ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 95

Задание №3880

Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 85, основание равно 102 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=3468

Подствавим значения и найдём полупериметр P=136

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=3468/136=25,5

Ответ: 25,5

Задание №4931

В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 41 и 15, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=15

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=112+30=142

Ответ: 142

Задание №2087

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона CD= 41, AB= 56 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 194

Ответ: 194

Задание №2167

Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 60°. Вычислите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=60

180*n – 360 = 60 * n

n=3

Ответ: 3

Задание №3508

Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 44° и 120°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея)

угол противоположный углу 44 градусов равен 180-44=136 градусов

угол противоположный углу 120 градусов равен 180-120=60 градусов

Больший из неизвестных углов 136 градусов

Ответ: 136

Задание №4708

Площадь треугольника АВС равна 144. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=108

Ответ: 108

Задание №2737

Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 103. Рассчитайте длину средней линии трапеции

Решение

Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 103 / 4 = 25,75

Ответ: 25,75

Задание №5690

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона AB= 92, периметр P= 373 . Вычислите длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=94,5

Ответ: 94,5

Задание №2707

Площадь параллелограмма ABCD равна 136. Точка E – середина стороны BC. Рассчитайте площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=102

Ответ: 102

Задание №5866

Дана равнобедренная трапеция. Основания трапеции равны 60 и 32. Радиус описанной окружности равен 34. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции

Решение

Проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=30

HO=16

Значит, высота трапеции равна KH=KO+HO=30+16=46

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 46

Задание №5193

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 22 и 15. Рассчитайте среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 37 / 2 = 18,5

Ответ: 18,5

Задание №4693

Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 168. Вычислите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =168 / 6 = 28

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*28=56

Ответ: 56

Задание №4140

Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 18. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=10

Ответ: 10

Задание №3691

Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 35, BC=9, CD=64. Вычислите четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=35+64-9=90

Ответ: 90

Задание №5034

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 137. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=68,5

Ответ: 68,5

Задание №1322

Дан треугольник ABC. Стороны AC=21, BC=72, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=9

Ответ: 9

Задание №2431

Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 34+17√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=17

Ответ: 17

Задание №1604

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 18, 50, 64. Вычислите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=18+50+64=132

Ответ: 132

Задание №4181

Площадь параллелограмма ABCD равна 137. Середина стороны CD - точка E. Найдите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=34,25

Ответ: 34,25

Задание №2543

У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 73, большая боковая сторона трапеции равна 34 . Вычислите радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 1,25

Ответ: 1,25

содержание .. 93 94 95 96 ..