ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 98

Задание №4522

Площадь треугольника АВС равна 124. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=93

Ответ: 93

Задание №5372

Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 41 и 15, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=15

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=112+30=142

Ответ: 142

Задание №5880

Дан треугольник ABC. Стороны AC=9, BC=12, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=3

Ответ: 3

Задание №3574

Основания равнобедренной трапеции равны 20 и 48. Радиус описанной окружности равен 26. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции

Решение

Проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=24

HO=10

Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=24+10=34

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 34

Задание №4483

Основания равнобедренной трапеции равны 120 и 30. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=75

Ответ: 75

Задание №2698

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 169. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=84,5

Ответ: 84,5

Задание №3211

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, периметр = 177, стророна AB= 41 . Найдите длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=47,5

Ответ: 47,5

Задание №4703

Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 100, большая боковая сторона равна 40 . Рассчитайте радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 5

Ответ: 5

Задание №3654

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона CD= 104, AB= 113 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 434

Ответ: 434

Задание №1379

Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 45, основание равно 54 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=972

Подствавим значения и найдём полупериметр P=72

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=972/72=13,5

Ответ: 13,5

Задание №4992

Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 20, BC=4, CD=34. Найдите четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=20+34-4=50

Ответ: 50

Задание №5274

У трапеции, описанной около окружности, боковые стороны равны 22 и 31 . Найдите среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 53 / 2 = 26,5

Ответ: 26,5

Задание №5804

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 19, 46, 69. Рассчитайте периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=19+46+69=134

Ответ: 134

Задание №2666

Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 384. Найдите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =384 / 6 = 64

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*64=128

Ответ: 128

Задание №5415

Площадь параллелограмма ABCD равна 137. Точка E – середина стороны CD. Вычислите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=34,25

Ответ: 34,25

Задание №3936

Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 38° и 138°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов

угол противоположный углу 38 градусов равен 180-38=142 градусов

угол противоположный углу 138 градусов равен 180-138=42 градусов

Больший из неизвестных углов 142 градусов

Ответ: 142

Задание №4461

Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 150°. Найдите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=150

180*n – 360 = 150 * n

n=12

Ответ: 12

Задание №4061

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 131. Точка E – середина стороны BC. Вычислите площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=98,25

Ответ: 98,25

Задание №4518

У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 106. Вычислите длину средней линии трапеции

Решение

Периметр - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 106 / 4 = 26,5

Ответ: 26,5

Задание №2319

Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 40+20√2 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=20

Ответ: 20

содержание .. 96 97 98 99 ..