содержание .. 90 91 92 93 ..
ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 92
Задание №5001
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона AB= 90, периметр P= 362 . Найдите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=91 Ответ: 91
Задание №4082
В треугольнике ABC AC=16, BC=30, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=6 Ответ: 6
Задание №5548
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 56 и 45. Рассчитайте среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 101 / 2 = 50,5 Ответ: 50,5
Задание №1328
Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 35, основание равно 42 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=588 Подствавим значения и найдём полупериметр P=56 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=588/56=10,5
Ответ: 10,5
Задание №1932
Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 156°. Рассчитайте число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=156 180*n – 360 = 156 * n n=15 Ответ: 15
Задание №3553
Основания равнобедренной трапеции равны 30 и 6. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=20 Ответ: 20
Задание №5014
Площадь параллелограмма ABCD равна 129. Точка E – середина стороны BC. Рассчитайте площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=96,75 Ответ: 96,75
Задание №5971
Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 58+29√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=29 Ответ: 29
Задание №4240
Площадь треугольника АВС равна 121. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=90,75 Ответ: 90,75
Задание №3591
Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 12, BC=3, CD=25. Вычислите четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=12+25-3=34 Ответ: 34
Задание №5576
У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 86. Рассчитайте длину средней линии трапеции
Решение
Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 86 / 4 = 21,5 Ответ: 21,5
Задание №1501
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона CD= 66, AB= 78 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 288 Ответ: 288
Задание №2228
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 22, 53, 74. Рассчитайте периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=22+53+74=149 Ответ: 149
Задание №2779
Площадь параллелограмма ABCD равна 126. Точка E – середина стороны CD. Рассчитайте площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=31,5 Ответ: 31,5
Задание №4367
Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 49° и 85°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов угол противоположный углу 49 градусов равен 180-49=131 градусов угол противоположный углу 85 градусов равен 180-85=95 градусов Больший из неизвестных углов 131 градусов Ответ: 131
Задание №3115
Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 107, ее большая боковая сторона равна 46 . Найдите радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 3,75 Ответ: 3,75
Задание №5690
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 135. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=67,5 Ответ: 67,5
Задание №3751
В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 35 и 12, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=12 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=94+24=118 Ответ: 118
Задание №1047
Основания равнобедренной трапеции равны 24 и 32. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 20. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции
Решение
Сделаем построение, проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=16 HO=12 Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=16+12=28 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 28
Задание №4216
Периметр правильного шестиугольника равен 282. Найдите диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =282 / 6 = 47 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*47=94 Ответ: 94
содержание .. 90 91 92 93 ..