содержание .. 97 98 99 100 ..
ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 99
Задание №2594
Площадь параллелограмма ABCD равна 130. Середина стороны CD - точка E. Вычислите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=32,5 Ответ: 32,5
Задание №1336
Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 492. Рассчитайте диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =492 / 6 = 82 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*82=164 Ответ: 164
Задание №4856
Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 22° и 143°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов угол противоположный углу 22 градусов равен 180-22=158 градусов угол противоположный углу 143 градусов равен 180-143=37 градусов Больший из неизвестных углов 158 градусов Ответ: 158
Задание №3508
Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 60°. Рассчитайте число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=60 180*n – 360 = 60 * n n=3 Ответ: 3
Задание №4344
Площадь параллелограмма ABCD равна 150. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=75 Ответ: 75
Задание №1632
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 37 и 10, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=10 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=94+20=114 Ответ: 114
Задание №3508
У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 8+4√2 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=4 Ответ: 4
Задание №4268
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона CD= 64, AB= 75 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 278 Ответ: 278
Задание №3079
Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 66, большая боковая сторона равна 28 . Найдите радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 2,5 Ответ: 2,5
Задание №5508
Площадь треугольника АВС равна 130. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=97,5 Ответ: 97,5
Задание №1712
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, периметр = 184, стророна AB= 44 . Рассчитайте длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=48 Ответ: 48
Задание №3448
Площадь параллелограмма ABCD равна 137. Середина стороны BC - точка E. Вычислите площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=102,75 Ответ: 102,75
Задание №2092
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 47 и 39. Найдите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 86 / 2 = 43 Ответ: 43
Задание №1409
В треугольнике ABC BC=45, AC=28, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=10 Ответ: 10
Задание №2204
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 90. Вычислите длину средней линии трапеции
Решение
Периметр - сумма сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 90 / 4 = 22,5 Ответ: 22,5
Задание №5847
Основания равнобедренной трапеции равны 36 и 6. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=25 Ответ: 25
Задание №5443
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 13, 34, 51. Вычислите периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=13+34+51=98 Ответ: 98
Задание №2839
Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 40. Радиус описанной окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции
Решение
Проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=15 HO=7 Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=15+7=22 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 22
Задание №2420
Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 110, основание равно 132 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=5808 Подствавим значения и найдём полупериметр P=176 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=5808/176=33
Ответ: 33
Задание №2235
Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 21, BC=7, CD=49. Вычислите четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=21+49-7=63 Ответ: 63
содержание .. 97 98 99 100 ..