ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 39

Задание №2677

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 28° и 85°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов

угол противоположный углу 28 градусов равен 180-28=152 градусов

угол противоположный углу 85 градусов равен 180-85=95 градусов

Больший из неизвестных углов 152 градусов

Ответ: 152

Задание №5055

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 85, основание равно 102 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=3468

Подствавим значения и найдём полупериметр P=136

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=3468/136=25,5

Ответ: 25,5

Задание №1728

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 158. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=79

Ответ: 79

Задание №3470

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 40 и 30. Рассчитайте среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 70 / 2 = 35

Ответ: 35

Задание №5634

Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 16, BC=4, CD=32. Вычислите четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=16+32-4=44

Ответ: 44

Задание №1174

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 20, 60, 70. Найдите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=20+60+70=150

Ответ: 150

Задание №4618

Дан треугольник АВС. Его площадь равна 138. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=103,5

Ответ: 103,5

Задание №5050

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона AB= 73, CD= 69 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 284

Ответ: 284

Задание №2656

Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 24 и 6, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=6

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=60+12=72

Ответ: 72

Задание №5613

В треугольнике ABC BC=4, AC=3, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=1

Ответ: 1

Задание №2128

Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 103. Найдите длину средней линии трапеции

Решение

Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 103 / 4 = 25,75

Ответ: 25,75

Задание №1204

Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 120°. Найдите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=120

180*n – 360 = 120 * n

n=6

Ответ: 6

Задание №3094

Площадь параллелограмма ABCD равна 121. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=30,25

Ответ: 30,25

Задание №3275

Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 119, ее большая боковая сторона равна 55 . Вычислите радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 2,25

Ответ: 2,25

Задание №1397

Площадь параллелограмма ABCD равна 122. Середина стороны BC - точка E. Найдите площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=91,5

Ответ: 91,5

Задание №4364

Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 68+34√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=34

Ответ: 34

Задание №3443

Основания равнобедренной трапеции равны 16 и 12. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 10. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции

Решение

Сделаем построение, проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=8

HO=6

Значит, высота трапеции равна KH=KO+HO=8+6=14

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 14

Задание №1270

Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 390. Рассчитайте диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =390 / 6 = 65

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*65=130

Ответ: 130

Задание №4267

Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 12 и 6. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=5

Ответ: 5

Задание №5727

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, периметр = 395, стророна AB= 95 . Рассчитайте длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=102,5

Ответ: 102,5

содержание .. 37 38 39 40 ..