содержание .. 53 54 55 56 ..
ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 55
Задание №2176
Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 69, большая боковая сторона трапеции равна 27 . Вычислите радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 3,75 Ответ: 3,75
Задание №5920
Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 140, основание равно 168 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=9408 Подствавим значения и найдём полупериметр P=224 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=9408/224=42
Ответ: 42
Задание №3602
В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 16 и 6, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=6 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=44+12=56 Ответ: 56
Задание №3238
В треугольнике ABC BC=21, AC=20, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=6 Ответ: 6
Задание №4734
У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 92. Найдите длину средней линии трапеции
Решение
Периметр - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 92 / 4 = 23 Ответ: 23
Задание №1918
Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 126. Рассчитайте диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит: AB / 6 = P / 6 =126 / 6 = 21 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*21=42 Ответ: 42
Задание №3721
Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 60°. Найдите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=60 180*n – 360 = 60 * n n=3 Ответ: 3
Задание №3835
Дана равнобедренная трапеция. Основания трапеции равны 48 и 30. Радиус описанной окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции
Решение
Проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=20 HO=7 Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=20+7=27 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 27
Задание №3821
Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 22° и 115°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов угол противоположный углу 22 градусов равен 180-22=158 градусов угол противоположный углу 115 градусов равен 180-115=65 градусов Больший из неизвестных углов 158 градусов Ответ: 158
Задание №3468
Площадь треугольника АВС равна 118. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=88,5 Ответ: 88,5
Задание №4102
Основания равнобедренной трапеции равны 54 и 324. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=225 Ответ: 225
Задание №2154
Дана окружность, вписанная в треугольник ABC, к которой проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 24, 57, 81. Найдите периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=24+57+81=162 Ответ: 162
Задание №3573
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона CD= 99, AB= 103 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 404 Ответ: 404
Задание №2170
Площадь параллелограмма ABCD равна 125. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=93,75 Ответ: 93,75
Задание №5660
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 34 и 24. Рассчитайте среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 58 / 2 = 29 Ответ: 29
Задание №5565
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона AB= 41, периметр P= 173 . Рассчитайте длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=45,5 Ответ: 45,5
Задание №3322
Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 11, BC=3, CD=21. Найдите четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=11+21-3=29 Ответ: 29
Задание №2310
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 137. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=68,5 Ответ: 68,5
Задание №5703
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 131. Точка E – середина стороны CD. Вычислите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=32,75 Ответ: 32,75
Задание №1438
У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 28+14√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=14 Ответ: 14
содержание .. 53 54 55 56 ..