содержание .. 53 54 55 56 ..
ГОСУДАРСТВЕННАЯ ФАРМАКОПЕЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ (ПЕРВОЕ ИЗДАНИЕ, 2006 год) - часть 55
1,08%; 0,60%; 0,43%, 1,59% и 0,71%.
Можно ли объединять данные выборки (результаты анализа пяти серий) и како-
во объединенное относительное стандартное отклонение?
Поскольку в нашем случае число степеней свободы для всех пяти выборок (се-
рий) одинаково и равно n = n - 1 = 3 - 1 = 2, то для проверка гипотезы равенства дис-
персий применим критерий Кохрейна (см. раздел 2.1.3 и Таблицу 11.4). В нашем слу-
чае smax = 1,59%, n = 2, g = 5, и соотношение (2.6) дает:
2
2
s
,
max
G
=
=
=
0,533
<
0,684
=
G(P
=
0,95;2;5
)
g
2
2
2
2
2
1,08
+0,60
+0,43
+1,59
+
,
s2
Â
k
k=1
Как видно, рассчитанное значение G меньше табличного на 95% уровне значи-
мости. Следовательно, данные выборки можно объединить.
Рассчитаем по уравнению (2.2) объединенное число степеней свободы:
g
n
=
n
=
5¥2
=10
t
Â
k
k=1
Рассчитаем по формуле (2.1b) объединенное относительное стандартное откло-
нение (RSDtot):
k
=g
2
n
¥RSD
Â
k
k
2
2
2
2
2
2
¥(1,08
+0,60
+0,43
+1,59
+0
,
)
2
k
=1
RSD
=
=
=
0,9510
tot
n
10
t
Отсюда RSD
=
0,9510
=
0,98
tot
9.5. Сравнение двух методик анализа по воспроизводимости.
Пусть для двух выборок аналитических данных (1 и 2), характеризующих, напри-
мер, различные методики анализа, получены метрологические характеристики, приве-
денные в графах 1—10 таблицы 9.5.:
Таблица 9.5
№
m
n
x , %
s
P2,
t(P2,n)
Dx
e
tвыч
F(P1, n1, n2)
Fвыч
d
вы-
%
(табл)
(табл)
борки
P=99%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
100
20
100,13
0,464
95
2,09
0,97
0,97
1,28
3,36
17,92
-
2
100
15
98,01
0,110
95
2,13
0,23
0,24
72,36
3,36
17,92
1,99
Для заполнения графы 10 вычислим значения t1 и t2:
m
-
x
¥
m
100
-100,13
¥
20
+1
1
1
t
=
=
=1,28
1
s1
0,464
m
-
x
¥
m
100
-98,01
¥
15
+1
2
2
t
=
=
=
7
,
2
s2
,
Поскольку t1=1,28 < t1(95%, 20)=2,09, гипотеза
m
-
х
¹
0
может быть отвергну-
1
1
та, что позволяет считать результаты выборки 1 свободными от систематической по-
грешности.
Напротив, поскольку t2=72,36 >> t2(95%, 15)=2,13, гипотезу
m
-
х
¹
0
прихо-
2
2
дится признать статистически достоверной, что свидетельствует о наличии системати-
ческой погрешности в результатах выборки 2. В графу 13 вносим:
m
-
х
100
-9
,
1
2
d
=
¥100%
=
¥100%
=1,
99%
2
m
100
1
Заполним графы 11 и 12:
F(99%;20;15)
=
3,36
2
s
0,215
1
F
=
=
=1
,
2
s
0,012
2
F =17,92 >> F(99%;20;15)
=
3,36
2
2
Следовательно, при Р1 = 99% гипотезу о различии дисперсий
s
и
s
следует
1
2
признать статистически достоверной.
Выводы:
а) результаты, полученные при использовании первой методики, являются правиль-
ными, т. е. они не отягощены систематической погрешностью;
б) результаты, полученные при использовании второй методики, отягощены система-
тической погрешностью;
в) по воспроизводимости вторая методика существенно лучше первой методики.
При проведении совместной статистической обработки нескольких выборок, по-
лученных при анализе образцов с разным содержанием определяемого компонента m,
данные в графах 1, 2, 3, 4, 7 и 8 табл. 2.1 приводят отдельно для каждой выборки. При
этом в графах 2, 4, 6, 7 в последней строке под чертой приводят обобщенные значения
n , s, t, Dx.
Если для вычисления метрологических характеристик методики используются
данные аналитического архива, значение m не известно и, соответственно,
заполняются не все графы таблицы 2.1.
9.6. Сравнение средних результатов двух выборок.
При определении содержания основного вещества в двух образцах препарата,
изготовленных по разной технологии, получены метрологические характеристики
средних результатов, приведенные в таблице 9.6. Требуется решить, является ли пер-
вый образец по данному показателю лучшим по сравнении со вторым образцом.
2
s
0,31
2
F
=
=
=1,24
<
F(99%,5,7)
=7,46
Поскольку
, то согласно неравенству
2
0,25
s
1
2
2
3.3 статистически достоверное различие величин
s
и
s
отсутствует.
1
2
Таблица 9.6
№
об-
n
n
x %
s
s
P2
t(P2,n)
Dx
D
e
x
x
разца
(%)
(%)
0
1
2
3
5
6
7
8
9
10
11
1
8
7
99,10
0,50
0,18
95
2,36
1,18
0,42
0,42
2
6
5
98,33
0,56
0,23
95
2,57
1,44
0,59
0,60
Следовательно, гипотеза
х
=
х
(5.1) проверяется с помощью уравнений (2.1), (2.2),
1
2
(5.2) и (5.3).
g
2
[
n
-1
)
¥s
]
k
k
2
2
n s
+n
s
7
¥0,25
+5
¥0.31
k
=1
1
1
2
2
s
=
=
=
=
0,275
g
n
+n
7
+5
1
2
n
-1
)
Â(
k
k=1
2
s = s
=
0,275
=
0,524
2
s
¥
(
n
+
n
)
0,275
¥
(
8
+6
)
2
1
2
s
=
=
=
0,0802
P
n
¥n
8¥6
1
2
2
SP = S
=
0,0802
=
0,283
P
n =
n +n
-
2
=
8
+
6
-
2
=12
1
2
x
-
x
99,10
-9
,
1
2
t
=
=
=
2
,
0,283
SP
t
= 2,72 > t(95%;12)
=
2
,
t
= 2,72 < t(99%;12)
=
3,08
Следовательно, с доверительной вероятностью Р2 = 95% гипотеза
х
=
х
1
2
может быть принята (т.е. первый образец лучше второго по содержанию основного
вещества). Однако с доверительной вероятностью Р2 = 99% принять эту гипотезу
нельзя из-за недостатка информации.
Если гипотеза
х
=
х
принята, то определяют доверительный интервал разно-
1
2
^
^
сти генеральных средних
x
1
-
x
2
(уравнение 5.10):
^
^
х
-х
-t(P
,n
)
¥s
£
x
-x
£
х
-х
+t(P
,n
)
¥
s
1
2
2
P
1
2
1
2
2
P
(P2 = 95%; n = 12);
^
^
99,10
-98,33
-2,18
¥0,283
£
x x
£
99,10
-98,33
+
2,18
¥0,283
1
2
^
^
0,15
£
x x
£
,
1
2
9.7. Оценка качества продукции.
Рассмотрим данные таблицы 9.6, относящиеся к выборке 1, как метрологиче-
скую характеристику используемого метрологически аттестованной методики анализа.
а) Пусть amin = 98%, amax = 100,50%. Тогда для испытуемого образца продукта
средний результат анализа A при проведении трех параллельных определений (т=3)
должен находиться в пределах:
U(P )¥s
U(P )¥s
1
1
a
+
<
A
<
a
-
min
max
m
m
При P
99%
:
1 =
2,33
¥0,464
2,33
¥0,464
98
+
<
A
<10
,
-
;
98,62
<
A
<
9
,
3
3
При P
95%
:
1 =
1,65
¥0,464
1,65
¥0,464
98
+
<
A
<10
,
-
;
98,44
<
A
<10
,
3
3
б) Реальный средний результат анализа образца испытуемого продукта А=99%
(при m=3). Тогда определение пределов amin и amax, гарантированно характеризующих
качество данного образца с заданной доверительной вероятностью P1, проводим, ис-
ходя из уравнения (6.6) или (6.7), полагая Amin = Amax= А.
U(P )¥s
1
a
=
A
-
min
m
U(P )¥s
1
a
=
A
+
max
m
При P
99%
:
1 =
2,33
¥0,464
a
=
99
-
=
98
,38
%
min
3
2,33
¥0,464
a
=
99
+
=
99
,
62%
max
3
При P
95%
:
1 =
1,65
¥0,464
a
=
99
-
=
98
,56
%
min
3
1,65
¥0,464
a
=
99
+
=
99
,
64%
max
3
Полученные оценки amin и amax близки к границам доверительного интервала
D
0,97
x
A
±
D
=
A
±
=
99
±
=
99
±0,56
x
m
3
9.8. Контроль содержания салициловой кислоты в салициловом спирте
посредством секвенционального анализа.
Определение содержания салициловой кислоты (СК, М=138,12) в спирте сали-
циловом 2% проводили путем титрования спиртовым раствором щелочи с молярной
концентрацией 0,1000. Для титрования берутся пробы по 5 мл. На титрование идет V
мл щелочи. Результаты титрования (х - найденное содержание СК в процентах к но-
минальному содержанию) двух различных образцов приведены ниже в таблице 9.8.
Таблица 9.8
Образец 1
Образец 2
№
V мл
x %
x-85
Σ(x-85)
V мл
х %
x-85
Σ(x-85)
1
6,71
92,68
7,68
7,68
6,40
88,26
3,26
3,26
2
7,20
99,45
14,45
22,12
6,40
88,40
3,40
6,66
3
7,08
97,79
12,79
34,91
6,20
85,77
0,77
7,43
Предварительные исследования показали, что s=0,5%. Допуски содержания са-
лициловой кислоты b = 90% и b' = 110%.
Обычно принимают a = b = 0,05. Зададимся также различием генеральных сред-
них dμ = 2.
Уравнения (8.7а) и (8.7b) дают:
'
s
b
,
0,05
a = a
=
¥ln
=
¥ln
=
0,25
¥ln 0,0513
=-0,25
¥2,97
=
-0,743
0
0
dm
a
2
0,05
1
-
1
-
2
2
'
s
1-b
,
1-0,05
a =a
=
¥ln
=
¥ln
=
0,25
¥ln 38
=
0,25
¥3,64
=
0,909
1
1
dm
a
2
0,05
2
2
Для удобства представления на графике (чтобы накопительные суммы изменя-
лись в нешироком диапазоне) вычтем из величин b и b' некоторую величину, напри-
мер, 85%. Эту же величину вычтем и из каждого результата х (см. Таблицу).
Тогда уравнения (8.6a-8.6d) примут вид:
T
=-0,743
+
5
¥n
0
T
0,909
+5
¥n
1 =
'
T
=-0,743
+
25
¥n
0
'
T
=
0,909
+
25
¥
n
1
Данные уравнения образуют коридоры, показанные на Рис. 9.8. Накопительные
суммы результатов титрований (см. Таблицу 9.8) показаны крестиками.
120
100
80
60
40
20
0
20
0
1
2
3
4
Номер испытания
Рисунок 9.8. Результаты титрования салицилового спирта (2%) спиртовым раствором
щелочи; крестиками показаны результаты для образца 1, кружками - для образца 2.
Для образца 1 первый результат попадает в нижний коридор, и испытания необ-
ходимо продолжить. Но уже второй результат попадает в область положительных ре-
шений, что дает основания заключить, что образец выдерживает испытание. Третье
испытание в этом случае не требуется; соответствующий результат показан для боль-
шей наглядности рисунка. Первый результат для образца 2 (кружки) указывает на не-
обходимость продолжить испытания; второй снова оказывается в той же области - у
нижней границы. Третий результат попадает в область отрицательных решений - об-
разец испытания не выдерживает.
10. РАСЧЕТ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПЕРЕ-
МЕННЫХ
Описанные в предыдущих главах расчеты доверительных интервалов результа-
тов методик анализа применимы лишь в том случае, если измеряемая величина (кон-
центрация, содержание и т.д.) является функцией только одной случайной перемен-
ной. Такая ситуация обычно возникает при использовании прямых методов анализа
(титрование, определение сульфатной золы, тяжелых металлов и т.д.). Однако боль-
шинство методик количественного определения в фармакопейном анализе являются
косвенными, т.е. используют стандартные образцы. Следовательно, измеряемая вели-
чина является функцией, как минимум, двух случайных переменных - аналитических
сигналов (оптическая плотность, высота или площадь пика и т.д.) испытуемого и стан-
дартного образцов. Кроме того, нередко возникает проблема прогнозирования неопре-
деленности аналитической методики, состоящей из нескольких стадий (взвешивание,
разбавление, конечная аналитическая операция), каждая из которых является по от-
ношению к другой случайной величиной.
Таким образом, возникает общая проблема оценка неопределенности косвенно
измеряемой величины, зависящей от нескольких измеряемых величин, в частности, как
рассчитывать неопределенность всей аналитической методики, если известны неопре-
деленности отдельных ее составляющих (стадий)?
Если измеряемая на опыте величина y является функцией n независимых слу-
чайных величин xi , т.е.
y = f(x1,x
,...x
)
(10.1)
2
n
и число степеней свободы величин xi одинаковы или достаточно велики (> 30, чтобы
можно было применять статистику Гаусса, а не Стьюдента), то дисперсия величины y
связана с дисперсиями величин xi соотношением (правило распространения неопре-
деленностей):
2
n
Ê
¶f
ˆ
2
2
s
Á
˜
¥s
(10.2)
y
=Â
Á
˜
xi
i =1
˶x
i
¯
Однако на практике степени свободы величин xi обычно невелики и не равны друг
другу. Кроме того, обычно интерес представляют не сами дисперсии (стандартные от-
клонения), а доверительные интервалы, рассчитать которые, используя уравнение
(9.2), при небольших и неодинаковых степенях свободы невозможно. Поэтому для рас-
чета неопределенности величины y (Δy) предложены различные подходы, среди кото-
рых можно выделить два основных: - линейная модель и подход Уэлча-Сатертуэйта
(Welch-Satterthwaite).
10.1. Линейная модель
Если случайные переменные xi статистически независимы, то доверительный
интервал функции Δy связан с доверительными интервалами переменных Δxi соотно-
шением (доверительные интервалы берутся для одной и той же вероятности):
2
n
Ê
¶f
ˆ
2
2
D
Á
˜
¥
D
y
=Â
Á
˜
xi
(10.3)
i
=1
˶x
i
¯
Данное соотношение является обобщением соотношения (10.2).
В фармакопейном анализе измеряемая величина y представляет собой обычно
произведение или частное случайных и постоянных величин (масс навесок, разбавле-
ний, оптических плотностей или площадей пиков и т.д.), т.е. (K- некая константа):
K¥x
¥
x
¥
x
1
2
m
y
=
(10.4)
x
¥
x
¥
x
m+1
m+2
n
В этом случае соотношение (10.2) принимает вид:
n
2
2
D
=
D
y,r
Â
xi,r
(10.5)
i
=1
где использованы относительные доверительные интервалы.
Соотношение (10.5) применимо при любых (разных) степенях свободы (в том
числе и бесконечных) для величин xi . Его преимуществом является простота и нагляд-
ность. Использование абсолютных доверительных интервалов приводит к гораздо бо-
лее громоздким выражениям, поэтому рекомендуется использовать относительные ве-
личины.
При проведении фармакопейного анализа в суммарной неопределенности (ΔAs,r)
анализа обычно всегда можно выделить такие типы неопределенностей: неопределен-
ность пробоподготовки (ΔSP,r), неопределенность конечной аналитической операции
(ΔFAO,r) и неопределенность аттестации стандартного образца (ΔRS,r). Величина ΔRS,r
обычно столь мала, что ею можно пренебречь. Учитывая это, а также то, что анализ
проводится и для испытуемого раствора (индекс «smp»), и для раствора сравнения
(индекс “st”), выражение (9.5) можно представить в виде:
smp
2
st
2
smp
2
st
D
=
[( D
)
+(D
)
]
+
[( D
)
+(D
)2
]
(10.6)
As ,r
SP,r
SP,r
FAO,r
FAO,r
При этом каждое из слагаемых рассчитывается из входящих в него компонентов
по формуле (10.5).
В том случае, когда число степеней свободы величин xi одинаковы или доста-
точно велики (> 30), выражение (10.5) дает:
n
2
2
s
=
s
(10.7)
y,r
Â
xi,r
i
=1
Это же соотношение получается при тех же условиях и из выражения (10.2).
10.1.1. Взвешенное среднее
Следует отметить, что в рамках линейной модели (10.3) можно получить взве-
шенное среднее нескольких неравноточных выборок разных генеральных совокупно-
стей, используя в качестве весов квадраты соответствующих доверительных интерва-
лов. Если имеются g выборочных средних
x
разных генеральных совокупностей, по-
k
лученных с неопределенностями
D
, то среднее этих выборок x определяется из со-
x,k
отношения:
g
2
(1 /
D
)¥
x
Â
x,k
k
k=1
x
=
(10.8)
g
2
(1/ D
)
Â
x,k
k
=1
Абсолютный доверительный интервал
D
этой взвешенной средней определя-
x
ется из соотношения:
1
2
D
=
x
g
(10.8а)
2
(1/ D
)
Â
x,k
k
=1
В том случае, когда число степеней свободы выборочных средних
x
одинаковы
k
или достаточно велики (> 30), выражение (10.8) дает:
g
2
(1 / s
)¥
x
Â
,
k
k=1
x
=
(10.9)
g
2
(1 /
sx
)
Â
,k
k
=1
1
s
2 =
x
g
(10.9а)
2
(1 /
sx
)
Â
,k
k
=1
2
Здесь
s
- дисперсия единичного результата k-ой выборки. Отметим, что част-
x,k
ный случай (10.9) гораздо менее применим, чем общее соотношение (10.8).
Выборочные средние
x
обычно близки между собой и к взвешенному среднему
k
x , поэтому в соотношениях (10.8) и (10.8а) вместо абсолютных доверительных интер-
валов могут быть использованы относительные доверительные интервалы, а в соот-
ношениях (10.9) и (10.9а) вместо абсолютных дисперсий - относительные дисперсии.
В том случае, когда выборки представляют собой, например, результаты анали-
за одного и того же вещества в разных лабораториях, иногда возникает необходимость
оценить среднюю неопределенность анализа этого вещества по всем лабораториям. В
этом случае не совсем корректно каким-либо образом усреднять доверительные ин-
тервалы
D
, поскольку они зависят от числа анализов и теоретически могут быть
x,k
сделаны как угодно малыми увеличением числа опытов. Более корректно оценивать
межвыборочное относительное стандартное отклонение. Для этого могут быть исполь-
зованы соотношения (2.1b) и (2.2). Следует отметить, что в этом случае полученное
межвыборочное относительное стандартное отклонение не является оценкой некоего
«генерального стандартного отклонения», а представляет собой просто некоторую
среднюю величину.
10.2. Подход Уэлча-Сатертуэйта
2
В этом подходе дисперсию величины y (
s
) рассчитывают по соотношению
y
(10.2), не обращая внимания на различие в степенях свободы (ni ) величин xi . Для по-
2
лученной дисперсии
s
рассчитывают некое «эффективное» число степеней свободы
y
neff (которое обычно является дробным), на основе которого затем по таблицам для за-
данной вероятности находят интерполяцией коэффициент Стьюдента. На основе его
далее рассчитывают обычным путем доверительный интервал величины y (Δy) .
4
s
y
v
=
(10.10)
eff
4
ˆ
4
Á ¶
˜
¥s
n
Á
˜
xi
x
˶
i
¯
Â
i
=1
v
i
В фармакопейном анализе для определяемой величины y обычно выполняется
уравнение (10.4). В этом случае в подходе Уэлча-Сатертуэйта соотношение (10.2) пе-
реходит в выражение (10.7), и соотношение (10.10) принимает более простой вид:
4
s
y,r
v
=
eff
n
4
(10.11)
s
xi,r
Â
v
i
=1
i
4
Здесь величина
s
рассчитывается из соотношения (10.7).
y,r
Подход Уэлча-Сатертуэйта обычно дает более узкие доверительные интервалы,
чем линейная модель. Однако он гораздо сложнее в применении и не позволяет выде-
лить так просто неопределенности разных этапов (с последующими рекомендациями
по их минимизации), как линейная модель в форме выражения (9.6).
При прогнозе неопределенности анализа используются генеральные величины
(с бесконечным числом степеней свободы). В этом случае подход Уэлча-Сатертуэйта
совпадает с линейной моделью.
10.3. Примеры расчетов неопределенности функции нескольких переменных
10.3.1. Расчет неопределенности ВЭЖХ-анализа готового лекарственно-
го средства
В таблетке со средней массой 0,50 г содержится 0,050 г вещества А. В процессе
проведения количественного определения методом ВЭЖХ брали навеску m = 0,5052 г
порошка растертых таблеток в мерную колбу вместимостью 50 мл и доводили раство-
рителем до метки. Параллельно готовили раствор сравнения: 0,0508 г стандартного
образца помещали в мерную колбу вместимостью 50 мл и доводили объем раствора
растворителем до метки. Попеременно хроматографировали испытуемый раствор и
раствор сравнения, получая по 5 хроматограмм. Ниже представлены площади полу-
ченных пиков:
Таблица 10.3.1
Площади пиков (S и Sst) для хроматограммы №
1
2
3
4
5
Испытуемый р-р
13957605
13806804
13924245
13715195
14059478
Раствор сравнения
14240777
14102192
14316388
14205217
14409585
10.3.1.1. Конечная аналитическая операция
Рассчитаем средние значения, содержание вещества А в одной таблетке и отно-
сительные стандартные отклонения площадей пиков для испытуемого раствора и рас-
твора сравнения в конечной аналитической операции.
а) Средние значения площадей пиков:
Испытуемый раствор:
(13957605 + 13806804 + 13924245 + 13715195 + 14059478)/5 = 13892665.
Раствор сравнения:
(14240777 + 14102192 + 14316388 + 14205217 + 14409585)/5 = 14254832.
b) Содержание анализируемого вещества А, в граммах, в пересчете на среднюю
массу таблетки:
S¥m¥50
¥
,
13892665
¥0,0508
¥50
A
=
=
¥0,5
=
0,0490
Sst¥m
¥50
14254832
¥0,5052
¥50
st
c) Относительные стандартные отклонения площадей пиков:
Испытуемый раствор:
2
2
(13957605
-13892665 )
+(13806804
-13892665
)
+
2
2
2
100
+(13924245
-13892665 )
+(13874245
-13715195 )
+(13759478
-14059478
)
RSD
=
¥
=
13846665
5
=
0,97%.
Аналогично для раствора сравнения:
RSDst = 0,81%.
10.3.1.2. Суммарная неопределенность пробоподготовки ΔSP,r .
Согласно общей статье «Валидация аналитических методик и испытаний», не-
определенности не должны превышать:
- мерной колбы вместимостью 50 мл - не более 0,17%;
- неопределенность взвешивания на аналитических весах - не более 0,2 мг (0,0002 г),
что составляет:
100
¥0,0002
-
=
0,04%
для испытуемого образца;
0,5052
100
¥0,0002
-
=
0,39%
для стандартного образца.
0,0508
Данные неопределенности можно считать доверительными интервалами для вероят-
ности 95%.
Суммарная неопределенность пробоподготовки рассчитывается по форму-
ле (10.5):
2
2
D
=
(0,04
+0,392)+(0,17
+0,172)
=0
,46
%
SP,r
Отметим, что такой расчет является корректным для обоих подходов - линейной
модели и подхода Уэлча-Сатертуэйта: поскольку число степеней свободы для каждого
члена здесь бесконечно, то используется статистика Гаусса.
10.3.1.3. Расчет суммарной неопределенности анализа ΔAs,r
Данный расчет различается для линейной модели и подхода Уэлча-Сатертуэйта.
а) Линейная модель
Общий случай. Рассчитаем неопределенности конечной аналитической опера-
ции ΔFAO,r для испытуемого раствора и раствора сравнения. При расчете доверитель-
ных интервалов используем односторонний коэффициент Стьюдента для вероятности
95% (= 90% для двустороннего распределения), который для числа степеней свободы
5 - 1 = 4 равен 2.13. Доверительные интервалы рассчитываются для среднего из 5 ре-
зультатов, поэтому в знаменателе стоит
5 :
smp
1
1
D
=
¥t(90%,4)¥RSD
=
¥2,13
¥0,97
=
0
,92
%
FAO,r
5
5
st
1
1
D
=
¥t(90
,
¥
=
¥2,13
¥0,81
=
0
,
FAO,r
st
5
5
Суммарная неопределенность конечной аналитической операции:
smp
2
st
2
2
2
D
=
(D
)
+(D
)
=
(0,92)
+(0,77)
=1,
20%
FAO,r
FAO
FAO
Используя уравнение (10.6), рассчитаем суммарную неопределенность анали-
за
D
:
As,r
2
2
D
=
0,46
+1,20
=1,
29%
As,r
Использование объединенного стандартного отклонения
Суммарную неопределенность анализа можно уменьшить за счет использования
объединенного стандартного отклонения для конечной аналитической операции. Для
этого надо учесть, что RSD и RSDst являются выборочными величинами одной и той же
генеральной совокупности.
Проверим вначале по Фишеру (см. раздел 2.1) гипотезу о равенстве дисперсий:
2
RSD
0,972
=
=1,434
<
6,388
=
F(P
=
95%;4;4
)
2
2
1
RSD
0,81
st
Как видно, расчетное значение отношения дисперсий гораздо ниже табличного
значения F-критерия на 95% уровне значимости. Поэтому можно принять гипотезу о
равенстве дисперсий и использовать формулы раздела 2 для объединения выборок.
Рассчитаем объединенное стандартное отклонение по уравнению (2.1b) :
2
RSD
=
[(0,97)
+(0,81)2 ] / 2
=
0
,89
%
tot
Согласно (2.2), RSDtot имеет число степеней свободы 2
¥(
5
-1)
=
8
. Коэффици-
ент Стьюдента для данного числа степеней свободы и односторонней вероятности
0,95 равен 1,86.
Тогда доверительные интервалы результатов конечной аналитической операции
для испытуемого и стандартного растворов будут равны:
1
1
smp
st
D
=D
=
¥t(90%,8)¥RSD
=
¥1,86
¥0,89
=
0
,
FAO,r
FAO,r
5
5
Суммарная неопределенность конечной аналитической операции равна:
smp
2
st
2
2
2
D
=
(D
)
+(D
)
=
(0,74)
+(0,74)
=1,
05
%
FAO,r
FAO
FAO
Используя уравнение (9.6), рассчитаем суммарную неопределенность анали-
за
D
:
As,r
2
2
D
=
0,46
+1,05
=1,
As,r
Как видно, данная величина меньше полученной для обычного случая (1,29%).
в) Подход Уэлча-Сатертуэйта
Найдем стандартное отклонение пробоподготовки из доверительного интервала
ΔSP,r = 0,83%, используя коэффициент Гаусса 1,65 для односторонней вероятности 0,95
(поскольку число степеней свободы бесконечно - как для генеральной совокупности):
sSP,r
= 0,39/1,65 =0,24%.
Из соотношения (9.5) найдем стандартное отклонение всей аналитической мето-
дики (RSD2 и (RSDst)2 делим на 5 как для дисперсий среднего результата):
2
1
2
2
1
2
s
=
s
+
[RSD
+(RSDst)2]
=
0,24
+
¥(0,97
+0,812)
=
0,61
As ,r
SP,r
5
5
Найдем эффективное число степеней свободы neff . При этом для RSD и RSDst
число степеней свободы равно 5-1 = 4, а для sSP,r - бесконечность.
4
4
s
0,61
As,r
v
=
=
=1
,
eff
4
4
st
4
s
RSD
(
RSD
)
1
4
4
Sp,r
0
+
¥(0,97
+
0
,81
)
+
+
2
2
100
•
5
¥4
5
¥4
По Таблице 11.2 находим коэффициент Стьюдента для числа степеней свободы
10,5 и односторонней вероятности 0,95. Это 1,81 (интерполяция). Тогда доверительный
интервал всей аналитической методики будет:
D
=1,77
¥0,61
=1,
%
As,r
Как видно, доверительный интервал получается меньше, чем для линейной мо-
дели (1,29% или 1,15%).
10.3.2. Прогноз неопределенности спектрофотометрического анализа
готового лекарственного средства
При таких прогнозах всегда используются генеральные величины, поэтому при-
меняется статистика Гаусса. Обычно используется коэффициент Гаусса 1,65 для одно-
сторонней вероятности 0,95.
При проведении спектрофотометрического количественного определения гото-
вого лекарственного средства берутся номинальные навески около m = 0,50 г (ГЛС) и
mst = 0,050 г (стандартный образец). Используются одинаковые разбавления для испы-
туемого раствора и раствора сравнения: навеска → 50 мл (мерная колба); 1 мл (пипет-
ка) полученного раствора → 100 мл (мерная колба). Спектрофотометрическая неопре-
деленность оптической плотности (по паспорту прибора) sA,r = 0,2%, кюветная неопре-
деленность (экспериментально найдена) scell,r = 0,1%. Предполагается, что будет про-
водиться 3-кратное измерение оптической плотности испытуемого раствора и раствора
сравнения с выниманием кюветы. Необходимо провести прогноз неопределенности
анализа.
1) Вначале найдем неопределенность пробоподготовки. Согласно общей статье
«Валидация аналитических методик и испытаний», неопределенность не должны пре-
вышать:
- неопределенность взвешивания на аналитических весах - не более 0,2 мг (0,0002 г),
что составляет 100*0,0002/0,5 = 0,04% для испытуемого образца и 100*0,0002/0,050 =
0,40% для стандартного образца;
- мерная колбы вместимостью 50 мл - 0,17%;
- мерная колба вместимостью 100 мл - 0,12%;
- пипетка вместимость 1 мл - 0,6%.
Полная неопределенность пробоподготовки составляет (учитывая испытуемый
раствор и раствор сравнения):
2
2
2
2
2
D
=
(0,04
+0,042)+(0,40
+0,402)+(0,17
+0,172)+(0,12
+0,122)+(0,6
+0,62)
=1,
06%
SP,r
Отсюда, кстати, видно, что основной вклад в неопределенность пробоподготовки
вносит пипетка малого объема (0,6%) и маленькая навеска 0,05 г (0,4%).
2) Найдем неопределенность конечной аналитической операции (спектрофото-
метрии). Коэффициент 2 учитывает наличие испытуемого раствора и раствора сравне-
ния:
2
2
2
2
2¥(s
+s
)
2¥(0,2
+0
,
)
,
cell,r
D
=
,
¥
=
,
¥
=
0
,30
%
FAO,r
3
3
3) Найдем теперь по формуле (10.6) полную прогнозируемую неопределенность
анализа:
2
2
D
=
1,060
+0,30
=1,
As,r
Как видно, основной вклад в полную неопределенность анализа вносит пробо-
подготовка (1,06%).
10.3.3. Расчет среднего значения нескольких неравноточных выборок
В результате межлабораторного эксперимента получены следующие результаты
количественного анализа некоторого готового лекарственного средства:
№ лаборато-
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
рии
x
% абс
10,8
10,6
11,2
11,1
10,9
11,1
10,5
10,8
11,0
11,2
k
0,32
0,21
0,65
0,45
0,25
0,32
0,19
0,34
0,42
0,58
D
% абс.
x,k
Какое среднее значение содержания можно приписать лекарственному средству
по данным межлабораторного эксперимента?
Результаты анализа в разных лабораториях нельзя считать выборками из одной
генеральной совокупности, даже если они получены с использованием одного метода,
например, ВЭЖХ. Это связано с тем, что точностные характеристики приборов в раз-
ных лабораториях разные. В частности, хроматографы могут обладать существенно
разными генеральными дисперсиями сходимости хроматографического сигнала, свя-
занными как с приборными факторами, так и с различием колонок и условий анализа.
Поэтому уравнение (2.3) здесь не применимо. Не применимо и уравнение (10.9) - чис-
ло опытов, как правило, невелико и не одинаково. Поэтому применим соотношение
(10.8):
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
+
+
+
+
+
+
+
+
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0,32
0,21
0,65
0,45
0,25
0,32
0
,
0,34
0,42
0,58
x
=
=
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0,32
0,21
0,65
0,45
0,25
0,32
0
,
0,34
0,42
0,58
118
,
=
=10
,
11
,
Для сравнения - обычное (не взвешенное) среднее значение по формуле (1.2)
будет 11,92%, т.е. на 100*(11,92-10,77)/10,77 = 1,4% выше.
В соответствии с соотношением (9.8а), абсолютный доверительный интервал
этого взвешенного среднего равен:
1
D
=
=
0
,095
%
x
11
,
Как видно, эта величина существенно меньше любого частного доверительного
интервала
D
x,k
11. Приложения9
Таблица 11.1
Числовые значения контрольного критерия Q(P1, n)
Q
n
P = 90%
P = 95%
P = 99%
3
0,89
0,94
0,99
4
0,68
0,77
0,89
5
0,56
0,64
0,76
6
0,48
0,56
0,70
7
0,43
0,51
0,64
8
0,40
0,48
0,58
9
0,38
0,46
0,55
Таблица 11.2
Числовые значения коэффициента Стьюдента t(P, n)
Вероятность P1 или P2
P1 Æ
95%
97,5%
99%
99,5%
99,9%
99,95%
P2 Æ
90%
95%
98%
99%
99,8%
99,9%
Число степеней
свободы n Ø
Значения t(P, n)
1
6,3138
12,7062
31,8205
63,6567
318,31
636,619
2
2,9200
4,3027
6,9646
9,9248
22,3271
31,5991
3
2,3534
3,1824
4,5407
5,8409
10,2145
12,9240
4
2,1318
2,7764
3,7469
4,6041
7,1732
8,6103
5
2,0150
2,5706
3,3649
4,0321
5,8934
6,8688
6
1,9432
2,4469
3,1427
3,7074
5,2076
5,9588
7
1,8946
2,3646
2,9980
3,4995
4,7853
5,4079
8
1,8595
2,3060
2,8965
3,5554
4,5008
5,0413
9
1,8331
2,2622
2,8214
3,2498
4,2968
4,7809
10
1,8125
2,2281
2,7638
3,1693
4,1437
5,5869
11
1,7956
2,2010
2,7181
3,1058
4,0247
4,4370
12
1,7823
2,1788
2,6810
3,0545
3,9296
4,3178
13
1,7709
2,1604
2,6503
3,0123
3,8520
4,2208
14
1,7613
2,1448
2,6245
2,9768
3,7874
4,1405
15
1,7530
2,1314
2,6025
2,9467
3,7328
4,0728
16
1,7459
2,1199
2,5835
2,9208
3,6862
4,0150
17
1,7396
2,1098
2,5669
2,8982
3,6458
3,9651
18
1,7341
2,1009
2,5524
2,8784
3,6105
3,9216
19
1,7291
2,0930
2,5395
2,8609
3,5794
3,8834
20
1,7247
2,0860
2,5280
2,8453
3,5518
3,8495
9 Л.Н. Большев, Н.В. Смирнов. Таблицы математической статистики. М.: Наука. 1983. -
415 с.
21
1,7207
2,0796
2,5176
2,8314
3,5272
3,8193
22
1,7171
2,0739
2,5083
2,8188
3,5050
3,7921
23
1,7139
2,0687
2,4999
2,8073
3,4850
3,7676
24
1,7109
2,0639
2,4922
2,7969
3,4668
3,7454
25
1,7081
2,0595
2,4851
2,7874
3,4502
3,7251
26
1,7056
2,0555
2,4786
2,7787
3,4350
3,7066
27
1,7033
2,0518
2,4727
2,7707
3,4210
3,6896
28
1,7011
2,0484
2,4671
2,7633
3,4082
3,6739
29
1,6991
2,0452
2,4620
2,7564
3,3962
3,6594
30
1,6973
2,0423
2,4573
2,7500
3,3852
3,6460
40
1,6839
2,0211
2,4233
2,7045
3,3069
3,5510
50
1,6759
2,0086
2,4033
2,6778
3,2614
3,4960
100
1,6602
1,9840
2,3642
2,6259
3,1737
3,3905
•
1,6479
1,9647
2,3338
2,5857
3,1066
3,3101
P1
- вероятность нахождения истинного значения величины
(m)
в интервале
x
-D
£m
£
•
или
-•£m£x+D
(одностороннее распределение);
x
x
P2
- вероятность нахождения истинного значения величины
(m)
в интервале
x-D
£m £
x
+D
(двустороннее распределение);
x
x
Таблица 11.3.
Процентные точки распределения c2(P1, n)
n
P1 = 95%
P1 =99%
n
P1 = 95%
P1 = 99%
1
3,841
6,635
11
19,675
24,725
2
5,991
9,210
12
21,026
26,217
3
7,815
11,345
13
22,362
27,688
4
9,488
13,277
14
23,685
29,141
5
11,070
15,086
15
24,996
30,578
6
12,592
16,812
16
26,296
32,000
7
14,067
18,475
20
31,410
37,566
8
15,507
20,090
25
37,652
44,314
9
16,919
21,666
30
43,773
50,892
10
18,307
23,209
40
55,758
63,691
P1 - вероятность того, что оцениваемое значение c2 не превышает табличное. Это оце-
ниваемое значение рассматривается как значимое (P1 = 95%) или высоко значимое (P1
= 99%).
Таблица 11.4
2
s
max
G
=
Критерий Кокрена. Критические точки статистики
g
, построенной по g
2
Â
s
k
k
=1
независимым оценкам дисперсии
s
), каждая из которых обладает ν степенями
свободы.
ν →
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
16
36
∞
g ↓
G(P = 95%)
2
0,9985
0,9750
0,9392
0,9057
0,8772
0,8534
0,8332
0,8159
0,8010
0,7880
0,7341
0,6602
0,5000
3
0,9669
0,8709
0,7977
0,7457
0,7071
0,6771
0,6530
0,6333
0,6167
0,6025
0,5466
0,4748
0,3333
4
0,9065
0,7679
0,6841
0,6287
0,5895
0,5598
0,5365
0,5175
0,5017
0,4884
0,4366
0,3720
0,2500
5
0,8412
0,6838
0,5981
0,5440
0,5063
0,4783
0,4564
0,4387
0,4241
0,4118
0,3645
0,3066
0,2000
6
0,7808
0,6161
0,5321
0,4803
0,4447
0,4184
0,3980
0,3817
0,3682
0,3568
0,3135
0,2612
0,1667
7
0,7271
0,5612
0,4800
0,4307
0,3974
0,3726
0,3535
0,3384
0,3259
0,3154
0,2756
0,2278
0,1429
8
0,6798
0,5157
0,4377
0,3910
0,3595
0,3362
0,3185
0,3043
0,2926
0,2829
0,2462
0,2022
0,1250
9
0,6385
0,4775
0,4027
0,3584
0,3286
0,3067
0,2901
0,2768
0,2659
0,2568
0,2226
0,1820
0,1111
10
0,6020
0,4450
0,3733
0,3311
0,3029
0,2823
0,2666
0,2541
0,2439
0,2353
0,2032
0,1655
0,1000
12
0,5410
0,3924
0,3264
0,2880
0,2624
0,2439
0,2299
0,2187
0,2098
0,2020
0,1737
0,1403
0,0833
15
0,4709
0,3346
0,2758
0,2419
0,2195
0,2034
0,1911
0,1815
0,1736
0,1671
0,1429
0,1144
0,0667
20
0,3894
0,2705
0,2205
0,1921
0,1735
0,1602
0,1501
0,1422
0,1357
0,1303
0,1108
0,0879
0,0500
24
0,3434
0,2354
0,1907
0,1656
0,1493
0,1374
0,1286
0,1216
0,1160
0,1113
0,0912
0,0743
0,0417
30
0,2929
0,1980
0,1593
0,1377
0,1237
0,1137
0,1061
0,1002
0,0958
0,0921
0,0771
0,0604
0,0333
40
0,2370
0,1576
0,1259
0,1082
0,0968
0,0887
0,0827
0,0780
0,0745
0,0713
0,0595
0,0462
0,0250
60
0,1737
0,1131
0,0895
0,0765
0,0682
0,0623
0,0583
0,0552
0,0520
0,0497
0,0411
0,0316
0,0167
∞
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ν →
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
16
36
∞
k ↓
G(P = 99%)
2
0,9999
0,9950
0,9794
0,9586
0,9373
0,9172
0,8988
0,8823
0,8674
0,8539
0,7949
0,7067
0,5000
3
0,9933
0,9423
0,8831
0,8335
0,7933
0,7606
0,7335
0,7107
0,6912
0,6743
0,6059
0,5153
0,3333
4
0,9676
0,8643
0,7814
0,7212
0,6761
0,6410
0,6129
0,5897
0,5702
0,5536
0,4884
0,4057
0,2500
5
0,9279
0,7885
0,6957
0,6329
0,5875
0,5531
0,5259
0,5037
0,4854
0,4697
0,4094
0,3351
0,2000
6
0,8828
0,7218
0,6258
0,5635
0,5195
0,4866
0,4608
0,4401
0,4229
0,4081
0,3529
0,2858
0,1667
7
0,8376
0,6644
0,5685
0,5080
0,4659
0,4347
0,4105
0,3911
0,3751
0,3616
0,3105
0,2494
0,1429
8
0,7945
0,6152
0,5209
0,4627
0,4226
0,3932
0,3704
0,3522
0,3373
0,3248
0,2779
0,2214
0,1250
9
0,7544
0,5727
0,4810
0,4251
0,3870
0,3592
0,3378
0,3207
0,3067
0,2950
0,2514
0,1992
0,1111
10
0,7175
0,5358
0,4469
0,3934
0,3572
0,3308
0,3106
0,2945
0,2813
0,2704
0,2297
0,1811
0,1000
12
0,6528
0,4751
0,3919
0,3428
0,3099
0,2861
0,2680
0,2535
0,2419
0,2320
0,1961
0,1535
0,0833
15
0,5747
0,4069
0,3317
0,2882
0,2593
0,2386
0,2228
0,2104
0,2002
0,1918
0,1612
0,1251
0,0667
20
0,4799
0,3297
0,2654
0,2288
0,2048
0,1877
0,1748
0,1646
0,1567
0,1501
0,1248
0,0960
0,0500
24
0,4247
0,2871
0,2295
0,1970
0,1759
0,1608
0,1495
0,1406
0,1338
0,1283
0,1060
0,0810
0,0417
30
0,3632
0,2412
0,1913
0,1635
0,1454
0,1327
0,1232
0,1157
0,1100
0,1054
0,0867
0,0658
0,0333
40
0,2940
0,1915
0,1508
0,1281
0,1135
0,1033
0,0957
0,0898
0,0853
0,0816
0,0668
0,0503
0,0250
60
0,2151
0,1371
0,1069
0,0902
0,0796
0,0721
0,0668
0,0625
0,0594
0,0567
0,0461
0,0344
0,0167
∞
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
s
max(s2
)
; P - вероятность того, что все g оценок дисперсии являются выбороч-
max =
k
ными значениями одной и той же генеральной совокупности. Гипотеза равенства дис-
персий может быть значимой (P = 95%) или высоко значимой (P=99%).
Таблица 11.5.
Процентные точки распределения Фишера (F (P1, n1, n2)- распределения)
P1 - вероятность того, что оцениваемое значение F не превышает табличное. Это оце-
ниваемое значение рассматривается как значимое (P1 = 95%) или высоко значимое (P1 =
99%).
n1 Æ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
20
24
30
•
n2Ø
P1 = 95%
1
161,5
199,5
215,7
224,6
230,2
234,0
236,8
238,9
240,5
241,9
243,9
246,0
248,0
249,1
250,1
254,3
2
18,51
19,00
19,16
19,25
19,30
19,33
19,35
19,37
19,39
19,4
19,41
19,43
19,45
19,45
19,46
19,50
3
10,13
9,552
9,277
9,117
9,014
8,941
8,887
8,845
8,812
8,786
8,745
8,703
8,660
8,639
8,617
8,527
4
7,709
6,944
6,591
6,388
6,256
6,163
6,094
6,041
5,999
5,964
5,912
5,858
5,803
5,774
5,746
5,628
5
6,608
5,786
5,410
5,192
5,050
4,950
4,876
4,818
4,773
4,735
4,678
4,619
4,558
4,527
4,496
4,365
6
5,987
5,143
4,757
4,534
4,387
4,284
4,207
4,147
4,099
4,060
4,000
3,938
3,874
3,842
3,808
3,669
7
5,591
4,737
4,347
4,120
3,972
3,866
3,787
3,726
3,677
3,637
3,575
3,511
3,445
3,411
3,376
3,230
8
5,318
4,459
4,066
3,838
3,688
3,581
3,501
3,438
3,388
3,347
3,284
3,218
3,150
3,115
3,079
2,928
9
5,117
4,257
3,827
3,633
3,482
3,374
3,293
3,230
3,179
3,137
3,073
3,006
2,937
2,901
2,864
2,707
10
4,965
4,103
3,708
3,478
3,326
3,217
3,136
3,072
3,020
2,978
2,913
2,845
2,774
2,737
2,700
2,538
12
4,747
3,885
3,490
3,259
3,106
2,996
2,913
2,849
2,796
2,753
2,687
2,617
2,544
2,506
2,466
2,296
15
4,543
3,682
3,287
3,056
2,901
2,790
2,707
2,641
2,588
2,544
2,475
2,403
2,328
2,288
2,247
2,066
20
4,351
3,493
3,098
2,866
2,711
2,599
2,514
2,447
2,393
2,348
2,278
2,203
2,124
2,083
2,039
1,843
25
4,242
3,385
2,991
2,759
2,603
2,490
2,405
2,337
2,282
2,236
2,165
2,089
2,007
1,964
1,919
1,711
30
4,171
3,316
2,922
2,690
2,534
2,421
2,334
2,266
2,211
2,165
2,092
2,015
1,932
1,887
1,841
1,622
50
4,034
3,183
2,790
2,557
2,400
2,286
2,208
2,130
2,082
2,026
1,952
1,871
1,784
1,747
1,697
1,438
•
3,841
2,996
2,605
2,372
2,214
2,099
2,010
1,938
1,880
1,831
1,752
1,666
1,571
1,517
1,459
1,000
n1 Æ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
20
24
30
•
n2Ø
P1 = 99%
1
4052
5000
5403
5625
5764
5859
5928
5981
6023
6056
6106
6157
6209
6235
6261
6366
2
98,50
99,00
99,17
99,25
99,30
99,33
99,36
99,37
99,39
99,40
99,42
99,43
99,45
99,46
99,47
99,50
3
34,12
30,82
29,46
28,71
28,24
27,91
27,67
27,49
27,35
27,23
27,05
26,87
26,69
26,60
26,51
26,13
4
21,20
18,00
16,69
15,98
15,52
15,21
14,98
14,80
14,66
14,55
14,37
14,20
14,02
13,93
13,84
13,46
5
16,26
13,27
12,06
11,39
10,97
10,67
10,46
10,29
10,16
10,05
9,888
9,722
9,553
9,467
9,379
9,020
6
13,75
10,93
9,780
9,148
8,746
8,466
8,260
8,102
7,976
7,874
7,718
7,559
7,396
7,313
7,229
6,880
7
12,25
9,547
8,451
7,847
7,460
7,191
6,993
6,840
6,719
6,620
6,469
6,314
6,155
6,074
5,992
5,650
8
11,26
8,649
7,591
7,006
6,632
6,371
6,178
6,029
5,911
5,814
5,667
5,515
5,359
5,279
5,198
4,859
9
10,56
8,022
6,992
6,422
6,057
5,802
5,613
5,467
5,351
5,257
5,111
4,962
4,808
4,729
4,649
4,311
10
10,04
7,559
6,552
5,994
5,636
5,386
5,200
5,057
4,942
4,849
4,706
4,558
4,405
4,327
4,247
3,909
12
9,330
6,927
5,953
5,412
5,064
4,821
4,640
4,499
4,388
4,296
4,155
4,010
3,858
3,781
3,701
3,361
15
8,683
6,359
5,417
4,893
4,556
4,318
4,142
4,004
3,895
3,805
3,666
3,522
3,372
3,294
3,214
2,868
20
8,096
5,849
4,938
4,431
4,103
3,871
3,699
3,564
3,457
3,368
3,231
3,088
2,938
2,859
2,779
2,421
25
7,770
5,568
4,675
4,177
3,855
3,627
3,457
3,324
3,217
3,129
2,993
2,850
2,699
2,620
2,538
2,169
30
7,562
5,390
4,510
4,018
3,699
3,473
3,305
3,173
3,067
2,979
2,843
2,700
2,549
2,469
2,386
2,006
50
7,171
5,057
4,199
3,720
3,408
3,186
3,038
2,890
2,803
2,698
2,536
2,419
2,265
2,202
2,116
1,683
•
6,635
4,605
3,782
3,319
3,017
2,802
2,639
2,511
2,407
2,321
2,185
2,039
1,878
1,791
1,696
1,000
содержание .. 53 54 55 56 ..