Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 35

Всероссийская олимпиада школьников по экономике

 2019–2020 

уч. г.

 

Муниципальный этап. 11 класс. Критерии

 

8 

13. 

Московский таксист Василий ежедневно выбирает себе количество рабочих 

часов

 

0

h

≥

. Почасовая ставка заработной платы Василия составляет 

𝑤𝑤

 

рублей. 

Чем  дольше  рабочий  день,  тем  сильнее  устаёт  таксист,  поэтому  издержки  на 

работу в течение

 

h

 

часов для него составляют

 

2

2

h

. Выходя на работу, Василий 

рассчитывает заработать за день сумму

 

1600 рублей, которая является для него 

точкой отсчёта: он сильно расстраивается, если у него не получается заработать 

ожидаемую сумму за день. Таким образом, функция полезности Василия имеет 

следующий вид:

 

( )

(

)

2

2

1600

2

,

если

1600

2, 25

1600

2

,

если

1600

wh

h

wh

U h

wh

h

wh



−

−

≥



= 

⋅

−

−

<



 

Запишите в аналитическом виде функцию предложения труда Василия

 

( )

*

h w

, 

то  есть  функцию,  выражающую  количество  часов,  которое  будет  работать 

 

в день таксист Василий, в зависимости от почасовой ставки заработной платы.

 

Является ли эта функция неубывающей на всём множестве

 

0

h

≥

? 

Решение:

 

При решении данной задачи можно дополнительно учитывать содержательное 

ограничение,  не  оговоренное  в  условии,  что 

ℎ ≤

24

,  а  можно  не  учитывать. 

Стоит засчитывать оба варианта решения. 

 

Вариант 1 (не учтено ограничение 

ℎ ≤

24

) 

Найдём оптимальное количество часов 

ℎ

∗

 

для каждого участка (в обоих случаях 

график функции имеет вид параболы с ветвями вниз).

 

При 

ℎ

≥

1600

𝑤𝑤

 

имеем 

𝑈𝑈

(

ℎ

) =

𝑤𝑤

ℎ

−

1600

−

2

ℎ

2

, то есть 

ℎ

∗

=

𝑤𝑤

4

 

при 

𝑤𝑤

4

≥

1600

𝑤𝑤

⟷

 

⟷ 𝑤𝑤 ≥

80

 

(3  балла)

.  При 

𝑤𝑤

< 80

 

вершина  параболы  (оптимум)  выходит  за 

границы  ограничения,  поэтому  оптимальным  при 

𝑤𝑤

< 80

 

на  данном  участке 

является 

ℎ

∗

=

1600

𝑤𝑤

 

(2 балла)

. 

При 

ℎ

<

1600

𝑤𝑤

 

имеем 

𝑈𝑈

(

ℎ

) = 2,25

𝑤𝑤

ℎ

−

3600

−

2

ℎ

2

,  то  есть 

ℎ

∗

=

2

,

25𝑤𝑤

4

 

при 

 

2

,

25𝑤𝑤

4

<

1600

𝑤𝑤

⟷ 𝑤𝑤

<

160

3

 

(3  балла)

.  При 

𝑤𝑤 ≥

160

3

 

вершина  параболы  (оптимум) 

выходит  за  границы  ограничения,  поэтому  оптимальным  при 

𝑤𝑤 ≥

160

3

 

на 

данном участке является 

ℎ

∗

=

1600

𝑤𝑤

 

(2 балла)

. 

Поскольку  для  обеих  парабол  имеет  место  соотношение 

𝑈𝑈 �

1600

𝑤𝑤

� ≤ 𝑈𝑈

  

  

(

вершина

)

, функция предложения труда имеет следующий вид:

 

ℎ

∗

(

𝑤𝑤

) =

⎩

⎪

⎨

⎪

⎧

2,25

𝑤𝑤

4

,   

при

 0

≤ 𝑤𝑤

<

160

3

1600

𝑤𝑤

,   

при

 

𝑤𝑤 ∈

[

160

3

, 80)

𝑤𝑤

4

,   

при

 

𝑤𝑤 ≥

80

 

Всероссийская олимпиада школьников по экономике

 2019–2020 

уч. г.

 

Муниципальный этап. 11 класс. Критерии

 

9 

Эта функция не является неубывающей на всём множестве 

ℎ

≥

0

 

(убывает на 

𝑤𝑤 ∈ �

160

3

, 80

�

 

(1 балл)

. 

Ответ: 

функция предложения труда имеет вид

 

ℎ

∗

(

𝑤𝑤

) =

⎩

⎪

⎨

⎪

⎧

2

,

25𝑤𝑤

4

,   

при

 0

≤ 𝑤𝑤

<

160

3

1600

𝑤𝑤

,   

при

 

𝑤𝑤 ∈

[

160

3

, 80)

𝑤𝑤

4

,   

при

 

𝑤𝑤 ≥

80

,  

она  не  является  неубывающей  на  всем  множестве 

ℎ

≥

0

 

(убывает  на 

 

𝑤𝑤 ∈ �

160

3

, 80

�

). 

Максимум за задание – 11 баллов. 
 

Вариант 2 (учтено ограничение 

ℎ ≤

24

) 

Найдём  оптимальное  количество  часов 

ℎ

∗

 

для  каждого  участка  (в  обоих 

случаях график функции имеет вид параболы с ветвями вниз).

 

Первый участок.

 

При 

24

≥ ℎ ≥

1600

𝑤𝑤

 

имеем 

𝑈𝑈

(

ℎ

) =

𝑤𝑤ℎ −

1600

−

2

ℎ

2

,  то  есть 

ℎ

∗

=

𝑤𝑤

4

 

при 

24

≥

𝑤𝑤

4

≥

1600

𝑤𝑤

⟷

96

≥ 𝑤𝑤 ≥

80

.  

При 

𝑤𝑤

> 96

 

вершина  параболы  (оптимум)  выходит  за  границы  ограничения, 

поэтому оптимальным при 

𝑤𝑤

> 96

 

на данном участке является 

ℎ

∗

= 24

.  

При 

𝑤𝑤

< 80

 

вершина  параболы  (оптимум)  выходит  за  границы  ограничения, 

поэтому  оптимальным  при 

𝑤𝑤

< 80

 

на  данном  участке  является 

ℎ

∗

=

1600

𝑤𝑤

. 

Нужно, чтобы 

1600

𝑤𝑤

≤

24

⟷ 𝑤𝑤 ≥

200

3

. 

При 

𝑤𝑤

<

200

3

 

не выполняется условие 

24

≥ ℎ

. 

Второй участок.

 

При 

ℎ

<

1600

𝑤𝑤

,

ℎ ≤

24

 

имеем 

𝑈𝑈

(

ℎ

) = 2,25

𝑤𝑤ℎ −

3600

−

2

ℎ

2

,  то  есть 

ℎ

∗

=

2

,

25𝑤𝑤

4

 

при 

 

2

,

25𝑤𝑤

4

<

1600

𝑤𝑤

,

2

,

25𝑤𝑤

4

≤

24

⟷ 𝑤𝑤 ≤

128

3

.  

ℎ

∗

= 24

, если 

24 <

1600

𝑤𝑤

,

2

,

25𝑤𝑤

4

> 24

⟷ 𝑤𝑤 ∈ �

128

3

;

200

3

�

 

При 

𝑤𝑤 ≥

200

3

 

вершина  параболы  (оптимум)  выходит  за  границы  ограничения, 

поэтому оптимальным при 

𝑤𝑤 ≥

200

3

 

на данном участке является 

ℎ

∗

=

1600

𝑤𝑤

. 

Поскольку 

для 

обеих 

парабол 

имеет 

место 

соотношение 

 

𝑈𝑈 �

1600

𝑤𝑤

� ≤ 𝑈𝑈

(

вершина

)

,  а  первый  кусок  отсутствует  при 

𝑤𝑤 ≤

200

3

,  функция 

предложения труда имеет следующий вид:

 

Всероссийская олимпиада школьников по экономике

 2019–2020 

уч. г.

 

Муниципальный этап. 11 класс. Критерии

 

10 

ℎ

∗

(

𝑤𝑤

) =

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎧

2,25

𝑤𝑤

4

,   

при

 0

≤ 𝑤𝑤

<

128

3

24,

при

 

128

3

<

𝑤𝑤 ≤

200

3

1600

𝑤𝑤

,   

при

 

𝑤𝑤 ∈

(

200

3

, 80]

𝑤𝑤

4

,   

при

 

𝑤𝑤 ∈

(80;96]

24,

при

 

𝑤𝑤

> 96

 

Эта функция не является неубывающей на всём множестве 

ℎ ≥

0

 

(убывает на 

𝑤𝑤 ∈ �

200

3

, 80

�

 

 

Разбалловка

:  по  4  балла  за  каждый  участок  функции  полезности  (минус  2 

балла,  если  пропущен  какой

-

то  из  случаев  ограничений  на 

𝑤𝑤

),  2  балла  за 

итоговую функцию предложения труда, 1 балл за вывод о невозрастании.

 

Ответ: 

функция предложения труда имеет вид

 

ℎ

∗

(

𝑤𝑤

) =

⎩

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎧

2

,

25𝑤𝑤

4

,   

при

 0

≤ 𝑤𝑤

<

128

3

24,

при

 

128

3

<

𝑤𝑤 ≤

200

3

1600

𝑤𝑤

,   

при

 

𝑤𝑤 ∈

(

200

3

, 80]

𝑤𝑤

4

,   

при

 

𝑤𝑤 ∈

(80;96]

24,

при

 

𝑤𝑤

> 96

,  

она  не  является  неубывающей  на  всем  множестве 

ℎ ≥

0

 

(убывает  на 

 

𝑤𝑤 ∈ �

200

3

, 80

�

). 

Максимум за задание – 11 баллов. 
 
14. 

Кузнец  Вакула  из  Дакиньки  после  первой  удачной  сделки  решил  создать 

собственный  бизнес  по  обувному  ритейлу.  Осталось  выбрать  одну  из 

альтернатив  (совмещать  нельзя):  продавать  отечественные  лапти  или 

поставлять  модные  черевички  из

-

за  границы.  Конкуренция  на  рынке  лаптей 

значительная,  поэтому  Вакуле  остаётся  только  продавать  свои  лапти  по 
рыночной цене 20 рублей. Издержки его при этом составят

 

2

2

4

30

TC

Q

Q

=

+

+

 

рублей  за 

Q

 

пар  обуви.  Рынок  заморских  черевичек  новый  для  Дакиньки, 

Вакула  может  стать  первым  и  уникальным  поставщиком.  Спрос  местных 

модниц он оценивает как

 

88

2

d

Q

P

=

−

, где 

P

  – 

цена в рублях, 

Q

  – 

количество 

пар  обуви.  Собственные  издержки,  однако,  увеличатся  на

 

2

8

E Q

⋅ ⋅ +

,  где 

E

  – 

курс  (рублей  за  иностранную  валюту,  в  которой  Вакула  оплачивает  заказ 

черевичек).  Определите,  при  каких  значениях  курса 

E

 

Вакула  предпочтёт 

заниматься  бизнесом  по  продаже  черевичек

 

(если  ему  безразлично,  каким 

бизнесом заниматься, он предпочтёт продажу черевичек)

. 

 

 

Всероссийская олимпиада школьников по экономике

 2019–2020 

уч. г.

 

Муниципальный этап. 11 класс. Критерии

 

11 

Решение:

 

Случай совершенной конкуренции (лапти):

 

П

=

𝑇𝑇𝑃𝑃 − 𝑇𝑇𝑇𝑇

=

20

𝑄𝑄 −

2

𝑄𝑄

2

−

4

𝑄𝑄 −

30

=  

−

2

𝑄𝑄

2

+

16

𝑄𝑄 −

30

→

max 

Парабола ветвями вниз относительно 

Q

, значит максимум в вершине параболы.

 

𝑄𝑄

∗

=

−

16

−

2

∗

2

=

4 

П

max1

=  

−

2

∗

16

+

16

∗

4

−

30

=

2

 

руб

.

 

 

(2 балла)

 

Случай монополии (заморские черевички)

 

2

2

1

44

2

4

30

2

8

2,5

40

2

38

max

2

П

Q Q

Q

Q

EQ

Q

Q

EQ





=

−

−

−

−

−

− = −

+

−

−

→









  

Парабола  ветвями  вниз  относительно 

Q

  (

E

 

для  Вакулы  внешний  параметр), 

значит максимум в вершине параболы.

 

(

)

*

40

2

8 0, 4

2

2,5

E

Q

E

−

= −

= −

⋅ −

  

 

(4 балла)

 

Подставим  в  функцию  прибыли  и  сравним  со  случаем  совершенной 

конкуренции:

 

П

max2

=

−

2

,

5

∗

(

8

−

0

,

4

𝐸𝐸

)

2

+

40

∗

(

8

−

0

,

4

𝐸𝐸

)

−

2

𝐸𝐸 ∗

(

8

−

0

,

4

𝐸𝐸

)

−

38

=

 

=

0

,

4

𝐸𝐸

2

−

16

𝐸𝐸

+

122

≥

2 

0

,

4

𝐸𝐸

2

−

16

𝐸𝐸

+

120

≥

0 

Получаем решение 

𝐸𝐸 ≤

10

;    

𝐸𝐸 ≥

30

.

 

(3 балла)

 

Но  так  как  курс  влияет  на  выпуск,  а  выпуск  не  может  быть  отрицательным, 

получаем дополнительное ограничение:

 

 

𝑄𝑄 ≥

0

   =>    

8

−

0

,

4

𝐸𝐸 ≥

0

    =>    

𝐸𝐸 ≤

20

. 

Также  поскольку  курс 

– 

это  отношение  цен  в  разных  валютах,  он  не  может 

быть отрицательным. 

 

 

𝐸𝐸 ∈

[

0

;

10

]

 

(2 балла)

 

Ответ:

 

𝐸𝐸 ∈

[

0

;

10

]

 

Максимум за задание – 11 баллов. 
 
 

 

Всероссийская олимпиада школьников по экономике

 2019–2020 

уч. г.

 

Муниципальный этап. 11 класс. Критерии

 

12 

15. 

Жителей  города  Сиград  можно  разделить  на  N  равных  по  численности 

групп так, чтобы в каждой группе у всех был равный доход. При этом люди из 

разных  групп  тоже  могут  получать  одинаковый  доход.  Известно,  что  самая 

бедная  группа  жителей  получает  10

 

%  доходов  всего  населения,  а  самая 

 

богатая 

– 30 %. 

При каком N минимально возможное значение коэффициента Джини в городе 

Сиград будет минимальным? Найдите это значение.

 

Решение:

 

Для начала определим, при каких N условие может быть выполнено.

 

Обратим  внимание,  что  на  «средние»  группы  населения  осталась 

 

1 – 0,1 – 0,3 = 

0,6 доля всех  доходов. Доля дохода каждой из  «средних» групп 

не может быть меньше 0,1 или больше 0,3. 

(+1 балл)

 

Если N = 3, то «средняя» группа получает 0,6 всех доходов 

– 

это невозможно.

 

N = 4: в среднем «средние» группы получают 0,6/(N

 – 

2) = 0,6/2 = 0,3 долю всех 

доходов. Это не противоречит условию.

 

N = 5: в среднем они получают 0,6/3 = 0,2. Такое возможно.

 

И так далее, пока 

0,1

≤

0

,

6

𝑁𝑁−2

≤

0,3

. 

Получим,

 

что  N  может  принимать  любые  целые  значения  от  4  до  8.  Тот  же 

результат  можно  было  получить,  просто  перебрав  все  N  до  9  и  указав,  что 

дальнейший  перебор  нецелесообразен,  так  как  вычисленная  доля  будет  всё

 

меньше. 

(+2 балла)

. 

Теперь  поймём,  когда  при  каждом

 

N  неравенство  доходов  (то  есть 

коэффициент Джини) минимально. 

 

Так  как  неизвестны  доли  доходов  только  средних  групп  населения,  то  для 

минимального  неравенства  их  доходы  должны  быть  равны,  иначе, 

перераспределив  доход  от  более  богатой  группы  населения  к  более  бедной, 

можно будет снизить неравенство. 

(+2 балла)

 

Тогда  для  любого  N  население  можно  разделить  на  3  группы 

– 

самая  бедная 

 

с долей населения 1/N, средняя с долей населения (N

 – 

2)/N и богатая с долей 

населения 1/N. 

(+1 балл)

 

Тогда коэффициент  Джини, из его геометрического смысла, можно посчитать 

по формуле

: 

𝐺𝐺

= 1

−

2

∗ �

1
2

∗

1

𝑁𝑁 ∗

1

10 +

1
2

∗ �

1

10 +

7

10

� ∗

𝑁𝑁 −

2

𝑁𝑁

+

�

7

10 + 1

� ∗

1

𝑁𝑁�

=

𝑁𝑁 −

1

5

𝑁𝑁

=

1
5

−

1

5

𝑁𝑁

 

(+2 балла за подсчёт коэффициента Джини любым способом)

. 

Функция  возрастает  по  N 

(+1  балл)

,  а  значит

, 

выберем  наименьшее  N  из 

доступных, 4

. 

(+1 балл)

 

При этом коэффициент Джини составит 0,15. 

(+1 балл)

 

Ответ: 

при N = 4 коэффициент Джини составит 0,15

. 

Максимум за задание – 11 баллов. 
 

Максимум за задания с развёрнутым ответом – 44 балла. 

Максимум за работу 

– 

100 баллов.

 

Региональный этап

15 февраля 2020 года

Первый тур. Тест.

Правильные ответы.

Конкурс

закрасьте кружочек

 

9 класс

#

10-11 класс

■

Правильные ответы

■

Региональный этап

15 февраля 2020 года

Первый тур. Тест. 9 класс.

Правильные ответы и комментарии

Задание 1

5 вопросов

типа «Верно/Неверно». Правильный ответ приносит

1 балл

.

1.1.

В России действует режим фиксированного курса национальной валюты.

1) Да.

2)

Нет.

Комментарий

. Нет: Банк России проводит политику инфляционного таргетиро-

вания. Эта политика несовместима с фиксацией валютного курса.

1.2.

Уровень неравенства доходов до налогов обычно выше, чем после налогов.

1)

Да.

2) Нет.

Комментарий

. В большинстве стран налогообложение и экономическая полити-

ка, которая финансируется из налогов, склонны снижать неравенство.

1.3.

Для стабилизации финансового положения семьи ей стоит взять ипотечный кре-

дит в иностранной валюте, а не в национальной.

1) Да.

2)

Нет.

Комментарий

. Взятие кредита в иностранной валюте сопряжено с

валютным

риском

: если члены семьи получают доходы в национальной валюте, то в случае ее

обесценения они могут потерять возможность вовремя возвращать кредит.

1.4.

При олигополии на рынке есть несколько фирм и они учитывают решения друг

друга, принимая свои решения.

1)

Да.

2) Нет.

Комментарий

. Такая формулировка соответствует определению олигополии.

1

Всероссийская олимпиада школьников

2020

Экономика

1.5.

Во время учебы в бакалавриате некоторые студенты отправляются на какое-то

время за границу, чтобы учиться по обмену. Предположим, исследование тысячи вы-
пускников показало, что те из них, кто провел часть своего обучения в иностранном
университете по обмену, в среднем имеют бо́льшую зарплату через 10 лет после вы-
пуска, чем те, кто всё время учился в одной стране. Можно ли из этого сделать вывод,
что обучение за границей помогает будущей карьере?

1) Да.

2)

Нет.

Комментарий

. Как всегда, корреляция необязательно говорит о наличии причинно-

следственной связи. Скорее всего, отбор студентов для обучения за границей прово-
дился на основании их предыдущей успеваемости (а не случайным образом). Сту-
денты, которые хорошо учились, имели больше шансов в этом отборе, а также, что
естественно, были более успешны на рынке труда.

Задание 2

5 вопросов

, в каждом из которых среди четырех вариантов нужно выбрать един-

ственно верный или наиболее полный ответ. Правильный ответ приносит

3 балла

.

2.1.

За какие заслуги была присуждена Нобелевская премия по экономике

(Премия

Шведского государственного банка по экономическим наукам памяти Альфреда Нобеля)

в 2019 г.?
1) Создание оптимальных схем налогообложения;
2) развитие поведенческой экономики;
3) оптимизация политики центральных банков;

4)

экспериментальные исследования бедности и экономического неравенства.

Комментарий

. Абхиджит Банерджи, Эстер Дюфло и Майкл Кремер получили пре-

мию за исследования, которые с помощью полевых экспериментов, изучали бедность
в разных регионах мира.

2.2.

В городе N в 2019 году проезд в метро подорожал с 40 до 50 у.е., в результате

пассажиропоток сократился на 20 % (функция спроса на поездки линейна и неизменна
в течение года). Пусть

𝑃

⋆

–– цена поездки, максимизирующая выручку метрополитена

города N. Что можно утверждать наверняка?
1)

𝑃

⋆

< 40

;

2)

𝑃

⋆

> 50

;

3)

𝑃

⋆

= 45

;

4) ничего из перечисленного.

Комментарий

. Пусть функция спроса имеет вид

𝑄 = 𝑎 − 𝑏𝑃

. Тогда из условия

следует, что

𝑎 − 𝑏 ⋅ 50 = 0,8(𝑎 − 𝑏 ⋅ 40)

. Отсюда получаем

𝑎 = 90𝑏

, то есть функция спроса

имеет вид

𝑄 = 90𝑏 − 𝑏𝑃

. Максимизируем выручку

𝑇 𝑅 = 𝑏 ⋅ (90 − 𝑃)𝑃

и получаем ответ:

𝑃

⋆

= 45

вне зависимости от параметров.

Региональный этап, 9 класс

2

Первый тур. Тест.