содержание .. 52 53 54 55 ..
ГОСУДАРСТВЕННАЯ ФАРМАКОПЕЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ (ПЕРВОЕ ИЗДАНИЕ, 2006 год) - часть 54
верительных интервалов. Например, для какого-нибудь готового лекарственного сред-
ства допуски содержания активного компонента установлены 90-110% от номинально-
го. В процессе анализа получено среднее значение содержания x = 94% от номиналь-
ного значения. Нас интересует, не выходит ли доверительный интервал за допуски со-
держания (90-110 %). Очевидно, что в данном случае этот доверительный интервал
может выйти за пределы только нижнего допуска (90%), но не нижнего и верхнего
(110%) одновременно. Вопрос о возможности выхода истинной величины m за преде-
лы верхнего допуска нас в данном случае не интересует (в связи с его крайне низкой
вероятностью). Таким образом, истинное значение m находится в интервале
x
-D
£m£•
(1.29а)
x
Аналогичное выражение можно записать для случая, когда x превышает 100 %
(например, x = 105 %):
-•£m£x+D
(1.29b)
x
Соотношения (1.29а-1.29b) характеризуют односторонние доверительные интер-
валы, поскольку величина m ими ограничивается только с одной стороны. Это отлича-
ет их от соотношения (1.14) , где величина m ограничивается с обеих сторон. Таблич-
ные значения критерия Стьюдента для одностороннего и двухстороннего распределе-
ния приведены в Табл. 11.2. Существует следующее соотношение между двухсторон-
ним (P2) и односторонним (P1) критериями Стьюдента:
t[P ,n]= t[(2P
-1),n]
(1.30)
2
1
В частности, односторонний критерий Стьюдента для вероятности 0,95 (т.е. 95%)
совпадает с двухсторонним критерием Стьюдента для вероятности 0,90 (т.е. 90%).
Таким образом, P2 - это вероятность того, что математическое ожидание (или
истинное значение) оцениваемой величины находится в двусторонне ограниченных
пределах (1.14-1.28), а P1 - это вероятность того, что оно находится в односторонне
ограниченных пределах (1.29-1.30). В литературе (в частности, в таблицах) нередко
используются обозначаемые по-разному величины (1-P2) и (1-P1), которые характери-
зуют вероятность того, что математическое ожидание (или истинное значение) оцени-
ваемой величины выходит за вышеуказанные пределы. Во многих случаях такие ве-
личины являются более удобными.
2. Метрологические характеристики методики анализа
Метрологические характеристики методики устанавливают путем статистической
обработки одной выборки или совместной статистической обработки нескольких выбо-
рок из одной и той же генеральной совокупности. В качестве таких выборок могут ис-
пользоваться как данные аналитического архива лаборатории, так и результаты, полу-
ченные специально при анализе образцов с известным содержанием определяемого
компонента m. Результаты статистической обработки могут быть представлены в виде
Табл. 2.1.
Таблица 2.1
Метрологические характеристики методики анализа
m
n
x
s
P
t(P,n )
Dx
e
1
2
3
4
5
6
7
8
Во многих случаях проще использовать относительные (по отношению к m) вели-
чины. Результаты статистической обработки могут быть представлены в этом случае в
виде Табл. 2.1а.
Таблица 2.1а
Метрологические характеристики методики анализа
m
n
x /m
s
sr
P
t(P,n)
Dx,r
e
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2.1. Объединение выборок.
2.1.1. Объединенная дисперсия и объединенное среднее
Если имеется g выборок из одной генеральной совокупности с порядковыми но-
мерами k (1£k£g), расчет дисперсии s2 целесообразно проводить по формуле:
k=g
i =n
k=g
i =n
k=g
Ê
k
ˆ
k
2
2
2
2
˜
x
-
n
x
d
[
n
-1
)
s
]
 Á Â
k
 Â
Â
k
ik
k
ik
k
Á
˜
k=1
i =1
2
k=1
i =1
k=1
Ë
¯
s
=
=
=
(2.1)
n
n
n
t
t
t
или для относительных величин, принимая во внимание, что
n
-
1
=n
:
k
k
k
=g
2
Ânk¥s
k,r
2
k=1
s
=
r
(2.1а)
n
t
k
=g
2
Ânk¥RSD
k
2
k
=1
RSD
=
(2.1b)
tot
n
t
При этом объединенное число степеней свободы nt равно
g
n
=
n
(2.2)
t
Â
k
k
=1
где
- среднее k-той выборки;
x
k
nk
- число вариант в k-той выборке;
nt
- число степеней свободы в k-той выборке;
xik
- i-тая варианта k-той выборки;
2
- дисперсия k-той выборки;
s
k
2
- относительная дисперсия k-той выборки;
s
k,r
dik
- отклонение i-той варианты k-той выборки.
Если g выборок из одной генеральной совокупности с порядковыми номерами k
(1£k£g) характеризуются выборочными средними значениями xk , полученными из nk
вариант, то объединенное среднее значение x по всем выборкам рассчитывают по
формуле:
k
=g
n
¥x
Â
k
k
k=1
x
=
(2.3)
k=g
Â
n
k
k=1
Необходимым условием совместной статистической обработки нескольких вы-
борок является отсутствие статистически значимой разницы между отдельными значе-
2
ниями
s
(т.е. справедливость гипотезы равенства дисперсий). В простейшем случае
k
2
можно ограничиться сравнением крайних значений
s
с использованием критерия
k
Фишера F, как указано в разделе 3. В более общем случае используют критерии Барт-
летта и Кохрейна.
2.1.2. Критерий Бартлетта.
2
Для проверки гипотезы, что все
s
принадлежат одной генеральной совокупно-
k
сти, используют выражение, приближенно распределенное как c2:
g
2
Ê
2
2
ˆ
c
=
2,303¥Án
¥lg s
n
¥lg
s
˜
Á
t
-Â
k
k
˜
(2.4)
Ë
k
=1
¯
При этом величины s и nt рассчитываются по уравнениям (2.1) и (2.2). Найденная
таким образом величина c2 сравнивается с процентной точкой хи-квадрат распределе-
ния c2(P1,nc ) (см. Таблица 11.3 Приложения). Если имеется g выборок, то число степе-
ней свободы для c2(P1,nc ) берется равным nc=g-1. Проверяемая гипотеза принимается
при условии c2 < c2(P1,nc ). В противном случае вычисленное значение c2 корректируют
по формуле
2
c
2
c
=
(2.5)
С
˘
Í
ÈÂ(
1/
n
)
˙
-1
/
n
k
t
Î
k=1
˚
где
C
=
+1
3
(
g
-1
)
и снова сравнивают с процентной точкой хи-квадрат распределения c2(P1,nc ). Если c*2 >
c2(P1,nc ), то между некоторыми стандартными отклонениями имеются значимые разли-
чия. В этом случае необходимо провести анализ имеющихся данных, отбросить одно
или несколько значений дисперсии, наиболее сильно отличающиеся от остальных, и
снова провести тест Бартлетта. Нужно иметь в виду, что критерий Бартлетта (также как
и критерий Кохрейна) очень чувствителен к нарушению требования нормальности. Но
именно поэтому он может быть весьма полезен при формировании надежных аналити-
ческих архивов.
Описанный критерий Бартлетта применим только при условии, что число степе-
ней свободы у всех объединяемых дисперсий больше 3 (т.е. все nk > 3). Однако именно
этот случай нередко и представляет наибольший интерес. Поэтому Бартлеттом была
предложена более сложная модификация данного критерия, применимая при любых
степенях свободы9. Однако использование ее на практике достаточно затруднительно
без применения ЭВМ.
2.1.3. Критерий Кохрейна.
В том случае, когда все объединяемые дисперсии имеют одинаковое число сте-
пеней свободы (т.е. n1= n2 =…= ng = n) для проверки гипотезы равенства дисперсий
можно применять значительно более простой критерий Кохрейна со статистикой:
2
s
max
G
=
g
(2.6)
2
sk
Â
k
=1
2
s
max(s2
)
max =
k
Критические точки критерия Кохрейна приведены в Таблице 11.4 Приложения.
Рассчитанное значение G на выбранном уровне значимости (95% или 99%) не должно
превосходить табличное значение. В противном случае гипотеза равенства дисперсий
не может быть принята и формулы (2.1-2.2) объединения выборок не являются кор-
ректными.
2
В формулах (2.4) и (2.6) вместо абсолютных величин
s
могут использоваться
k
2
относительные величины
s
и RSDk .
r,k
2.2. Проверка наличия значимой систематической погрешности.
При известном содержании определяемого компонента m в образце следует ре-
шить вопрос о наличии статистически значимой систематической погрешности. Для
этого вычисляют критерий Стьюдента t:
m
-
x
¥
m
t
=
(2.7)
s
или в относительных величинах:
x
1-
¥
m
m
t
=
(2.7а)
s
r
Если, например, при Р = 95% и n = m - 1, реализуется неравенство
t > t(P,n)
(2.8)
то полученные данною методикою результаты отягощены систематической погрешно-
стью, относительная величина которой d может быть оценена по формуле:
x
d
=1-
¥100%
(2.9)
m
Значимые систематические погрешности
(т.е. погрешности, для которых
реализуется неравенство 2.8) должны быть обязательно исключены из результатов
анализа.
3. СРАВНЕНИЕ ДВУХ МЕТОДИК АНАЛИЗА ПО ВОСПРОИЗВОДИМОСТИ
Данное сравнение проводят путем выяснения значимости различия выборочных
дисперсий анализа этих двух методик. В более общем случае, данный подход приме-
няется для оценки значимости различия двух выборочных дисперсий, например, с це-
лью выяснения, можно ли их считать выборочными оценками одной и той же диспер-
сии генеральной совокупности.
При сравнении воспроизводимости (сходимости) двух методик анализа с оцен-
2
2
2
2
ками дисперсий
s
и
s
(s
>
s
) вычисляют критерий Фишера F:
1
2
1
2
2
s
1
F =
(3.1)
2
s
2
2
2
2
2
Критерий F характеризует при
s
>
s
достоверность различия между
s
и
s
1
2
1
2
Вычисленное значение F сравнивают с табличным значением F(P1,n1, n2), най-
денным при P1= 99% (см. таблицу 11.5 Приложения).
Если
F >F(P ,n
,n
)
(3.2)
1
1
2
2
2
то различие дисперсий
s
и
s
признается статистически значимым с вероятностью
1
2
P1, что позволяет сделать заключение о более высокой воспроизводимости второй ме-
тодики. При
F £ F(P ,n
,n
)
(3.3)
1
1
2
2
2
различие значений
s
и
s
не может быть признано значимым, и заключение о разли-
1
2
чии воспроизводимости (сходимости) методик сделать нельзя ввиду недостаточного
объема информации. Если
F(P
=
0,95,n
,n
)< F < F(P
=
0,99,n
,n
)
(3.4)
1
1
2
1
1
2
целесообразно провести дальнейшие экспериментальные исследования для методики
с лучшей воспроизводимостью.
При сравнении двух методик анализа результаты статистической обработки мо-
гут быть представлены в виде Табл. 3.1. Сравнение желательно проводить при m1 = m2,
n1 > 10 и n2 > 10. Если точные значения m1 и m2 неизвестны, величины d и tвыч не опре-
деляют.
Таблица 3.1
Данные для сравнительной метрологической оценки двух методик анализа
Мето-
m
n
x
s
P
t(P,n)
Dx
e
tвыч
F(P, n1, n2)
Fвыч
d
Приме-
дика
(табл.)
чания
№ п/п
P=99%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
2
Если при измерениях получают логарифмы исходных вариант, вместо величин
m, x и s в таблице 3.1 приводят величины lgm,
lg
x
и
s
. При этом в графу 8 вносят
g
lg
величину Dlgx, a в графу 9 - максимальное по абсолютной величине значение e. Анало-
гичные замены проводят при вычислении t по уравнению (2.7) и F по уравнению (3.1).
4. МЕТРОЛОГИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СРЕДНЕГО РЕЗУЛЬТАТА.
Если с помощью данной методики анализа (измерения) следует определить зна-
чение некоторой величины A, то для полученной экспериментально однородной вы-
борки объема m рассчитывают величины, необходимые для заполнения табл. 4.1. Ес-
ли методика имеет метрологическую аттестацию, графы 2, 4, 5, 7, 8 и 9 табл. 4.1 за-
полняются на основании данных табл. 2.1. Это позволяет значительно сузить границы
доверительного интервала за счет большего числа степеней свободы (см. уравнение
m
+
n
1.17). Если n £ 15, а
>
,
, величины s и n целесообразно вычислять по форму-
n
лам (2.1) и (2.2).
Таблица 4.1
Метрологические характеристики среднего результата
D
m
n
x
s
P
t(P,n)
Dx
x
e
s
x
или
x±D
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Во многих случаях проще использовать относительные (по отношению к x ) ве-
личины. В этом случае целесообразно проводить расчеты по Табл. 4.1а.
Таблица 4.1а
Метрологические характеристики среднего результата
m
n
x
s
sr
P
t(P,n)
e
s
D
x,r
x,r
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Таким образом, на основании выражения (1.14) для измеряемой величины А при
незначимости систематической погрешности с вероятностью Р выполняется условие:
x - Dx £ A £ x + Dx
(4.1)
т. е.
A = x ± Dx
(4.2)
или с использованием относительных величин:
A
=1±
D
(4.2а)
x,r
x
Если при измерениях получают логарифмы исходных вариант, в графе 9 табл.
4.1 приводят величину
D
, а каждую из граф 3, 9 и 10 разбивают на две (а, б). В
lg
x
графе 3а приводят значение
x
, в графе 3б - значение
lg
x
, в графах 9а и 9б — со-
g
g
ответственное значения нижней и верхней границ доверительного интервала для
x
g
(см. уравнения 1.24 и 1.25). Наконец, в графе 10 приводят максимальное по абсолют-
ной величине значение e (см. уравнение 1.28а).
5. Сравнение средних результатов двух выборок
Если в результате измерений одной и той же величины А получены две выборки
объема п1 и п2 причем
x
¹
x
, может возникнуть необходимость проверки статистиче-
1
2
ской достоверности гипотезы:
x
=
x
(5.1)
1
2
т.е. значимости разности (x
-
x
).
1
2
Такая проверка необходима, если величина А определялась двумя разными ме-
тодиками с целью их сравнения, или если величина А определялась одной и той же
методикой для двух разных объектов, идентичность которых требуется доказать. Для
проверки гипотезы (5.1) следует установить, существует ли статистически значимое
2
2
различие между дисперсиями
s
и
s
. Эта проверка проводится так, как указано в
1
2
разделе 3.
Рассмотрим три случая.
2
2
5.1. Различие дисперсий
s
и
s
статистически незначимо (справедливо
1
2
неравенство 3.3). В этом случае средневзвешенное значение s2 вычисляют по уравне-
2
нию (2.1), а дисперсию
s
разности
x
-
x
—по уравнению (5.2):
P
1
2
2
s
¥
(
n
+
n
)
2
1
2
S
=
(5.2)
P
n
¥n
1
2
2
S
=
S
(5.3)
P
P
Далее вычисляют критерий Стьюдента:
x
-
x
x
-
x
n
¥n
1
2
1
2
1
2
t
=
=
(5.4)
S
s
n
+
n
P
1
2
n =
n
+n2
-2
(5.5)
1
Если при выбранном значении Р2 (например, при Р2 = 95%)
t
>
t(P
,n
)
(5.6)
2
то результат проверки положителен - разность (x
-
x
) является значимой, и гипотезу
1
2
x
=
x
отбрасывают. В противном случае надо признать, что эта гипотеза не проти-
1
2
воречит экспериментальным данным.
2
2
5.2. Различие значений
s
и
s
статистически значимо (справедливо не-
1
2
2
2
2
равенство 3.2). Если
s
>
s
, дисперсию
s
разности (x
-
x
) находят по уравне-
1
2
P
1
2
нию (5.7), а число степеней свободы n' — по уравнению (5.8):
2
2
2
s
s
1
2
S
=
+
(5.7)
P
n
n
1
2
2
2
Ê
s
¥s
ˆ
1
2
n'
=
(
n
+
n
-
2
)
¥Á
,
+
˜
(5.8)
1
2
Á
4
4
˜
s
+
s
Ë
1
2
¯
Следовательно, в данном случае
|x
1
-
x
2
|
n
¥
n
1
2
t
=
=|x
1
-
x
2
| ¥
(5.9)
2
2
S
n
¥
s
+
n
¥s
P
2
1
1
2
Вычисленное по уравнению (5.9) значение t сравнивают с табличным значением
t(Р2, n'), как это описано выше для случая 1.
2
2
Рассмотрение проблемы упрощается, когда п1ªп2 и
s
>>
s
. Тогда в отсутст-
1
2
вие систематической погрешности среднее
x
2
выборки объема п2 принимают за дос-
таточно точную оценку величины А, т.е. принимают
x
2
=m
. Справедливость гипотезы
x
1
=
m
, эквивалентной гипотезе (5.1), проверяют с помощью выражений (2.7) и (2.8),
принимая n1 = n1—1. Гипотеза (5.1) отклоняется, как статистически недостоверная, ес-
ли выполняется неравенство (2.8).
5.3. Известно точное значение величины А.
Если А = m, проверяют две гипотезы:
x
1
=m
и
x
2
=m
. Проверку выполняют так,
как описано в разделе 2 с помощью выражений (2.7) и (2.8), отдельно для каждой из
гипотез. Если обе проверяемые гипотезы статистически достоверны, то следует при-
знать достоверной и гипотезу (5.1). В противном случае гипотеза (5.1) должна быть от-
брошена.
Если при измерениях получают логарифмы исходных вариант, при сравнении
2
средних используют величины lg x g ,
s
и
s
lg
lg
В тех случаях, когда разность ( x1 - x 2 ) оказывается значимой, определяют до-
^
^
верительный интервал для разности соответствующих генеральных средних (x
1
-
x
2
)
^
^
x
1
-
x
2
- t(P
,n
)
¥s
£
x×
-x
£
x
1
-x
2
+t(P
,n
)
¥S
(5.10)
2
P
1
2
2
P
6. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ АНАЛИЗА, ПОЛУЧЕННЫХ С ПОМОЩЬЮ
МЕТРОЛОГИЧЕСКИ АТТЕСТОВАННОЙ МЕТОДИКИ.
Данная интерпретация основывается на том, что для метрологически аттесто-
ванной методики известна принятая оценка стандартного отклонения.
6.1. Оценка сходимости результатов параллельных определений.
При рутинных анализах аналитик обычно проводит два-три, реже четыре парал-
лельных определения. Варианты полученной при этом упорядоченной выборки объе-
ма т, как правило, довольно значительно отличаются друг от друга. Если методика
анализа метрологически аттестована, то максимальная разность результатов двух па-
раллельных определений должна удовлетворять неравенству:
x1 - x
<
L( P,m )¥s
(6.1)
n
где s - принятая оценка стандартного отклонения, L(P, m)— фактор, вычисленный по
Пирсону при Р = 95%.
m
2
3
4
L
2,77
3,31
3,65
Если неравенство (6.1) не выполняется, необходимо провести дополнительное
определение и снова проверить, удовлетворяет ли величина |x1-xn| неравенству (6.1).
Если для результатов четырех параллельных определений неравенство (6.1) не
выполняется, следует считать, что конкретные условия анализа привели к снижению
воспроизводимости методики и принятая оценка величины s применительно к данному
случаю является заниженной. В этом случае поступают, как указано в разделе 1.2.
6.2. Определение необходимого числа параллельных определений.
Если необходимо получить средний результат x с относительной неопределен-
ностью e £ j (где j - некоторое число, например, 2%) , причем методика анализа мет-
рологически аттестован, необходимое число параллельных определений m находят из
уравнения
2
ÊD
¥100ˆ
x
m
³
(6.2)
Á
˜
j
¥
x
Ë
¯
6.3. ГАРАНТИЯ КАЧЕСТВА ПРОДУКЦИИ.
Описанный ниже подход применим к метрологически аттестованной методике. В
других случаях могут применяться иные подходы (см. общую статью «Валидация ана-
литических методик и испытаний»).
Предположим, что качество продукции регламентируется предельными значе-
ниями amin и amax величины А , которую определяют на основании результатов анализа.
Примем, что вероятность соответствия качества продукта условию
a
<
A<
a
(6.3)
min
max
должна составлять P1.
Пусть величину А находят экспериментально как среднее выборки объема т, а
методика ее определения метрологически аттестована. Тогда условие (6.3) будет вы-
полняться с вероятностью P1, если значение x = A будет лежать в пределах
a
+D
<
A
<a
-D
(6.4)
min
A
max
A
где:
U(P )¥s
1
D
=
(6.5)
A
m
Значения коэффициента U для вероятности P1 = 95% и P1 = 99% соответственно рав-
ны 1,65 и 2,33.
Иными словами, для гарантии качества наблюдаемые пределы изменения вели-
чины А на практике следует ограничить значениями:
U(P )¥s
1
A
=
a
+D
=
A
+
min
min
A
min
(6.6)
m
U(P )¥s
1
A
=
a
-D
=
A
-
(6.7)
max
max
A
max
m
Наоборот, если заданы значения Amin и Amax, значения amin и amax, входящие в не-
равенство (6.3), могут быть найдены путем решения уравнений (6.6) и (6.7). Наконец,
если заданы пары значений Amin, amin и Amax, amax, то уравнения (6.6) и (6.7) могут быть
решены относительно т. Это может быть использовано для оценки необходимого чис-
ла параллельных определений величины А.
Если при измерениях получают логарифмы исходных вариант, описанные в раз-
деле 6 вычисления проводят с использованием величин
lg
x
g
,
lg
x
,
s
и т.п.
i
lg
Примеры расчетов приведены в разделе 9.7.
7. РАСЧЕТ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМО-
СТИ
При использовании ряда химических и физико-химических методов количест-
венного анализа непосредственному измерению подвергается некоторая величина у,
которая является линейной функцией искомой концентрации (количества) х опреде-
ляемого вещества или элемента. Иными словами, в основе таких методов анализа ле-
жит существование линейной зависимости:
y =bx+a
(7.1)
где у - измеряемая величина; х - концентрация (количество) определяемого вещества
или элемента; b - угловой коэффициент линейной зависимости; а - свободный член
линейной зависимости.
Для использования зависимости (7.1) в аналитических целях, т. е. для опреде-
ления конкретной величины х по измеренному значению у, необходимо заранее найти
числовые значения констант b и а, т.е. провести калибровку. Иногда константы функ-
ции (7.1) имеют тот или иной физический смысл, и их значения должны оцениваться с
учетом соответствующего доверительного интервала. Если калибровка проведена, и
значения констант а и b определены, величину х находят по измеренному значению уi:
1
a
x
=
y
-
(7.2)
i
i
b
b
При калибровке величину х рассматривают как аргумент, а величину у - как
функцию. Наличие линейной зависимости между х и у не всегда является очевидным.
По этой причине экспериментальные данные, полученные при калибровке, в первую
очередь используют для оценки жесткости, т. е. степени неслучайности линейной связи
между х и у, и лишь затем определяют значения констант а и b и их доверительные ин-
тервалы. В первом приближении судить о жесткости линейной связи между перемен-
ными х и у можно по величине линейного коэффициента корреляции (или просто, ко-
эффициента корреляции) r, который вычисляют по уравнению:
m
m
m
m
x
y
-
y
Â
i
i
Âxi¥
Â
i
1
1
1
(7.3)
r
=
2
2
È
m
m
˘È
m
m
˘
2
Ê
ˆ
2
Ê
ˆ
Ím
x
-Á
x
˜
˙Ím¥
y
-Á
y
˜
˙
¥Â
i
Â
i
Â
i
Â
i
Î
1
Ë
1
¯
˚Î
1
Ë
1
¯
˚
исходя из экспериментальных данных.
Линейный коэффициент корреляции r изменяется в пределах от -1 до +1. Поло-
жительные значения r указывают на рост, а негативные - на уменьшение y с ростом
x.
Линейный коэффициент корреляции r является частным случаем общего индек-
са корреляции Rс , который применим также и для нелинейных зависимостей между
величинами y и x :
2
s
0
R =
1
-
(7.3а)
c
2
s
y
где:
so - остаточное стандартное отклонение (уравнение 7.7),
sy - стандартное отклонение величин yi относительно среднего значения y (уравнение
7.15); рассчитывают с использованием уравнения (1.5).
Уравнение (7.3а), в силу своей простоты и наглядности, нередко используется
вместо соотношения (7.3) в том случае, когда знак коэффициента корреляции не имеет
значения.
Чем ближе абсолютная величина
|r| к единице, тем менее случайна на-
блюдаемая линейная зависимость между переменными х и у.
Коэффициент корреляции r используется обычно для выявления стахостической
взаимосвязи между величинами, функциональная зависимость между которыми может
и отсутствовать. Коэффициент корреляции является значимым, если его величина для
данной вероятности Р и числа степеней свободы n превышает значения, приведенные
в Таблице 11.6. В противоположном случае нельзя говорить о существовании значи-
мых зависимостей (7.1-7.2).
Значимость коэффициента корреляции является обязательным, но не достаточ-
ным условием использования уравнений (7.1-7.2) для аналитических целей (см. ниже).
В аналитической химии в большинстве случаев используют линейные зависимости с
коэффициентом корреляции |r| ³ 0.98 (при соответствии требованиям Таблицы 11.6) и
только при анализе следовых количеств рассматривают линейные зависимости с ко-
эффициентом корреляции |r| ³ 0.9.
Коэффициенты а и b и другие метрологические характеристики зависимости
(7.1) рассчитывают с использованием метода наименьших квадратов по эксперимен-
тально измеренным значениям переменной у для заданных значений аргумента х.
Пусть в результате эксперимента найдены представленные в Таблице 7.1 пары значе-
ний аргумента х и функции у.
Таблица 7.1
i
xi
yi
1
x1
y1
2
x2
y2
m
xm
ym
Тогда, если величины yi имеют одинаковую неопределенность (а такое допуще-
ние обычно выполняется для достаточно узкого диапазона варьирования величин yi),
то:
m
m
m
m¥Âx
y
-
x
¥
y
i
i
Â
i
Â
i
1
1
1
b
=
(7.4)
2
m
m
2
Ê
ˆ
m¥
x
-Á
x
˜
Â
i
Â
i
1
Ë
1
¯
m
m
y
-
b¥
x
Â
i
Â
i
1
1
a
=
(7.5)
m
n =
m-
2
(7.6)
Если полученные значения коэффициентов а и b использовать для вычисления
значений у по заданным в Таблице 7.1 значениям аргумента х согласно зависимости
(7.1), то вычисленные значения у обозначают через Y1, Y2, ... Yi, ... Yn. Разброс значе-
2
ний yi относительно значений Yi характеризует величина остаточной дисперсии
s
, ко-
0
торую вычисляют по уравнению:
m
m
m
m
2
2
(
y
-Y
)
y
-
a yi-
b
x
y
Â
i
i
Â
i
Â
i
i
2
1
1
1
1
s
=
=
(7.7)
0
n
n
Для того, чтобы уравнения (7.1-7.2) адекватно описывали экспериментальные
2
данные, необходимо, чтобы остаточная дисперсия
s
не отличалась значимо по кри-
0
терию Фишера (соотношения 3.1-3.4) от дисперсии воспроизводимости (сходимости)
величин yi . Последняя может быть найдена экспериментально или спрогнозирована
(см. Главу 10) из паспортных данных оборудования.
В свою очередь дисперсии констант b и а находят по уравнениям:
2
2
ms
0
s
=
b
2
(7.8)
m
m
2
Ê
ˆ
m
x
-Á
x
˜
Â
i
Â
i
1
Ë
1
¯
2
m
2
s
b
2
s
=
x
a
Â
i
(7.9)
m
1
Стандартные отклонения sb и sa и величины Db и Da, необходимые для оценки
доверительных интервалов констант, рассчитывают по уравнениям:
2
s
=
s
(7.10)
b
b
2
s
=
s
(7.11)
a
a
D
= t(P
;n
¥
(7.12)
b
2
b
D
= t(P
;n
¥
(7.13)
a
2
a
Коэффициенты а и b должны значимо отличаться от нуля, т.е. превышать, соот-
ветственно, величины Da и Db.
Уравнению (7.1) с константами а и b обязательно удовлетворяет точка с коор-
динатами x и y , называемая центром калибровочного графика:
m
Âx
i
1
x
=
(7.14)
m
m
Ây
i
1
y
=
(7.15)
m
Наименьшие отклонения значений yi от значений Yi наблюдаются в окрестностях
центра графика. Стандартные отклонения sy и sx величин у и х, рассчитанных соответ-
ственно по уравнениям (7.1) и (7.2) исходя из известных значений х и у, определяются
с учетом удаления последних от координат центра графика:
È
˘
Í
2
˙
1
m
(
x
-
x
)
2
Í
˙
s
=
s
+
y
0
2
(7.16)
Í
m
m
˙
m
2
Ê
ˆ
Í
m
x
-Á
x
˜
˙
Â
i
Â
i
Î
1
Ë 1
¯
˚
È
˘
Í
˙
2
2
s
Í
1
1
m( y
-
y
)
˙
0
j
s
=
+
+
x
2
Í
2
˙
(7.17)
b
n
m
È
m
m
˘
j
Ê
ˆ
Í
2
2
˙
b
Ím
x
-Á
x
˜
˙
Í
Â
i
Â
i
˙
Î
1
Ë 1
¯
˚
Î
˚
где:
y
- среднее значение;
j
nj - число вариант, использованных при определении
y
j
При x = x и y = y
:
i
2
s
0
s
=
(7.16a)
y
m
s2
È
1
1
˘
0
s
=
+
x
2
Í
˙
b
În
j
m
˚
С учетом значений sy и sx могут быть найдены значения величин Dy и Dx.
D
=
s ¥t(P ;n
)
(7.18)
y
y
2
D
=
s ¥t(P ;n
)
(7.19)
x
x
2
Значения sx и Dx, найденные при n
=1, являются характеристиками воспроизво-
i
димости (сходимости) аналитической методики, если х - концентрация, а у - функция х.
Обычно результаты статистической обработки по методу наименьших квадратов
сводят в Таблицу 7.2.
Таблица 7.2
Результаты статистической обработки экспериментальных данных, получен-
ных при изучении линейной зависимости вида y = bx + a
n
b
a
t(P2;n)
Db
Da
2
r
sx
Dx
x
y
D
¥100
s
x,r
0
при
при
P2=95%
nj=1
y
=
y
j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Примечание 1. Если целью экспериментальной работы являлось определение кон-
стант b и а, графы 11, 12 и 13 Таблицы 7.2 не заполняются.
Примечание 2. Если y = b lg x + a , вычисления, описанные в разделе 7, выполняют с
использованием уравнений (1.8), (1.9), (1.22 - 1.25).
2
Примечание 3. Сравнение дисперсий
s
, полученных в разных условиях для двух ли-
0
нейных зависимостей, может быть проведено, как указано в разделе 3.
8. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ СХЕМА СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА РЕЗУЛЬТАТОВ
ХИМИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ
Традиционно в фармакопейном анализе преобладают методы статистического
анализа с фиксированным объемом выборки. Наряду с этим в последние годы все ши-
ре применяются методы так называемого последовательного (секвенционального)
анализа6. Использование этих методов имеет смысл в тех случаях, когда выполнение
каждого анализа дорого, трудоемко или отнимает много времени, и при этом имеется
возможность анализировать результаты последовательно, по мере их поступления.
Частным случаем последовательной схемы является метод проверки с двукрат-
ной выборкой. Такой метод применяется в фармакопейном анализе, например, при
контроле однородности дозирования: берется первая выборка, и по полученным ре-
6 См., например, D. Siegmund. Sequential Analysis. Springer-Verlag. 1985.
зультатам партия либо проходит, либо бракуется, либо принимается решение взять
вторую выборку. Такая схема позволяет сэкономить (в среднем) число наблюдений,
необходимое для принятия решения. Еще более экономична последовательная схема
в общем виде. По данным7 коэффициент выгоды при сопоставлении с традиционными
схемами (фиксированный объем выборки) колеблется между двумя и тремя.
Последовательный критерий для различения двух простых гипотез
Н0: выборка извлечена из генеральной совокупности f(x , μ0 ,s);
Н1: выборка извлечена из генеральной совокупности f(x , μ1 ,s)
предложен Вальдом8 (здесь f(x, μ , s) - функция плотности вероятности нормального
(n
)
распределения). Критическая статистика
g
(n - число наблюдений) задается в виде:
n
f(x ,m
,s
)
(n)
i
1
g
ln
n
=1,2...
=Â
(8.1)
f(x,m
,s
)
i =1
i
2
Область возможных значений критической статистики разбивается на три (а не
на две, как в случае выборок фиксированного объема) части:
1) область принятия гипотезы Н0
(
n
)
b
g
£
ln
(8.2)
1-a
2) область принятия гипотезы Н1
(
n
)
1-
b
g
³
ln
(8.3)
a
3) область продолжения наблюдений
b
(
n
)
1
-
b
ln
<
g
<
ln
(8.4)
1
-a
a
Здесь:
a - погрешность первого рода (вероятность принятия гипотезы H1 , в то время как на
самом деле верна гипотеза H0);
b - погрешность второго рода (вероятность принятия гипотезы H0 , в то время как на
самом деле верна гипотеза H1).
Если результаты n испытаний рассматривать как случайную выборку из гене-
ральной совокупности, подчиняющейся нормальному распределению с дисперсией s2
(которая предполагается известной из предыдущих экспериментов), то
m
-
m
n
(n)
1
0
2
2
g
=
x
+
(
m
-
m
)
(8.5)
2
Â
i
2
0
1
s
2s
Если значение критической статистики, вычисленное на шаге n, попадает в об-
ласть 1), то принимается гипотеза Н0; если оно попадает в область 2), то принимается
гипотеза Н1; если значение критической статистики попадает в область 3), то произво-
дится еще одно измерение. Доказано, что с вероятностью 1 этот процесс заканчивает-
ся принятием одной из двух альтернативных гипотез.
7 С.А. Айвазян Теор. вер. и ее примен. - 1959. - Т. 4. - № 1. - С. 87-93.
8 А. Вальд. Последовательный анализ. М.: Физматгиз. 1960.
Критерий Вальда является оптимальным в том смысле, что среди всех последо-
вательных критериев он требует минимального среднего числа наблюдений при за-
данных значениях погрешности первого и второго рода.
На практике вычисления могут быть организованы следующим образом. На гра-
фик наносят четыре прямые, задаваемые уравнениями, в которых n - номер испыта-
ния.
T =a +bn
(8.6а)
0
0
T =a +bn
(8.6b)
1
1
T '=a '+bn'
(8.6c)
0
0
T '=a '+bn'
(8.6d)
1
1
В этих уравнениях
'
s
b
a0= a
=
ln
0
(8.7а)
dm
a
1
-
2
'
s
1-
b
a1=a
=
ln
1
(8.7b)
dm
a
2
где:
s - стандартное отклонение метода, которое предполагается известным;
b и b' - верхний и нижний пределы содержания анализируемого вещества в образце;
dμ = ׀μ2 - μ1׀ - разность генеральных средних генеральных совокупностей f(x , μ0 ,s) и
f(x , μ0 ,s); dμ задается экспериментатором и характеризует способность метода разли-
чать эти генеральные совокупности.
Прямые (8.6a-8.6d) разбивают плоскость на 5 областей (см. Рис. 8.1). Область 3
- это область принятия гипотезы Н0; области 1 и 5 - области принятия гипотезы Н1, об-
ласти 2 и 4 - области продолжения наблюдений. Чем меньше s и больше dμ , тем бо-
лее узкими являются области 2 и 4 и тем быстрее сходится метод.
Испытания проводятся последовательно. После каждого испытания по оси ор-
динат откладывается накопительная сумма полученных результатов. В зависимости от
того, куда попадает очередная точка, принимается одно из трех возможных решений:
попадание точки в область 3 означает, что образец выдерживает испытание; попада-
ние в область 1 или 5 означает, что образец не выдерживает испытание; если точка
попадает в область 2 или 4, то испытания должны быть продолжены.
1
2
3
4
Рис. 8.1. Практическая организация схемы последовательных испытаний
Более конкретно применение секвенционального анализа описано в приме-
ре 9.8.
9. ПРИМЕРЫ
9.1 Вычисление среднего значения и дисперсии.
При определении содержания стрептоцида в образце линимента были получены сле-
дующие данные.
Таблица 9.1
i
1
2
3
4
5
xi, %
9,52
9,55
9,83
10,12
10,33
n = 5; n = n-1 = 5-1 = 4.
n
Â
xi
9,52
+9,55
+9,83
+10,12
+1
,
1
x
=
=
=
9,87
n
5
d
=
x x
=
x
-9,87
т.е. d
9,52
-9,87
=
0,35
и т.д.
i
i
i
1 =
n
n
2
2
2
x
-nx
Âd
i
Â
i
2
2
2
2
2
2
(9,52
+9,55
+9,83
+10,12
+10,33
)-5
¥9,87
2
1
1
s
=
=
=
=
n
n
4
=
,
2
s
=
s
=
0,1252
=
0,3538
s
0,3538
sr
=
=
=
0,03585
x
9,87
RSD =s
¥100
=
3
,59
%
r
s
0,3538
sx =
=
=
,
n
5
s
0
,
x
s
=
=
=
0,01603
x,r
x
9,87
RSD =s
¥100
=
,
x
x,r
9.2 Проверка однородности выборки малого объема
При проведении девяти (n=9) определений содержания общего азота в плазме крови
крыс были получены следующие данные (в порядке возрастания):
Таблица 9.2
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
xi, %
0,62
0,81
0,83
0,86
0,87
0,90
0,94
0,98
0,99
По уравнениям 1.10 и 1.11а находим:
R
=
x x
=
0,62
-0,98
=
0,36
1
n-1
x
-
x
0,62
-0,81
1
2
Q
=
=
=
0,53
1
R
0,36
По Таблице 11.1 Приложения находим:
Q(9;95%)=0,46
<Q
=0,53
1
Q(9;99%)=0,55
>Q
=0,53
1
Следовательно, гипотеза о том, что значение х1 = 0,62 должно быть исключено
из рассматриваемой совокупности результатов измерений как отягощенное грубой по-
грешностью, может быть принята с доверительной вероятностью 95%, но должна быть
отвергнута, если выбранное значение доверительной вероятности равно 99%.
9.3. Вычисление доверительных интервалов и неопределенностей изме-
рений.
В результате определения содержания хинона в стандартном образце хингидро-
на были получены следующие данные (n=10).
Таблица 9.3
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi,%
49,80
49,83
49,87
49,87
49,92
50,01
50,05
50,06
50,10
50,11
Расчеты по формулам (1.2, 1.4 - 1.7) дали следующие результаты:
x =4
,
; n
= 9; s2 = 0,01366; s = 0,1169; s
=0,03696
x
Доверительные интервалы результата отдельного определения и среднего ре-
зультата при Р2 = 90% получаем согласно (1.18) и (1.16):
x
±D
=
x ±t(P
,n ¥s = x ±t(
90%,9)¥s =x
±1,83
¥0,1169
=
x
±0,21
i
x
i
2
i
i
i
t
(
P
,n
)
¥s
1,83¥
,
2
x
±
D
=
x
±
=
4
,
±
=
49,96
±0,07
x
n
10
Тогда относительные неопределенности e и e , согласно (1.21) и (1.21), равны:
D
0,21
x
e
=
¥100
%
=
¥100%
=
0
,42
%
x
4
,
D
0,07
x
e
=
¥100
%
=
¥100%
=
0
,
x
4
,
Обозначая истинное содержание хинона в хингидроне через m, можно считать, что с
90% доверительной вероятностью справедливы неравенства:
m-0,21
£
x
£m
+0,21
i
x
-0,21
£m
£
x
+0,21
(при любом i)
i
i
m -0,07
£ x £ m +0,07; x -0,07
£m £x
+
0,07
(при n=10)
9.4. Проверка гипотезы равенства дисперсий.
9.4.1. Объединение результатов выборок разного объема.
В процессе проведения внутрилабораторных исследований неопределенности
методики титрования субстанции ацетилсалициловой кислоты четырьмя (т.е. g = 4, nc =
3) разными аналитиками получены средние значения
x
и относительные стандартные
k
отклонения (RSDk%) для указанного числа опытов (nk), представленные ниже в Табли-
це 9.4.1.
Можно ли считать данные RSDk выборками из одной генеральной совокупности
и каковы объединенное x и RSDtot ?
Таблица 9.4.1.
№
x
RSDk
nk
nk
nt
2
RSDtot
c2
5.4. C c*2
Табличное
k
RSD
tot
%
%
c2(P1=95%, nc
= 3)
1
99,9
0,3
5
4
2
99,4
0,8
7
6
3
99,2
0,7
9
8
25
0,552
0,74
4,62
1,072
4,31
7,815
4
99,3
0,9
8
7
Вначале проверим гипотезу равенства дисперсий, т.е. что все RSDk являются
выборками из одной генеральной совокупности.
Рассчитаем величины nt по формуле (2.2):
g
n
=
=
4
+6
+8
+7
=
25
t
Ân
k
k=1
2
По формуле (2.1) рассчитываем
RSD
:
tot
k
=g
2
n
¥RSD
Â
k
k
2
2
2
2
4¥0,3
+6¥0,8
+8¥0,7
+7
¥
,
2
k
=1
RSD
=
=
=
0,552
tot
n
25
t
Теперь по формуле (2.4) рассчитаем c2 :
g
2
Ê
2
2
ˆ
c
=
2,303
¥
n
¥lg RSD
n
¥lg RSD
=
Á
t
tot
-Â
k
k
˜
Ë
k
=1
¯
=
2,303
¥
(
25
¥
lg 0,552
-
(4
¥
lg 0,09
+
6
¥
lg 0,64
+
8
¥
lg 0,49
+
7
¥
lg 0,81))
=
4,62
Табличное значение (по таблице 11.4) c2(P1 = 0,95, nc = 3) = 7,815 > 4,62.
Таким образом, значение c2 меньше критического, поэтому можно принять гипо-
тезу о равенстве дисперсий.
Значение c2 меньше критического, и поэтому нет необходимости в расчете кор-
ректирующего фактора С и величины c*2 . Для иллюстрации рассчитаем и эти величи-
ны по формуле (2.5):
[(1 / 4 )+(1 / 6 )+(1 / 8 )+(1 / 7 )]
-(1 /
25
)
C
=
+1
=
,
3¥(4
-1
)
2
2
c
4,62
c
=
=
=
4,31
C
,
Как видно, значение c*2 еще меньше критического значения (7,815), что под-
тверждает гипотезу о равенстве дисперсий.
Рассчитаем объединенное RSDtot :
2
RSD
=
RSD
=
0,552
=
0
,
tot
tot
Рассчитаем объединенное среднее x по всем четырем выборкам по формуле
(2.3):
99,9¥5
+99,4
¥7
+99,2
¥9
+
99
,3¥ 8
x
=
= 99
,4
%
5
+
7
+
9
+
8
Таким образом, по данным внутрилабораторных исследований, относительное
стандартное отклонение титрования субстанции ацетилсалициловой кислоты равно
0,74%, а ее содержание - 99,4%.
9.4.2. Объединение результатов выборок одинакового объема.
При анализе методом ВЭЖХ пяти различных серий (т.е. g = 5) лекарственного
средства получены следующие значения относительных стандартных отклонений
(RSDi%) площадей пиков при трехкратном (т.е. n = 3) хроматографировании раствора
каждой серии:
содержание .. 52 53 54 55 ..