ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 18

Задание №4348

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 139. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=104,25

Ответ: 104,25

Задание №5694

Площадь параллелограмма ABCD равна 133. Середины его сторон - это вершины параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=66,5

Ответ: 66,5

Задание №4450

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 91. Найдите длину средней линии трапеции

Решение

Периметр - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 91 / 4 = 22,75

Ответ: 22,75

Задание №1217

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 140, основание равно 168 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=9408

Подствавим значения и найдём полупериметр P=224

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=9408/224=42

Ответ: 42

Задание №2773

У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 122, ее большая боковая сторона равна 57 . Рассчитайте радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 2

Ответ: 2

Задание №1127

Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 31 и 44 . Рассчитайте среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 75 / 2 = 37,5

Ответ: 37,5

Задание №5695

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона AB= 58, периметр P= 244 . Вычислите длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=64

Ответ: 64

Задание №5209

В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 44 и 13, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=13

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=114+26=140

Ответ: 140

Задание №1284

Дан треугольник АВС. Его площадь равна 133. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=99,75

Ответ: 99,75

Задание №1182

Основания равнобедренной трапеции равны 30 и 60. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=25

Ответ: 25

Задание №5783

Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 35° и 117°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

В четырехугольнике, вписанном в окружность сумма противоположных углов равна 180 градусов (теорема Птолемея)

угол противоположный углу 35 градусов равен 180-35=145 градусов

угол противоположный углу 117 градусов равен 180-117=63 градусов

Больший из неизвестных углов 145 градусов

Ответ: 145

Задание №3724

Площадь параллелограмма ABCD равна 145. Точка E – середина стороны CD. Вычислите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=36,25

Ответ: 36,25

Задание №2136

У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 46+23√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=23

Ответ: 23

Задание №5354

Основания равнобедренной трапеции равны 30 и 48. Радиус описанной окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции

Решение

Проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=20

HO=7

Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=20+7=27

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 27

Задание №2838

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 22, 58, 83. Рассчитайте периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=22+58+83=163

Ответ: 163

Задание №1398

Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 9, BC=2, CD=18. Найдите четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=9+18-2=25

Ответ: 25

Задание №3253

Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 140°. Рассчитайте число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=140

180*n – 360 = 140 * n

n=9

Ответ: 9

Задание №3920

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона CD= 111, AB= 113 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 448

Ответ: 448

Задание №3521

Дан треугольник ABC. Стороны AC=3, BC=4, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=1

Ответ: 1

Задание №5046

Периметр правильного шестиугольника равен 138. Вычислите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =138 / 6 = 23

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*23=46

Ответ: 46

содержание .. 16 17 18 19 ..