|
|
содержание .. 51 52 53 54 ..
Задание №1215
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 56+28√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна: Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=28 Ответ: 28
Задание №3786
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона CD= 82, AB= 90 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 344 Ответ: 344
Задание №3514 Площадь треугольника АВС равна 128. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников: Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=96 Ответ: 96
Задание №4765
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона AB= 93, периметр P= 381 . Вычислите длину стороны CD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=97,5 Ответ: 97,5
Задание №5165
Дана окружность, вписанная в треугольник ABC, к которой проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 29, 72, 100. Вычислите периметр данного треугольника Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как =29+72+100=201 Ответ: 201
Задание №2800 Площадь параллелограмма ABCD равна 152. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′ Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=76 Ответ: 76
Задание №1985
У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 104. Рассчитайте длину средней линии трапеции Решение Периметр - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 104 / 4 = 26 Ответ: 26
Задание №1302 Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 150°. Вычислите число вершин многоугольника Решение Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=150 180*n – 360 = 150 * n n=12 Ответ: 12
Задание №4533
У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 106, большая боковая сторона трапеции равна 49 . Рассчитайте радиус окружности Решение Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD R = 2 Ответ: 2
Задание №1167
Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 40 и 13, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=13 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=106+26=132 Ответ: 132
Задание №5427
Дана равнобедренная трапеция. Основания трапеции равны 30 и 14. Радиус описанной окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции Решение Построим высоту KH через центр окружности O Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем: Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=24 HO=20 Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=24+20=44 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 44
Задание №1636
Дан треугольник ABC. Стороны AC=16, BC=30, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=6 Ответ: 6
Задание №4575 Основания равнобедренной трапеции равны 324 и 54. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону
Решение Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a) По найденной формуле вычисляем, что AD=225 Ответ: 225
Задание №4639
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 34° и 132°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Решение По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов угол противоположный углу 34 градусов равен 180-34=146 градусов угол противоположный углу 132 градусов равен 180-132=48 градусов Больший из неизвестных углов 146 градусов Ответ: 146
Задание №3002 Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 145. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=108,75 Ответ: 108,75
Задание №3556
Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 186. Рассчитайте диаметр описанной окружности Решение
Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =186 / 6 = 31 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*31=62 Ответ: 62
Задание №1026
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 16 и 27. Найдите среднюю линию трапеции Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 43 / 2 = 21,5 Ответ: 21,5
Задание №4541
Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 13, BC=2, CD=21. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=13+21-2=32 Ответ: 32
Задание №3089 Площадь параллелограмма ABCD равна 125. Точка E – середина стороны CD. Рассчитайте площадь треугольника ADE Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=31,25 Ответ: 31,25
Задание №3557
Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 75, основание равно 90 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=2700 Подствавим значения и найдём полупериметр P=120 Тогда: Подствавим значения и найдём радиус r=2700/120=22,5 Ответ: 22,5
содержание .. 51 52 53 54 ..
|
|