник

 

будет

 

виден

 

на

 

полюсах

, 

оценивается

 

в

 4 

балла

. 

Еще

 1 

балл

 

выставляется

 

за

 

проверку

 

того

, 

что

 

спутник

 

будет

 

вращаться

 

вокруг

 

Земли

 

значительно

 

быстрее

, 

чем

 

сама

 

Земля

 

вокруг

 

своей

 

оси

. 

Это

 

можно

 

сделать

, 

примерно

 

оценив

 

орбитальный

 

период

 

спутника

 

или

 

сравнив

 

радиус

 

орбиты

 

с

 

радиусом

 

геостационарной

 

орбиты

. 

Если

 

при

 

решении

 

задачи

 

участник

 

олимпиады

 

путает

 

угол

 



 

с

 

углом

 90



–



  (

или

 

функции

 sin 

и

 cos 

в

 

итоговой

 

формуле

), 

то

 

ответ

 

в

 

задаче

 

получается

 

равным

 4000 

км

, 

и

 

оценка

 

должна

 

быть

 

снижена

 

не

 

менее

, 

чем

 

на

 3 

балла

. 

 

 

8

3. 

Условие

. 

Сколько

 

звездных

 

и

 

солнечных

 

секунд

 (

с

 

точки

 

зрения

 

наблюдателя

) 

проходит

 

за

 

одну

 

физическую

 

секунду

 

в

 

поезде

, 

идущем

 

по

 

одной

 

из

 

самых

 

северных

 

железных

 

дорог

 

мира

 

Дудинка

-

Норильск

  (

широта

 +69.5



) 

в

 

восточном

 

направлении

 

со

 

скоростью

 60 

км

/

ч

? 

Уравнением

 

времени

 

пренебречь

. 

 

3. 

Решение

. 

Для

 

неподвижного

  (

относительно

 

поверхности

 

Земли

) 

наблюдателя

 

звездное

 

небо

 

будет

 

вращаться

 

вокруг

 

оси

 

мира

 

с

 

угловой

 

скоростью

  

 

,

2

S

S

T







 

 

где

 

T

S

 – 

период

 

осевого

 

вращения

 

Земли

 

или

 

продолжительность

 

звездных

 

суток

 

для

 

неподвижного

 

наблюдателя

 (23 

часа

 56 

минут

 

и

 4 

секунды

). 

За

 

счет

 

орбитального

 

движения

 

Земли

 

вокруг

 

Солнца

 

солнечные

 

сутки

 

T

0

 

будут

 

несколько

 

длиннее

 – 

ровно

 24 

часа

. 

Соответствующая

 

угловая

 

скорость

 

видимого

 

суточного

 

движения

 

Солнца

  (

без

 

учета

 

уравнения

 

времени

) 

равна

 

.

2

2

2

0

0

T

T

T

S















 

 

Здесь

 

T

 – 

продолжительность

 

года

. 

При

 

движении

 

поезда

 

на

 

восток

 (

в

 

ту

 

же

 

сторону

, 

что

 

и

 

Земля

 

вокруг

 

своей

 

оси

) 

наблюдатель

 

получает

 

дополнительную

 

угловую

 

скорость

, 

равную

 

линейной

 

скорости

 

v

, 

деленной

 

на

 

раиус

 

окружности

 

вокруг

 

оси

 

Земли

, 

по

 

которой

 

происходит

 

движение

: 

.

cos





R

v



 

 

Здесь

 

R

 – 

радиус

 

Земли

,  



 – 

широта

 

места

 

наблюдения

. 

Видимые

 

угловые

 

перемещения

 

звезд

 

и

 

Солнца

 

в

 

ходе

 

суточного

 

движения

 

при

 

наблюдении

 

с

 

поезда

 

увеличатся

 

на

 

эту

 

величину

: 



'

S

 = 



S

 + 



; 



'

0

 = 



0

 + 



. 

 

Одна

 

секунда

 

в

 

той

 

или

 

иной

 

шкале

 – 

это

 

время

, 

за

 

которое

 

объект

 

в

 

ходе

 

суточного

 

вращения

 

повернется

 

на

 

угол

 



, 

равной

 

одной

 

временной

 

секунде

  (

или

 15



). 

Физическая

 

 

9

секунда

 

t

0

 – 

это

 

секунда

 

в

 

шкале

 

солнечного

 

времени

 

для

 

неподвижного

 

наблюдателя

 

(

уравнением

 

времени

 

мы

 

пренебрегаем

): 

.

0

0



 

t

 

 

Длительность

 

звездной

 

и

 

солнечной

 

секунды

 

для

 

наблюдателя

 

на

 

поезде

 

составят

: 

 

.

'

'

;

'

'

0

0













t

t

S

S

 

 

Выразим

 

одну

 

физическую

 

секунду

 

в

 

полученных

 

выше

 

единицах

: 

 

 

;

105

.

1

cos

2

1

'

'

0

0

0

























R

vT

T

T

t

t

S

S

S

S

 

 

.

103

.

1

cos

2

1

'

'

0

0

0

0

0

















R

vT

t

t

 

 

Итак

, 

за

 

одну

 

физическую

 

секунду

 

наблюдатель

 

этого

 

поезда

 

зафиксирует

 1.105 

звездных

 

и

 

1.103 

солнечных

 

секунды

. 

 

3. 

Система

 

оценивания

. 

Данную

 

задачу

 

можно

 

решать

, 

сравнивая

 

угловые

 

скорости

  (

или

 

углового

 

перемещения

 

за

 

секунду

) 

видимого

 

суточного

 

движения

 

Солнца

 

и

 

звезд

 

для

 

неподвижного

 

наблюдателя

 

и

 

пассажира

 

поезда

 

или

, 

напротив

, 

сравнивая

 

периоды

 

обращения

 

Солнца

 

и

 

звезд

  (

солнечные

 

и

 

звездные

 

сутки

) 

для

 

двух

 

наблюдателей

, 

оба

 

подхода

 

считаются

 

в

 

равной

 

степени

 

верными

. 

Вычисление

 

соотношения

 

между

 

длительностью

 

звездных

 

и

 

солнечных

 

суток

 

для

 

неподвижного

 

наблюдателя

  (

или

 

соответствующих

 

угловых

 

скоростей

) 

оценивается

 

в

 2 

балла

. 

Правильный

 

учет

 

движения

 

поезда

 

и

 

вывод

 

соотношений

 

для

 

длительности

 

суток

 (

угловых

 

скоростей

) 

для

 

наблюдателя

 

на

 

поезде

 

оценивается

 

в

 2 

балла

. 

Наконец

, 

вычисление

 

длительности

 

обычной

 

секунды

 

в

 

звездной

 

и

 

солнечной

 

шкале

 

для

 

наблюдателя

 

на

 

поезде

 

оцениваются

 

еще

 

по

 2 

балла

. 

 

4. 

Условие

. 

Вечером

 9 

мая

 2016 

года

 

состоится

 

редкое

 

астрономическое

 

явление

 – 

прохождение

 

Меркурия

 

по

 

диску

 

Солнца

, 

которое

 

будет

 

хорошо

 

видно

 

в

 

Европейской

 

части

 

России

. 

Для

 

его

 

наблюдения

 

телескоп

 

оснастили

 

солнечным

 

экраном

, 

на

 

котором

 

изображение

 

Солнца

 

имеет

 

диаметр

 15 

см

. 

Какого

 

диаметра

 

на

 

этом

 

экране

 

будет

 

пятно

 – 

 10

изображение

 

Меркурия

? 

Считать

, 

что

 

во

 

время

 

явления

 

Меркурий

 

будет

 

располагаться

 

в

 

афелии

 

своей

 

орбиты

, 

а

 

орбита

 

Земли

 

круговая

. 

 

Решение

.

 

Прохождение

 

Меркурия

 

по

 

диску

 

Солнца

 

наступает

 

в

 

нижнем

 

соединении

 

планеты

 (

см

. 

рисунок

): 

 

Солнце

Меркурий

Земля

a e

(1+ )

a

0

 

 

Запишем

 

выражения

 

для

 

видимых

 

диаметров

 

Солнца

 

и

 

Меркурия

 

в

 

этот

 

момент

: 

 

.

)

1

(

;

0

0

0

e

a

a

d

a

D













 

 

Здесь

 

D

 

и

 

d

 – 

пространственные

 

диаметры

 

Солнца

 

и

 

Меркурия

, 

a

 

и

 

a

0

 – 

большие

 

полуоси

 

орбит

 

Меркурия

 

и

 

Земли

, 

e

 – 

эксцентриситет

 

орбиты

 

Меркурия

. 

Подставляя

 

численные

 

данные

 

и

 

переводя

 

в

 

градусную

 

меру

, 

получаем

 

значения

 

диаметров

: 32



 

для

 

Солнца

 

и

 12.6



 

для

 

Меркурия

. 

Соотношение

 

диаметров

 

изображений

 

объектов

 

на

 

экране

 

будет

 

таким

 

же

: 

 

.

150

1

0

0









l

l

 

 

Меркурий

 

на

 

экране

 

будет

 

выглядеть

 

как

 

пятнышко

 

диаметром

 1 

мм

. 

 

4. 

Система

 

оценивания

.

 

Для

 

решения

 

задачи

 

достаточно

 

определить

 

соотношение

 

видимых

 

диаметров

 

Солнца

 

и

 

Меркурия

 

в

 

момент

 

нижнего

 

соединения

 

планеты

. 

Данный

 

этап

 

оценивается

 

в

 6 

баллов

. 

Если

 

при

 

этом

 

не

 

учитывается

 

или

 

неправильно

 

учитывается

 

эксцентриситет

 

орбиты

 

Меркурия

, 

из

 

этих

 6 

баллов

 

выставляется

 4 

балла

. 

Если

 

расстояния

 

до

 

Солнца

 

и

 

Меркурия

 

вообще

 

не

 

учитываются

, 

и

 

отношение

 

видимых

 

диаметров

 

считается

 

равным

 

отношению

 

физических

 

диаметров

 

Меркурия

 

и

 

Солнца

, 

то

 

из

 6 

баллов

 

выставляется

 

 11

только

 2 

балла

. 

Во

 

всех

 

этих

 

случаях

 

оставшаяся

 

часть

 

решения

 

при

 

условии

 

правильности

 

оценивается

 

в

 

полной

 

мере

. 

Вычисление

 

размера

 

изображения

 

Меркурия

 

на

 

экране

 

оценивается

 

в

 2 

балла

. 

 

5. 

Условие

. 

9 

января

 2016 

года

 

Венера

, 

обгоняя

 

Землю

 

в

 

своем

 

орбитальном

 

движении

 

ровно

 

на

 90 

градусов

, 

вступила

 

в

 

небе

 

Земли

 

в

 

тесное

 

соединение

 

с

 

Сатурном

. 

Определите

, 

в

 

какой

 

день

 2016 

года

 

Сатурн

 

при

 

наблюдении

 

с

 

Земли

 

вступит

 

в

 

противостояние

 

с

 

Солнцем

. 

Орбиты

 

всех

 

планет

 

считать

 

круговыми

. 

 

5. 

Решение

.

 

Изобразим

 

положение

 

трех

 

планет

 

в

 

момент

 

соединения

 

Венеры

 

и

 

Сатурна

 

в

 

небе

 

Земли

: 

 





R

h

D

l

r

r

V

Солнце

Земля

Сатурн

Венера

 

 

Венера

 

обгоняет

 

Землю

 

в

 

своем

 

орбитальном

 

движении

 

на

 90



. 

Обратим

 

внимание

, 

что

 

Венера

 

не

 

находится

 

в

 

наибольшей

 

элонгации

 (

она

 

произошла

 

в

 

октябре

 2015 

года

). 

Угловое

 

расстояние

 

Венеры

 (

и

 

Сатурна

) 

от

 

Солнца

 

в

 

небе

 

Земли

 9 

января

 

равно

: 

 

.

9

.

35

arctan

O

V

r

r







 

 

Здесь

 

r

 

и

 

r

V

 – 

радиусы

 

орбит

 

Земли

 

и

 

Венеры

. 

Для

 

дальнейшего

 

решения

 

задачи

 

нам

 

необходимо

 

найти

 

расстояние

 

от

 

Земли

 

до

 

Сатурна

 

D

 

в

 

этот

 

момент

. 

Это

 

можно

 

сделать

 

с

 

 12

помощью

 

теоремы

 

косинусов

, 

можно

 

упростить

 

вычисления

, 

проведя

 

перпендикуляр

 

от

 

Солнца

 

на

 

линию

 "

Земля

-

Сатурн

", 

обозначив

 

его

 

l

. 

Искомое

 

расстояние

 

составит

 

 

 

.

cos

sin

cos

2

2

2

2

2

2

2

R

r

r

R

r

l

R

l

r

D

























 

 

Здесь

 

R

 – 

радиус

 

орбиты

 

Сатурна

. 

В

 

последнем

 

равенстве

 

мы

 

учли

, 

что

 

величина

 

r

2

sin

2



 

составляет

 

менее

 0.01 

от

 

R

2

. 

Расстояние

 

до

 

Сатурна

 

получается

 

равным

 10.34 

а

.

е

. (

если

 

не

 

делать

 

упрощения

, 

оно

 

получится

 

практически

 

таким

 

же

 – 10.33 

а

.

е

.). 

Найдем

 

далее

 

разность

 

гелиоцентрических

 

долгот

 

Сатурна

 

и

 

Земли

 



. 

Это

 

можно

 

сделать

 

с

 

помощью

 

теоремы

 

синусов

, 

а

 

можно

 

вновь

 

воспользоваться

 

геометрическим

 

приемом

, 

проведя

 

перпендикуляр

 

от

 

Сатурна

 

к

 

продолжению

 

линии

 "

Земля

-

Солнце

" 

и

 

обозначив

 

его

 

длину

 

как

 

h

. 

Учитывая

, 

что

 

угол

 



 

больше

 90



, 

запишем

 

выражение

 

для

 

него

: 

 

 

.

6

.

140

sin

cos

sin

arcsin

180

sin

arcsin

180

arcsin

180

O

O

O

O

R

r

R

D

R

h







































 

 

В

 

настоящий

 

момент

 

Земля

 

отстает

 

от

 

Сатурна

 

в

 

своем

 

движении

 

на

 

этот

 

угол

. 

Учитывая

, 

что

 

Земля

 

обгоняет

 

Сатурн

 

на

 

целый

 

оборот

 

за

 

синодический

 

период

 

Сатурна

 

S

, 

с

 

учетом

 

предположения

 

о

 

круговых

 

орбитах

 

можно

 

определить

, 

через

 

сколько

 

времени

 

Земля

 

догонит

 

Сатурн

 

в

 

орбитальном

 

движении

: 

 

.

148

360

сут

S

T

O







 

 

Получаем

, 

что

 

ближайшее

 

противостояние

 

Сатурна

 

наступит

 5 

июня

. 

Несмотря

 

на

 

ряд

 

упрощений

  (

круговые

 

орбиты

, 

приближенные

 

вычисления

), 

мы

 

получили

 

ответ

, 

очень

 

близкий

 

к

 

истинному

 – 

реальное

 

противостояние

 

Сатурна

 

состоится

 3 

июня

 2016 

г

. 

Задачу

 

можно

 

решить

 

приближенно

, 

считая

 

Сатурн

 

очень

 

далекой

 

неподвижной

 

планетой

. 

В

 

этом

 

случае

 

угол

 



 

есть

 

просто

 180



–



=144.1



, 

а

 

синодический

 

период

 

Сатурна

 

S

 

равен

 

земному

 

году

. 

Тогда

 

мы

 

получаем

, 

что

 

противостояние

 

произойдет

 

через

 146 

дней

, 

то

 

есть

 

ровно

 3 

июня

, 

то

 

есть

 

в

 

итоге

 

мы

 

имеем

 

даже

 

более

 

точный

 

ответ

. 

Причина

 

этого

 

в

 

том

, 

что

 

в

 

соответствии

 

с

 

условием

 

задачи

, 

не

 

был

 

учтен

 

эксцентриситет

 

орбиты

 

Сатурна

 

и

 

то

, 

что

 

в

 2016 

году

 

его

 

расстояние

 

от

 

Солнца

 

существенно

 

больше

 

среднего

 (10.01 

а

.

е

.), 

что

 

также

 

слегка

 

смещает

 

итоговую

 

дату

 

противостояния

.