§ 23. КРИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ПРЕДЕЛЬНЫХ ПАВОДКОВ
Кривые распределения случайных величин должны обобщать опытные натурные
данные, чтобы по ним можно было произвести экстраполяцию от часто
повторяющихся расходов до расчетных, более редких. Каждая кривая может
быть выражена определенным уравнением с переменными параметрами. Эти
параметры определяют по наблюденным расходам, обычно обратной задачей.
При этом должно быть доказано, что составленное уравнение сохраняет свою
закономерность и при экстраполяции (рис. VI-7).
Первую кривую распределения предложил около 1830 г. Гаусс, который
получил ее при определении ошибок геодезических инструментов. Кривая эта
не имеет обоих пределов и симметрична; она не потеряла значения и в
настоящее время, хотя 'большинство природных явлений не подчиняется
симметричной кривой распределения. Английский математик и биолог Ч.
Пирсон в конце XIX в. дал 14 уравнений для различных кривых
распределения. К настоящему времени известно уже около 50 кривых
распределения. Генетического обоснования к ним не опубликовано. В
частности, не известно, что какая-либо кривая была бы обоснована
наблюдениями такого природного явления как максимальные расходы на
реках.
Для вывода этих 50 уравнений был привлечен огромный математический
аппарат, достаточно освещенный в научной и учебной литературе.
Американский гидролог А. Фостер пришел в 1920 г. к заключению, что
кривая Пирсона I типа, имеющая верхний предел, и кривая Пирсона III
типа, не имеющая верхнего предела, подходят к гидрологическим явлениям.
Обоснование этого не опубликовывалось. Путем интегрирования уравнений до
целых значений вероятности составлены таблицы, по которым определяются
модульные коэффициенты К.
Тогда искомый расход определяется как Q = QcpK.
С. И. Рыбкин обнаружил в решении уравнения кривой
Пирсона III типа ряд неточностей, которые были им выправлены.
Впервые в СССР к гидрологическим расчетам была привлечена теория
вероятности в 1926—1928 гг. при проектировании Днепрогэса. Обработан ряд
в 75 лет и определен предельный расход Днепра по кривой, близкой к
кривой Пирсона I типа, в 26 000 м3/сек. Были учтены высокие паводки 1917
г.—с наибольшим расходом 20 700 м3/сек и 1845 г. — 22 500 м3/сек.
Окончательно принят расход 35 000 м3/сек после прохода паводка 1931 г. с
расходом 25 100 м3/сек. Теперь известно, что предельный расход для этой
реки 45 000 м31сек, т. е. больше первоначально определенного -по кривой
Пирсона I типа на 73 %.
Позже гидротехнические организации приняли для расчетов Большой Волги и
для других рек кривую Пирсона III типа. В практике применения оказалось,
что при определении минимальных расходов по этой кривой получались
отрицательные расходы. Следовательно, кривая Пирсона III типа не имела
физического смысла как в верхнем, так и в нижнем пределе. Тогда была
произведена искусственная модификация нижнего конца кривой, специально1
для минимальных расходов.
Кроме кривой Пирсона I типа, имеют предел и кривые Слейда, Гамбела и др.
Эти кривые не имеют обоснований полученных пределов, хотя в принципе и
имеют физический смысл. Поэтому практически пользоваться ими опасно.
Д. Л. Соколовский пишет [122], что математические схемы распределения
являются в значительной степени формальными и представляют только
технический прием, а кривые распределения являются лишь «математическим
лекалом». И далее... «увлечение математической статистикой, без учета
физической сущности, ведет к голому схематизму». Есть аналогичные
высказывания академика А. Н. Крылова и многих других.
Для получения обоснованной кривой распределения нужно определить предел,
к которому стремится функция, т. е. найти предельный расход и тогда ири
определении расчетных расходов экстраполяция кривой распределения будет
заменена интерполяцией.
На симпозиуме в Ленинграде в 1967 г. председатель доктор географических
наук А. А. Соколов в заключительном слове [84] отметил, что есть
трудности в определении предельного максимума по предложению Е. В.
Болдакова, но оно представляется заманчивым.
Основой дальнейших расчетов является предварительное установление ряда
статистических факторов, от которых зависит закономерность
гидрологических процессов. Одним из важных факторов является «Закон
больших чисел», установленный Я. Бернулли (1700 г.). В современной
интерпретации он сформулирован Д. Л. Соколовским [122] следующим
образом:
«Если в ряде испытаний вероятность некоторого события остается
постоянной, то при достаточно большом числе испытаний можно ожидать с
вероятностью, как угодно близкой к единице, т. е. с достоверностью, что
действительная частота т : п наступления события А будет как угодно мало
отличаться от его вероятности (или теоретической частоты) —р». Исходя из
неравенства Чебышева и теоремы Маркова [60] закон больших чисел можно
применять при ряде физически конечных величин, в данном случае при
кривых распределения, имеющих предел. Поэтому применение этого закона
при кривых Пирсона III типа и других может быть только формально
условным.