ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 16

Задание №1277

Периметр правильного шестиугольника равен 234. Рассчитайте диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит:

AB / 6 = P / 6 =234 / 6 = 39

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*39=78

Ответ: 78

Задание №2631

Площадь параллелограмма ABCD равна 133. Середина стороны CD - точка E. Рассчитайте площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=33,25

Ответ: 33,25

Задание №5621

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 64, периметр P= 267 . Вычислите длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=69,5

Ответ: 69,5

Задание №5251

В треугольнике ABC AC=10, BC=24, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=4

Ответ: 4

Задание №1719

Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 84, большая боковая сторона трапеции равна 39 . Найдите радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 1,5

Ответ: 1,5

Задание №2379

Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 140°. Вычислите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=140

180*n – 360 = 140 * n

n=9

Ответ: 9

Задание №4912

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 25, основание равно 30 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=300

Подствавим значения и найдём полупериметр P=40

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=300/40=7,5

Ответ: 7,5

Задание №4845

Площадь параллелограмма ABCD равна 145. Середины его сторон - это вершины параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=72,5

Ответ: 72,5

Задание №4132

Дан треугольник АВС. Его площадь равна 124. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=93

Ответ: 93

Задание №4090

Основания равнобедренной трапеции равны 42 и 252. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=175

Ответ: 175

Задание №2928

Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 40+20√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=20

Ответ: 20

Задание №4089

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 118. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=88,5

Ответ: 88,5

Задание №1629

В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB= 30, BC=9, CD=72. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=30+72-9=93

Ответ: 93

Задание №1487

Основания равнобедренной трапеции равны 20 и 48. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 26. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции

Решение

Проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=24

HO=10

Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=24+10=34

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 34

Задание №2215

Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 32° и 91°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея)

угол противоположный углу 32 градусов равен 180-32=148 градусов

угол противоположный углу 91 градусов равен 180-91=89 градусов

Больший из неизвестных углов 148 градусов

Ответ: 148

Задание №3004

Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 94. Вычислите длину средней линии трапеции

Решение

Периметр - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 94 / 4 = 23,5

Ответ: 23,5

Задание №2387

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 21 и 8, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=8

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=58+16=74

Ответ: 74

Задание №3966

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона CD= 90, AB= 100 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 380

Ответ: 380

Задание №3644

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 22, 57, 76. Рассчитайте периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=22+57+76=155

Ответ: 155

Задание №3848

У трапеции, описанной около окружности, боковые стороны равны 17 и 23 . Рассчитайте среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 40 / 2 = 20

Ответ: 20

содержание .. 14 15 16 17 ..