Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 59

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

Задача 1.

Ипотека Марфы

(9 баллов)

Марфа хочет купить квартиру, но сбережений у нее нет –– придется брать ипотеку.

Банк предлагает такие условия: срок кредита 15 лет, годовая ставка 10 % (сложные про-
центы), выплата происходит раз в год (в конце года) равными платежами. Если Марфа
не будет платить, банк заберет квартиру (но ничего другого банк забрать не может).
Политика банка предусматривает два ограничения на ипотечные кредиты:

1. Коэффициент «платеж/доход» должен составлять не более 50 %.
2. Первоначальный взнос должен быть не менее 10 % цены квартиры.

Минимальный первоначальный взнос готовы оплатить Марфины родители (бесплат-
но для нее). Доход Марфы составляет 100 тыс. руб. в месяц (считайте для простоты, что
он не будет меняться до конца выплат по кредиту), часть его она готова ежемесяч-
но откладывать на беспроцентный накопительный счет, чтобы платить по кредиту в
конце года.

Выбор квартир на рынке большой, и Марфа хочет взять самую дорогую, какую

сможет себе позволить.

а)

(3 балла)

Сколько будет стоить квартира? Округлите ответ до целых тысяч руб.

б)

(3 балла)

Объясните, почему банки вводят ограничение на коэффициент «пла-

теж/доход»? Приведите

одну

причину.

в)

(3 балла)

Объясните, почему банки вводят ограничение на минимальный пер-

воначальный взнос. Иными словами, почему бы банку просто не выдавать кредит
на всю сумму? Приведите

одну

причину (не такую, как в пункте

б)

).

Решение

а)

Максимальный платеж равен

100 ⋅ 12/2 = 600

.

Сумма кредита равна

𝐵 =

600

1,1

+

600

1,1

2

+ ⋯ +

600

1,1

15

=

600

0,1

(1 −

1

1,1

15

) ≈ 4564.

Цена квартиры

𝑃 = 𝐵/0,9 ≈ 5071

.

б)

Первое ограничение снижает риск дефолта из-за падения дохода. Оно увеличи-

вает разницу между доходом и платежом по ипотеке, поэтому меньше риск, что при
падении дохода заемщик не сможет позволить себе продолжать выплаты по ипотеке.

в)

Второе ограничение снижает стимулы к стратегическому дефолту. Оно помога-

ет увеличить разницу между ценой дома и размером кредита –– меньше риск, что це-
на упадет ниже баланса по ипотеке (когда цена квартиры оказывается меньше суммы
величины долга, у заемщика есть стимул перестать платить ипотему и отдать квар-
тиру банку: это выгоднее, чем продолжать платить). Помимо этого, первоначальный
взнос –– сигнал о серьезности намерений заемщика и в рамках условия задачи про
Марфу –– гарантия того, что заемщик не проживет в квартире год, не неся никаких
издержек.

Заключительный этап, 10-11 класс

2

Задача 1.

Ипотека Марфы

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

Схема проверки

а)

Правильное решение оценивается в 3 балла. Использование месячного дохода

(50) вместо годового (600) при правильных рассуждениях штрафуется на 1 балл. Ариф-
метические ошибки штрафуются на 1 балл.

б)

Полным баллом оценивается решение, опирающееся на снижение риска при

падении дохода или росте постоянных расходов (при этом решение, основанное на
росте временных расходов (непредвиденные расходы), не оценивается). Аргумент
про то, что при большом отношении платеж/доход человеку не будет хватать денег
на товары первой необходимости, не принимается (при очень большом доходе да-
же небольшой части дохода будет хватать на товары первой необходимости, однако
отношение платеж/доход будет учитываться, потому что аргумент про снижение до-
ходов все равно работает). Аргументы про сбережения не принимаются (не факт, что
человек будет их делать, когда у него ипотека, он может, к примеру, гасить ипоте-
ку досрочно), аргументы про то, что банк заботится о человеке и не хочет, чтобы он
голодал, не принимаются (банк не волнует здоровье и режим питания заемщиков).

в)

Полным баллом оцениваются аргументы:

• Стимулы к стратегическому дефолту
• Сигнал о серьезности намерений (что человек уже вложил свои деньги, которые

ему в любом случае не вернутся)

• При отсутствии первоначального взноса заемщик имеет возможность бесплатно

прожить в квартире год

Корректные, но менее важные аргументы оцениваются меньшим числом баллов:

• 2 балла: первоначальный взнос позволяет банку компенсировать свои транзак-

ционные издержки в случае невыплаты ипотеки

Некорректные рассуждения, сочетающиеся с правильным аргументом, штрафуются
на 1-2 балла.

Рассуждения о том, что первоначальный взнос есть сигнал о платежеспособности

неверны (как в случае с Марфой: первоначальный взнос ей оплачивают родители,
никакой информации о платежеспособности Марфы факт уплаты взноса не несет).

Заключительный этап, 10-11 класс

3

Задача 1.

Ипотека Марфы

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

Задача 2.

Тарифы и рост

(9 баллов)

Дискуссии о протекционизме и свободной торговле являются порой одними из са-

мых яростных. Нередко сторонами привлекаются в качестве аргументов исторические
данные. Рассмотрите следующий график¹:

ARG

Аргентина

AUH

Австро-Венгрия

AUS

Австралия

BEL

Бельгия

CAN

Канада

DEN

Дания

FIN

Финляндия

FRA

Франция

GER

Германия

ITA

Италия

NET

Нидерланды

NOR

Норвегия

NZ

Новая Зенландия

SWE

Швеция

SWI

Швейцария

UK

Великобритания

USA

США

Например, из графика видно, что в Аргентине и тарифы (пошлины), и темп роста

подушевого ВВП в указанный период времени были высокими, а в Нидерландах ––
низкими. И вообще, на первый взгляд, чем выше были тарифы, тем в среднем более
высокие темпы роста были в стране. Экономисты называют такое явление

положи-

тельной корреляцией

. Кажется, что на этом графике между уровнем тарифов и сред-

негодовым темпом роста была положительная корреляция и из этого можно сделать
выводы, актуальные для экономической политики. Однако не всё так однозначно.

а)

(2 балла)

Объясните, почему из этого графика не следует, что между показате-

лями на самом деле была положительная корреляция.

б)

(4 балла)

Если положительную корреляцию всё же удастся достоверно уста-

новить, сторонник протекционизма с удовольствием сделает вывод, что импорт-
ные пошлины положительно влияют на экономический рост. А значит, для ускоре-
ния роста государству следует повышать пошлины. Однако, может быть, причинно-
следственная связь устроена не так? Приведите альтернативное объяснение положи-
тельной корреляции, в котором тарифы не влияют на темпы роста.

в)

(3 балла)

Какие данные могли бы помочь выяснить, влияют ли тарифы на темпы

роста? (Ваш ответ может включать данные, которые на практике получить сложно.)

¹Irwin, Douglas A. “Interpreting The Tariff-Growth Correlation Of The Late 19th Century,”

American Economic Review

, 2002, v92(2,

May).

Заключительный этап, 10-11 класс

4

Задача 2.

Тарифы и рост

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

Решение

а)

На графике мы наблюдаем положительную корреляцию между импортными

тарифами и долгосрочным ростом для данной выборки стран. Можно ли по данной
выборке делать выводы о всей генеральной совокупности? Легко видеть, что на гра-
фике представлено 17 стран. Мы не знаем, как выглядело бы облако данных, если
в выборку добавились бы другие страны мира. Заметный положительный наклон
на представленном графике обеспечивается тремя странами (Аргентиной, Канадой
и США) –– удалив из их выборки, мы получим отсутствие связи. Это заставляет осто-
рожнее относиться к выводу о положительной корреляции между тарифами и ростом.
(2 балла)

Кроме того, внимательный участник заметит, что по графику нельзя понять, как

изменялись тарифы в период времени, за который представлен усредненный рост ––
вполне может быть, что они уменьшались. (При наличии только этого довода ставит-
ся 1 балл.)

Если участник использует попарные сравнения (например, между Германией и

Норвегией) для опровержения положительной корреляции, это не приносит баллов.
Подобные пары можно найти на любом облаке данных, поэтому достаточным ар-
гументом это не является. (Несмотря на четкую положительную взаимосвязь между
ростом и весом людей или их образованием и доходом –– всегда можно найти пары-
контрпримеры.)

б)

Наличие корреляции между переменными X и Y необязательно означает, что X

влияет на Y. Возможно, Y влияет на X или они оба определяются третьим фактором.
Приведем объяснения для обоих случаев (любое из них оценивается в 4 балла).

1.

Например, может быть, что не установление высоких тарифов способствовало

росту, а наоборот, страны, которые по каким-то причинам росли быстрее, устанав-
ливали более высокие тарифы. Это могло происходить из-за того, при более высо-
ком уровне внутреннего спроса (который наблюдается при более высоких доходах) у
отечественных производителей были больше предельные выгоды от лоббирования
установления высоких тарифов, что и приводило к росту тарифов. При этом вполне
возможно, что это повышение тарифов даже относительно замедляло рост.

2.

В конце XIX века преимущество в росте получали страны, большие по площади,

такие как Аргентина, Канада и США (на графике эти страны действительно демон-
стрируют более высокие темпы роста, чем другие) –– рост шел просто за счет освоения
новых земель или инфраструктурных инвестиций. Одновременно большая площадь
страны приводила к тому, что собирать нетарифные налоги было сложно. Для попол-
нения бюджета этим странам приходилось полагаться на торговые пошлины, ведь их
собирать было гораздо проще (на границе, в порту). И действительно, эти страны на
графике имеют и более высокие тарифы. Таким образом, большая площадь может
объяснить, почему быстрый рост в этих странах наблюдался одновременно с высо-
кими тарифами. Конечно же, как и выше, само по себе повышение тарифов вполне
могло никак не влиять на рост или даже замедлять его.

Таким образом, объяснить корреляцию можно как через обратную связь, так и че-

рез третий фактор. Содержательное обоснование при этом необходимо: просто ука-

Заключительный этап, 10-11 класс

5

Задача 2.

Тарифы и рост

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

зание на то, почему корреляция в общем случае не означает причинно-следственной
связи, баллов не приносит.

Ошибками в ответах на второй вопрос является использование моделей кратко-

срочных изменений, замена темпов роста на уровень ВВП –– они не оцениваются бал-
лами. Кроме того, мотив поддержки отечественных производителей для поддержки
роста должен быть как-то специально обоснован, поскольку тарифы, ограничиваю-
щие торговлю и конкуренцию, не дают пользоваться конкурентными преимущества-
ми.

в)

Следует найти данные, которые помогли бы установить влияние тарифов на

рост, но при этом отсечь альтернативные объяснения, примеры которых приведены
в предыдущем пункте. Главная проблема наблюдений в том, что тарифы являются
продуктом политических решений и вводятся исходя из разных характеристик стран.

Идеальным способом решения подобной проблемы был бы эксперимент: разде-

лить страны (или отрасли) случайным образом на две группы, в одной группе ввести
тарифы, в другой – свободную торговлю, после чего сравнить изменения в темпах
роста. (3 балла)

Можно воспользоваться и неэкспериментальными данными. Например, найти

похожие страны, которые отличаются только величиной тарифов, и сравнить их тем-
пы долгосрочного роста. Например, стоит контролировать на уровень развития стра-
ны, площадь, уровень технологического развития и т. д. (1 балл, если просто сфор-
мулирована эта идея, 3 балла – если приведены характеристики стран, на которые
нужно контролировать и почему.)

Простое перечисление характеристик стран, без объяснения того, зачем они нуж-

ны, не приносит участнику баллов. Идея использовать так называемые временные
ряды не позволяет отсечь объяснения с обратной связью, поэтому тоже не приносило
баллов.

Больше о том, как можно интерпретировать приведенный в условии график, мож-

но узнать из статьи Дугласа Ирвина, ссылка на которую приведена в условии.

Заключительный этап, 10-11 класс

6

Задача 2.

Тарифы и рост

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

Задача 3.

Цена и качество

(9 баллов)

Как известно, регулирование цены монополиста может увеличить общественное

благосостояние. Однако низкая цена может снижать стимулы фирмы к производству
качественного товара. В этих условиях оптимальная для регулятора цена может быть
не такой, как в простейшей модели.

Рассмотрим фирму-монополиста, спрос на продукцию которой описывается урав-

нением

𝑄 = 𝛼(48 − 2𝑃)

, где

𝛼 ∈ [0; 6]

–– качество товара. Если при цене

𝑃

спрос удо-

влетворяется полностью, при данной функции спроса излишек потребителя равен

𝛼(24 − 𝑃)

2

. Издержки производства задаются уравнением

𝑇 𝐶(𝑄) = 4𝛼𝑄

. Если фирма

безразлична между несколькими оптимальными объемами производства, она выби-
рает наибольший из них.

а)

(3 балла)

Докажите, что в отсутствие регулирования оптимальное для монопо-

листа качество товара равно

𝛼

⋆

= 2

(для этого необязательно использовать производ-

ную, но можно и использовать).

б)

(3 балла)

Допустим, государство устанавливает директивно цену

𝑝

так, чтобы

максимизировать общественное благосостояние, то есть сумму излишка потребителя
и прибыли фирмы. При этом государство может следить за тем, чтобы монополист
не менял качество товара по сравнению с пунктом

а)

. Объем производства фирма

выбирает сама. Найдите оптимальную для государства цену.

в)

(3 балла)

Допустим, государство не может контролировать качество товара; оно

назначает цену, а затем монополист выбирает уровень качества и объем производ-
ства. Найдите цену, которую государство должно установить для максимизации об-
щественного благосостояния.

Решение

а)

Прибыль фирмы равна

𝜋 = 𝑄(𝑝)(𝑝 − 𝐴𝐶) = 𝛼(48 − 2𝑝)(𝑝 − 4𝛼)

. Промаксими-

зируем прибыль по цене при фиксированном качестве

𝛼

: относительно цены функ-

ция прибыли квадратичная, ветви параболы направлены вниз, а значит, оптималь-
ная цена соответствует вершине, которая находится посередине между корнями:

𝑝

⋆

= (24 + 4𝛼)/2 = 12 + 2𝛼

. Значит, при данном качестве

𝛼

максимальная прибыль

фирмы равна

𝜋(𝛼) = 8𝛼(6 − 𝛼)

2

.

Докажем, что функция

𝜋(𝛼)

максимальна при

𝛼 = 2

.

𝜋(𝛼) = 8𝛼(6 − 𝛼)

2

= 4 ⋅ 2𝛼(6 −

𝛼)(6 − 𝛼)

. Заметим, что в силу неравенства о среднем арифметическом и среднем гео-

метрическом

2𝛼(6−𝛼)(6−𝛼)

⩽

(

2𝛼+(6−𝛼)+(6−𝛼)

3

)

3

= 64

, а значит,

8𝛼(6−𝛼)

2

⩽

256

. При этом

при

𝛼 = 2

верно

8𝛼(6−𝛼)

2

= 256

. Значит, данная функция действительно максимальна

при

𝛼 = 2

.

Тот же результат можно получить и с помощью производной:

𝜋

′

(𝛼) = 8((6 − 𝛼)

2

−

2(6 − 𝛼)𝛼) = 8(6 − 𝛼)(6 − 3𝛼)

. Производная равна нулю при

𝛼 = 2

и

𝛼 = 6

, но она

меняет знак с плюса на минус только при

𝛼 = 2

, так что точкой локального максимума

является

𝛼 = 2

. Поскольку на концах отрезка функция равна нулю, а при

𝛼 = 2

она

положительна, в этой точке действительно достигается максимум функции прибыли
на отрезке

[0; 6]

.

Заключительный этап, 10-11 класс

7

Задача 3.

Цена и качество

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

б)

При качестве

𝛼 = 2

функция прибыли фирмы, как функция от цены, имеет вид

𝜋(𝑝) = 4(24 − 𝑝)(𝑝 − 8)

. При этом если государство назначит цену ниже 8, фирма не

будет производить, а если цена будет в точности 8, фирма будет безразлична между
всеми объемами

[0; 32]

, и произведет максимальный объем по условию.

Таким образом, общественное благосостояние, как функция от цены, будет иметь

вид

𝑊 (𝑝) = 2 ⋅ (24 − 𝑝)

2

+ 4(24 − 𝑝)(𝑝 − 8) = (24 − 𝑝)(48 − 2𝑝 + 4𝑝 − 32) = (24 − 𝑝)(16 + 2𝑝)

при

𝑝

⩾

8

, и

𝑊 (𝑝) = 0

в противном случае. При

𝑝

⩾

8

это квадратичная функция,

ветви параболы направлены вниз, вершина находится в точке

𝑝

⋆

= (24 + (−8))/2 = 8

,

при этом благосостояние положительно, так что это действительно точка максимума
среди всех цен

𝑝

⩾

0

.

в)

При директивной цене

𝑝

прибыль фирмы есть

𝛼(48 − 2𝑝)(𝑝 − 4𝛼)

. Фирма будет

максимизировать эту функцию по качеству

𝛼 ∈ [0; 𝑝/4]

. (При более высоком качестве

фирма не захочет производить. Поскольку имеет смысл рассматривать только

𝑝 < 24

,

ограничение

𝛼

⩽

6

выполнено.) Относительно

𝛼

эта функция квадратичная, ветви

параболы направлены вниз. Оптимум находится в вершине

𝛼

⋆

= 𝑝/8

.

Общественное благосостояние равно

𝛼(24 − 𝑝)

2

+ 𝛼(48 − 2𝑝)(𝑝 − 4𝛼)

. Подставляя

функцию реакции фирмы

𝛼

⋆

= 𝑝/8

и упрощая, получаем, что благосостояние равно

𝑝/8(24 − 𝑝)(24 − 𝑝 + 2𝑝 − 8𝑝/8) = 3𝑝(24 − 𝑝)

. Эта функция квадратичная, ветви параболы

направлены вниз, значит оптимальная цена равна 12.

Примечания:

• Мы получили, что оптимальная цена выше в в), чем в б) (

12 > 8

). Этот резуль-

тат интуитивен: в отсутствие контроля за качеством нужно держать цену более
высокой, чтобы у монополиста сохранялись стимулы производить приемлемый
по качеству товар.

• В пункте б) мы получили, что оптимальная цена равна предельным издержкам.

(Действительно,

𝑀𝐶 = 4𝛼

⋆

= 8

.) Подумайте, почему это так.

• В пункте б) мы предполагали, что государство стремится сохранить уровень ка-

чества из а). Но если оно может контролировать уровень качества, то, быть мо-
жет, оно может добиться еще большего уровня благосостояния, регулируя не
только цену, но и уровень качества? Можно доказать, что в данной задаче это
не так: если бы государство в б) могло произвольно устанавливать уровень ка-
чества, оно установило бы тот же уровень качества, что и сама фирма в а). Этот
результат является следствием линейности спроса (по цене) и того, что предель-
ные издержки не зависят от объема производства; при нарушении этих условий
он уже не верен.

Схема проверки

а)

1. Найдено оптимальное

𝑝

при фиксированном

𝛼

или наоборот (

𝑝

⋆

(𝛼) = 12 + 2𝛼

или

𝛼

⋆

(𝑝) = 𝑝/8

) и подставлено в функцию прибыли, либо выписана система уравне-

ний, соответствующих необходимому условию экстремума функции двух перемен-
ных (оптимальность по каждой переменной):

1 балл

.

2. Показано, что

𝛼

⋆

= 2

удовлетворяет необходимому условию экстремума:

1 балл

.

3. Любым корректным способом показано, что

𝛼

⋆

= 2

является глобальным мак-

Заключительный этап, 10-11 класс

8

Задача 3.

Цена и качество

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

симумом:

1 балл

. Тот факт, что функция прибыли имеет максимум по каждому аргу-

менту при фиксированном втором, не является корректным доказательством (контр-
пример: функция

𝑓 (𝑥, 𝑦) = −𝑥

2

− 𝑦

2

+ 10𝑥𝑦

не имеет максимума в

(0, 0)

).

б)

По

1 баллу

за формулу для благосостояния для каждого из случаев

𝑝

⩾

8

,

𝑝 < 8

.

1 балл

за ее максимизацию. Ответ

𝑃 = 𝑀𝐶

, хоть и верный, без основания не прини-

мается.

в)

Получение функции реакции фирмы

𝛼(𝑝) = 𝑝/8

–

1 балл

, получение функции

благосостояния только от

𝑝

(осуществление подстановки и алгебраическое упроще-

ние) –

1 балл

, его максимизация –

1 балл

.

Заключительный этап, 10-11 класс

9

Задача 3.

Цена и качество