ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 41

Задание №1916

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 29° и 89°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея)

угол противоположный углу 29 градусов равен 180-29=151 градусов

угол противоположный углу 89 градусов равен 180-89=91 градусов

Больший из неизвестных углов 151 градусов

Ответ: 151

Задание №1809

Дан треугольник АВС. Его площадь равна 140. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=105

Ответ: 105

Задание №4653

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 93, CD= 87 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 360

Ответ: 360

Задание №5870

Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 40 и 32 . Найдите среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 72 / 2 = 36

Ответ: 36

Задание №2826

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 145, основание равно 174 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=10092

Подствавим значения и найдём полупериметр P=232

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=10092/232=43,5

Ответ: 43,5

Задание №3049

Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 37 и 14, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=14

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=102+28=130

Ответ: 130

Задание №3099

Основания равнобедренной трапеции равны 20 и 48. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 26. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции

Решение

Построим высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=24

HO=10

Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=24+10=34

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 34

Задание №1774

Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 486. Найдите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =486 / 6 = 81

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*81=162

Ответ: 162

Задание №3180

Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 60°. Вычислите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=60

180*n – 360 = 60 * n

n=3

Ответ: 3

Задание №5362

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 35, периметр P= 145 . Вычислите длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=37,5

Ответ: 37,5

Задание №3358

Площадь параллелограмма ABCD равна 123. Середина стороны BC - точка E. Найдите площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=92,25

Ответ: 92,25

Задание №4260

Площадь параллелограмма ABCD равна 150. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=75

Ответ: 75

Задание №5092

Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 14, BC=2, CD=15. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=14+15-2=27

Ответ: 27

Задание №3837

В треугольнике ABC BC=15, AC=8, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=3

Ответ: 3

Задание №1069

Дана окружность, вписанная в треугольник ABC, к которой проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 20, 53, 74. Найдите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=20+53+74=147

Ответ: 147

Задание №3615

Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 144. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=80

Ответ: 80

Задание №5719

Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 86+43√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=43

Ответ: 43

Задание №5875

Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 116, ее большая боковая сторона равна 50 . Рассчитайте радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 4

Ответ: 4

Задание №3730

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 134. Точка E – середина стороны CD. Рассчитайте площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=33,5

Ответ: 33,5

Задание №3351

У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 88. Вычислите длину средней линии трапеции

Решение

Периметр - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 88 / 4 = 22

Ответ: 22

содержание .. 39 40 41 42 ..