ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 84

Задание №4732

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона AB= 73, периметр P= 304 . Найдите длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=79

Ответ: 79

Задание №3887

Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 37° и 112°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов

угол противоположный углу 37 градусов равен 180-37=143 градусов

угол противоположный углу 112 градусов равен 180-112=68 градусов

Больший из неизвестных углов 143 градусов

Ответ: 143

Задание №3049

Дан треугольник ABC. Стороны AC=12, BC=35, угол C равен 90° . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=5

Ответ: 5

Задание №1989

Периметр правильного шестиугольника равен 396. Рассчитайте диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =396 / 6 = 66

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*66=132

Ответ: 132

Задание №1376

В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB= 9, BC=2, CD=15. Найдите четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=9+15-2=22

Ответ: 22

Задание №1380

У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 125, ее большая боковая сторона равна 60 . Рассчитайте радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 1,25

Ответ: 1,25

Задание №2250

Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 20+10√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=10

Ответ: 10

Задание №5059

Дан треугольник АВС. Его площадь равна 125. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=93,75

Ответ: 93,75

Задание №4697

Площадь параллелограмма ABCD равна 131. Середина стороны CD - точка E. Вычислите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=32,75

Ответ: 32,75

Задание №3322

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 16 и 26. Найдите среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 42 / 2 = 21

Ответ: 21

Задание №4599

Площадь параллелограмма ABCD равна 122. Середина стороны BC - точка E. Рассчитайте площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=91,5

Ответ: 91,5

Задание №4448

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 92. Найдите длину средней линии трапеции

Решение

Периметр - сумма сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 92 / 4 = 23

Ответ: 23

Задание №4413

Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 72 и 18. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=45

Ответ: 45

Задание №2502

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 21, 55, 77. Вычислите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=21+55+77=153

Ответ: 153

Задание №5903

Площадь параллелограмма ABCD равна 139. Середины его сторон - это вершины параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=69,5

Ответ: 69,5

Задание №2343

Дана равнобедренная трапеция. Основания трапеции равны 24 и 32. Радиус описанной окружности равен 20. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции

Решение

Построим высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=16

HO=12

Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=16+12=28

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 28

Задание №4019

Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 50, основание равно 60 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=1200

Подствавим значения и найдём полупериметр P=80

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=1200/80=15

Ответ: 15

Задание №4546

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона CD= 57, AB= 67 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 248

Ответ: 248

Задание №5364

Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 22 и 9, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=9

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=62+18=80

Ответ: 80

Задание №5647

Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 160°. Найдите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=160

180*n – 360 = 160 * n

n=18

Ответ: 18

содержание .. 82 83 84 85 ..