содержание .. 80 81 82 83 ..
ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 82
Задание №4542
Основания равнобедренной трапеции равны 60 и 32. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 34. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции
Решение
Проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=30 HO=16 Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=30+16=46 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 46
Задание №3648
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 21° и 108°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
В четырехугольнике, вписанном в окружность сумма противоположных углов равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 21 градусов равен 180-21=159 градусов угол противоположный углу 108 градусов равен 180-108=72 градусов Больший из неизвестных углов 159 градусов Ответ: 159
Задание №2418
Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 34 и 13, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=13 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=94+26=120 Ответ: 120
Задание №3707
Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 24, 57, 75. Вычислите периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=24+57+75=156 Ответ: 156
Задание №1118
Площадь параллелограмма ABCD равна 128. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=32 Ответ: 32
Задание №4347
Площадь параллелограмма ABCD равна 120. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=90 Ответ: 90
Задание №2224
Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 140°. Рассчитайте число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=140 180*n – 360 = 140 * n n=9 Ответ: 9
Задание №3805
Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 11, BC=3, CD=27. Найдите четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=11+27-3=35 Ответ: 35
Задание №1502
Площадь треугольника АВС равна 128. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=96 Ответ: 96
Задание №4929
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 128. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=64 Ответ: 64
Задание №2543
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона CD= 53, AB= 64 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 234 Ответ: 234
Задание №2620
Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 95, основание равно 114 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=4332 Подствавим значения и найдём полупериметр P=152 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=4332/152=28,5
Ответ: 28,5
Задание №1567
Дан треугольник ABC. Стороны AC=36, BC=160, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=16 Ответ: 16
Задание №2468
Основания равнобедренной трапеции равны 60 и 240. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=150 Ответ: 150
Задание №4946
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 69. Вычислите длину средней линии трапеции
Решение
Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 69 / 4 = 17,25 Ответ: 17,25
Задание №3575
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона AB= 61, периметр P= 258 . Найдите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=68 Ответ: 68
Задание №3195
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 40+20√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=20 Ответ: 20
Задание №2585
Периметр правильного шестиугольника равен 270. Найдите диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =270 / 6 = 45 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*45=90 Ответ: 90
Задание №1449
Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 73, ее большая боковая сторона равна 30 . Найдите радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 3,25 Ответ: 3,25
Задание №4071
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 50 и 44. Найдите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 94 / 2 = 47 Ответ: 47
содержание .. 80 81 82 83 ..