|
|
содержание .. 91 92 93 94 ..
Задание №2016
Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 120, основание равно 144 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=6912 Подствавим значения и найдём полупериметр P=192 Тогда: Подствавим значения и найдём радиус r=6912/192=36 Ответ: 36
Задание №5228
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 45. Вычислите длину средней линии трапеции Решение Периметр - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 45 / 4 = 11,25 Ответ: 11,25
Задание №4101
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 38 и 29. Рассчитайте среднюю линию трапеции Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 67 / 2 = 33,5 Ответ: 33,5
Задание №4372 Площадь параллелограмма ABCD равна 118. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=88,5 Ответ: 88,5
Задание №3729
Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 113, большая боковая сторона трапеции равна 48 . Найдите радиус окружности Решение Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD R = 4,25 Ответ: 4,25
Задание №5401
Дана равнобедренная трапеция. Основания трапеции равны 48 и 36. Радиус описанной окружности равен 30. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции Решение Проведем высоту KH через центр окружности O Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем: Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=24 HO=18 Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=24+18=42 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 42
Задание №4324
В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 33 и 6, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=6 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=78+12=90 Ответ: 90
Задание №1895
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона CD= 91, AB= 110 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 402 Ответ: 402
Задание №4992
Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 25° и 116°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Решение По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов угол противоположный углу 25 градусов равен 180-25=155 градусов угол противоположный углу 116 градусов равен 180-116=64 градусов Больший из неизвестных углов 155 градусов Ответ: 155
Задание №3177
Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 468. Рассчитайте диаметр описанной окружности Решение
Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =468 / 6 = 78 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*78=156 Ответ: 156
Задание №1925
В треугольнике ABC BC=48, AC=14, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=6 Ответ: 6
Задание №2326 Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 120°. Вычислите число вершин многоугольника Решение Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=120 180*n – 360 = 120 * n n=6 Ответ: 6
Задание №4703 Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 151. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′ Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=75,5 Ответ: 75,5
Задание №2708
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, периметр = 362, стророна AB= 87 . Вычислите длину стороны CD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=94 Ответ: 94
Задание №3201
Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 18, BC=5, CD=38. Вычислите четвертую сторону четырехугольника Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=18+38-5=51 Ответ: 51
Задание №1506 Площадь параллелограмма ABCD равна 121. Точка E – середина стороны CD. Рассчитайте площадь треугольника ADE Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=30,25 Ответ: 30,25
Задание №1355 Площадь треугольника АВС равна 128. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников: Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=96 Ответ: 96
Задание №1952
У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 26+13√2 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна: Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=13 Ответ: 13
Задание №3832 Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 192. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону
Решение Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a) По найденной формуле вычисляем, что AD=120 Ответ: 120
Задание №1545
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 23, 54, 86. Вычислите периметр данного треугольника Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как =23+54+86=163 Ответ: 163
содержание .. 91 92 93 94 ..
|
|