Астрономия (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 8

 

10

 

Если

 

принять

 

рефракцию

 

на

 

уровне

 

моря

 

равной

 34

′

, 

то

 

во

 

временном

 

выражении

 

величина

 

τ

 

составляет

 4.5 

звездных

 

минут

. 

Мы

 

можем

 

считать

 

ее

 

равной

 4.5 

солнечным

 

или

 

поясным

 

минутам

, 

разница

 

будет

 

несущественна

 

для

 

данной

 

задачи

. 

Такой

 

же

 

интервал

 

времени

 

добавляется

 

на

 

заходе

 

звезды

 

за

 

горизонт

. 

В

 

итоге

, 

время

 

от

 

восхода

 

до

 

захода

 

звезды

 

в

 

одном

 

пункте

 

на

 

широте

 60 

увеличивается

 

на

 9 

минут

 

и

 

достигает

 12

ч

07

м

.  

 

Если

 

звезда

 

на

 

небесном

 

экваторе

 

взошла

 

в

 

пункте

 

А

 

в

 06

ч

00

м

, 

то

 

она

 

зайдет

 

в

 

этом

 

пункте

 

в

 

18

ч

07

м

. 

В

 

другом

 

пункте

 B 

она

 

зашла

 

в

 17

ч

55

м

, 

то

 

есть

 

на

 12 

минут

 

раньше

. 

Вновь

 

пренебрегая

 

разницей

 

хода

 

звездного

 

и

 

поясного

 

времени

 

на

 

столь

 

малом

 

интервале

, 

мы

 

получаем

, 

что

 

пункт

 B 

должен

 

располагаться

 

на

 12 

минут

 

или

 

на

 3

°

 

восточней

 

пункта

 

А

. 

Это

 

не

 

столь

 

большая

 

разница

 

долгот

 

Δλ

. 

Выражая

 

ее

 

в

 

радианах

, 

мы

 

можем

 

определить

 

расстояние

 

между

 

пунктами

 

по

 

простой

 

формуле

: 

 

L 

= 

R

 cos 

ϕ

 

Δλ

 = 167 

км

. 

 

Здесь

 

R

 – 

радиус

 

Земли

. 

 

1. 

Система

 

оценивания

.

 

Итоговая

 

оценка

 

за

 

решение

 

задачи

 

определяется

 

правильным

 

учетом

 

всех

 

необходимых

 

факторов

, 

влияющих

 

на

 

время

 

восхода

/

захода

 

звезды

. 

Если

 

тот

 

или

 

иной

 

фактор

 

опускается

, 

соответствующее

 

число

 

баллов

 

участнику

 

не

 

выставляется

, 

но

 

все

 

оставшееся

 

решение

, 

если

 

оно

 

выполнено

 

верно

 

с

 

уже

 

иным

 

ответом

, 

оценивается

 

полностью

. 

Если

 

тот

 

или

 

иной

 

фактор

 

учтен

 

неточно

  (

с

 

ошибкой

 

не

 

более

 

чем

 

в

 2 

раза

),  

соответствующий

 

этап

 

задания

 

засчитывается

 

частично

, 

вновь

 

без

 

влияния

 

на

 

другие

 

этапы

 

при

 

условии

 

их

 

правильного

 

выполнения

. 

Дополнительное

 

понижение

  (

в

 2 

раза

) 

всей

 

итоговой

 

оценки

 

производится

, 

если

 

участник

 

получил

 

заведомо

 

абсурдное

 

большое

 

расстояние

 

между

 

пунктами

 A 

и

 B, 

несовместимое

 

с

 

их

 

расположением

 

в

 

одном

 

часовом

 

поясе

 (

более

 15

°

 

по

 

долготе

 

или

 

более

 800 

км

 

по

 

расстоянию

).  

 

Фактор

 1 (2 

балла

).

 

Отличие

 

звездных

 

суток

 

от

 

солнечных

. 

Если

 

его

 

не

 

учитывать

, 

но

 

не

 

делать

 

иных

 

ошибок

, 

то

 

звезда

 

находилась

 

бы

 

над

 

горизонтом

 

на

 2 

минуты

 

дольше

 – 12

ч

09

м

. 

Соответственно

, 

разница

 

долгот

 

пунктов

 A 

и

 B 

составила

 

бы

 14 

минут

 

или

 3.5

°

, 

расстояние

 

между

 

ними

 – 195 

км

.  

 

Фактор

 2 (3 

балла

).

 

Учет

 

атмосферной

 

рефракции

. 

Если

 

его

 

не

 

производить

, 

то

 

время

 

нахождения

 

звезды

 

над

 

горизонтом

 

составит

 11

ч

58

м

, 

разница

 

долгот

 

пунктов

 A 

и

 B – 3

м

 

или

 

0.75

°

, 

расстояние

 

составит

 40 

км

. 

Участник

 

может

 

брать

 

несколько

 

иные

 

значения

 

рефракции

, 

приводящие

 

к

 

сдвигу

 

времени

 

восхода

/

захода

 

звезды

 

от

 4 

до

 5 

минут

. 

Это

 

меняет

 

разницу

 

долгот

 

пунктов

 A 

и

 B 

на

 

±

1 

минуту

, 

что

 

соответствует

 

изменению

 

расстояния

 

на

 13-

14 

км

, 

не

 

влияя

 

на

 

оценку

.  

 

Возможная

 

ошибка

 

при

 

учете

 

фактора

:

 

опускание

 

множителя

 2 

при

 

вычислении

 

увеличения

 

времени

 

наблюдения

 

звезды

 

за

 

счет

 

рефракции

 

из

-

за

 a) 

учета

 

широты

 

места

; 

б

) 

учета

 

как

 

восхода

, 

так

 

и

 

захода

 

звезды

. 

В

 

таком

 

случае

 

время

 

нахождения

 

звезды

 

над

 

горизонтом

 

уменьшается

 

до

 12

ч

02

м

-12

ч

03

м

, 

разница

 

долгот

 – 7-8 

минут

, 

расстояние

 – 100-

110 

км

. 

В

 

этом

 

случае

 

за

 

учет

 

фактора

 2 

ставится

 1 

балл

. 

Если

 

делаются

 

обе

 

ошибки

, 

и

 

фактор

 

рефракции

 

занижается

 

в

 4 

раза

 – 

этап

 

не

 

засчитывается

. 

 

Фактор

 3 (2 

балла

).

 

Учет

 

уменьшения

 

длины

 

параллели

 

на

 

Земле

 

при

 

удалении

 

от

 

экватора

. 

Если

 

его

 

опустить

, 

то

 

расстояние

 

между

 

пунктами

 A 

и

 B 

увеличивается

 

в

 2 

раза

 

до

 330 

км

.  

 

 

11

Фактор

 4 (1 

балл

). 

Вычисление

 

окончательного

 

расстояния

. 

Ошибки

, 

сделанные

 

на

 

предыдущих

 

этапах

, 

не

 

влияют

 

на

 

оценивание

 

финального

 

этапа

, 

если

 

в

 

итоге

 

не

 

получается

 

абсурдная

 

величина

 (

см

. 

выше

). 

 

 
2. 

Условие

.

 30 

октября

 2021 

года

 

планета

 

Венера

 

оказалась

 

в

 

наибольшей

 

восточной

 

элонгации

 

в

 

небе

 

Земли

, 

а

 

сама

 

Земля

 – 

в

 

наибольшей

 

западной

 

элонгации

 

в

 

небе

 

Сатурна

. 

Какая

 

из

 

планет

 – 

Венера

 

или

 

Сатурн

 – 

после

 

этого

 

раньше

 

вступит

 

в

 

соединение

 (

любое

) 

с

 

Солнцем

 

в

 

небе

 

Земли

 

и

 

на

 

сколько

 

времени

? 

Орбиты

 

всех

 

планет

 

считать

 

круговыми

 

и

 

лежащими

 

в

 

одной

 

плоскости

.  

 

2. 

Решение

.

 

Изобразим

 

положение

 

всех

 

трех

 

планет

 

на

 

своих

 

орбитах

 

в

 

указанный

 

день

: 

 

γ

Сатурн

r

1

β

1

β

2

r

2

r

0

 

 

Коль

 

скоро

 

Земля

 

оказалась

 

в

 

наибольшей

 

западной

 

элонгации

 

при

 

наблюдении

 

с

 

Сатурна

, 

угол

  «

Солнце

 – 

Земля

 – 

Сатурн

» 

составляет

 90°, 

то

 

есть

 

Сатурн

 

при

 

наблюдении

 

с

 

Земли

 

находится

 

в

 

квадратуре

, 

причем

 

в

 

восточной

. 

Венера

 

при

 

наблюдении

 

с

 

Земли

 

также

 

располагается

 

к

 

востоку

 

от

 

Солнца

. 

Угол

 «

Солнце

 – 

Венера

 – 

Земля

» 

также

 

равен

 90°. 

Венера

 

отстает

 

от

 

Земли

 

в

 

своем

 

орбитальном

 

движении

 

на

 

угол

 

 

β

1

 = arccos (

r

1

/

r

0

) = 43.7°. 

 

Здесь

 

r

0

 

и

 

r

1

 – 

радиусы

 

орбит

 

Земли

 

и

 

Венеры

. 

Постепенно

 

Венера

, 

как

 

внутренняя

 

планета

, 

будет

 

догонять

 

Землю

, 

и

 

этот

 

угол

 

будет

 

уменьшаться

. 

Если

 

перейти

 

в

 

систему

 

отсчета

, 

связанную

 

с

 

направлением

 «

Солнце

-

Земля

», 

то

 

Венера

 

будет

 

совершать

 

в

 

ней

 

полный

 

круг

 

с

 

синодическим

 

периодом

 

S

1

 = 583.9 

сут

. 

Таким

 

образом

, 

время

 

до

 

ближайшего

 

нижнего

 

соединения

 

Венеры

 

с

 

Солнцем

 

равно

 

 

T

1

 = 

S

1

 

β

1

 / 360° = 71 

сут

. 

 

В

 

случае

 

Сатурна

 

ситуация

 

несколько

 

иная

 – 

Земля

 

уже

 

опережает

 

его

 

в

 

своем

 

движении

 

по

 

орбите

 

и

 

продолжает

 

удаляться

. 

Соединение

 

Сатурна

 

и

 

Солнца

 

в

 

небе

 

Земли

 

наступит

, 

когда

 

Земля

 

и

 

Сатурн

 

окажутся

 

с

 

разных

 

сторон

 

от

 

Солнца

. 

Для

 

этого

 

разность

 

их

 

долгот

 

должна

 

возрасти

 

на

 

угол

 

β

2

 = 180° – arccos (

r

0

/

r

2

) = 96.0°. 

 

Здесь

 

r

2

 – 

радиус

 

орбиты

 

Сатурна

. 

Обозначив

 

синодический

 

период

 

Сатурна

 (378.1 

суток

) 

через

 

S

2

, 

найдем

 

время

, 

оставшееся

 

до

 

его

 

соединения

 

с

 

Солнцем

: 

 

T

2

 = 

S

2

 

β

2

 / 360° = 101 

сут

. 

 

12

 

В

 

итоге

, 

нижнее

 

соединение

 

Венеры

 

произойдет

 

на

 30 

дней

 

раньше

 

соединения

 

Сатурна

. 

В

 

реальности

, 

нижнее

 

соединение

 

Венеры

 

действительно

 

наступает

 9 

января

 2022 

года

, 

через

 

71 

дней

 

после

 

ситуации

, 

описанной

 

в

 

условии

 

задачи

, 

а

 

соединение

 

Сатурна

 – 4 

февраля

, 

через

 97 

дней

. 

Различие

 

связано

 

с

 

эллиптичностью

 

орбит

 

планет

. 

 

2. 

Система

 

оценивания

. 

1 

этап

 (2 

балла

):

 

Правильное

 

текстовое

 

или

 

графическое

 

описание

 

взаимной

 

конфигурации

 

Земли

 

и

 

Венеры

 (1 

балл

) 

и

 

Земли

 

и

 

Сатурна

 (1 

балл

).  

 

2 

этап

 (4 

балла

):

 

Определение

 

величин

, 

на

 

которые

 

должны

 

измениться

 

разности

 

долгот

 

Венеры

 

и

 

Земли

 (2 

балла

) 

и

 

Земли

 

и

 

Сатурна

 (2 

балла

), 

чтобы

 

наступили

 

соединения

, 

в

 

численном

 

или

 

аналитическом

 

виде

. 

Требуемая

 

точность

 – 1°.  

 

Вероятная

 

ошибка

 

участника

:

 

неверная

 

интерпретация

 

понятия

 

соединения

, 

что

 

может

 

изменить

 

искомые

 

величины

 

на

 180°: 

поиск

 

момента

 

верхнего

 

соединения

 

Венеры

 

либо

 

противостояния

 

Сатурна

. 

В

 

этом

 

случае

 

не

 

засчитывается

 

часть

 

этапа

, 

соответствующая

 

данной

 

планете

, 

и

 

следующий

 

этап

.  

 

Вероятная

 

ошибка

 

участника

:

 

вместо

 

угла

 

β

2

 

находится

 

его

 

дополнение

 

до

 180° (84°), 

что

 

приближает

 

соединение

 

Сатурна

 

на

 13 

дней

. 

В

 

этом

 

случае

 

не

 

засчитывается

 

часть

 

данного

 

этапа

, 

связанная

 

с

 

Сатурном

, 

последующий

 

этап

 

засчитывается

 

наполовину

. 

 

3 

этап

 (2 

балла

):

 

определение

 

разницы

 

времен

 

до

 

ближайших

 

соединений

 

Венеры

 

и

 

Сатурна

 

с

 

Солнцем

. 

Этап

 

проще

 

всего

 

выполнить

, 

используя

 

величины

 

синодических

 

периодов

 

обеих

 

планет

, 

приведенные

 

в

 

справочных

 

данных

, 

можно

 

также

 

производить

 

вычисления

 

через

 

орбитальные

 

периоды

. 

Требуемая

 

точность

 – 1 

сутки

, 

при

 

правильной

 

очередности

 

(

соединение

 

Венеры

 

происходит

 

раньше

). 

 

 
3. 

Условие

.

 

Двойная

 

система

 

состоит

 

из

 

одинаковых

 

звезд

, 

идентичных

 

Солнцу

 

и

 

обращающихся

 

по

 

круговым

 

орбитам

 

на

 

расстоянии

 1 

а

.

е

. 

друг

 

от

 

друга

. 

В

 

результате

 

близкого

 

пролета

 

еще

 

одной

 

такой

 

же

 

звезды

 

система

 

распалась

, 

все

 

три

 

звезды

 

навсегда

 

покинули

 

окрестности

 

друг

 

друга

. 

Определите

 

минимальную

 

скорость

 

третьей

 

звезды

 

относительно

 

центра

 

двойной

 

системы

 

до

 

сближения

.  

 

3. 

Решение

. 

Обозначим

 

массы

 

каждой

 

звезды

 

как

 

M

, 

расстояние

 

между

 

ними

 – 

a

. 

Каждая

 

из

 

них

 

движется

 

по

 

окружности

 

радиусом

 

a

/2 

со

 

скоростью

 

v

0

, 

для

 

которой

 

справедливо

 

соотношение

: 

 

.

2

;

2

0

2

0

2

2

a

GM

v

a

M v

 

a

GM

=

=

 

 

Полная

 

энергия

 

двойной

 

системы

 

равна

 

 

 

.

2

2

2

2

2

2

0

0

a

GM

a

GM

M v

 

E

−

=

−

⋅

=

 

 

Третья

 

звезда

 

до

 

сближения

 

не

 

взаимодействует

 

с

 

двойной

 

системой

 

и

 

имеет

 

скорость

 

v

. 

Тем

 

самым

, 

энергия

 

системы

 

из

 

трех

 

звезд

 

в

 

системе

 

отсчета

, 

связанной

 

с

 

положением

 

центра

 

масс

 

двойной

 

системы

 

до

 

сближения

 

с

 

третьей

 

звездой

, 

есть

 

 

 

13

.

2

2

2

2

a

GM

M v

 

E

−

=

 

 

Нас

 

интересует

 

минимальное

 

значение

 

скорости

 

v

, 

при

 

котором

 

система

 

распадется

, 

то

 

есть

 

у

 

звезд

 

не

 

останется

 

потенциальной

 

энергии

 

взаимодействия

 

друг

 

с

 

другом

. 

Однако

, 

в

 

данной

 

системе

 

отсчета

 

полная

 

кинетическая

 

энергия

 

движения

 

трех

 

звезд

 

не

 

может

 

обратиться

 

в

 

ноль

, 

так

 

как

 

ее

 

центр

 

масс

 

системы

 

из

 

всех

 

трех

 

звезд

 

движется

 

со

 

скоростью

 

v

/3, 

и

 

эта

 

скорость

 

не

 

может

 

измениться

 

в

 

результате

 

взаимодействия

. 

Наименьшая

 

кинетическая

 

энергия

 

системы

 

после

 

взаимодействия

 

будет

 

в

 

том

 

случае

, 

если

 

все

 

звезды

 

на

 

большом

 

расстоянии

 

друг

 

от

 

друга

 

будут

 

иметь

 

скорость

 

v

/3. 

Тогда

 

мы

 

можем

 

записать

 

закон

 

сохранения

 

полной

 

энергии

: 

 

 

.

6

2

)

3

/

(

3

2

2

2

2

2

2

M v

 

v

M

a

GM

M v

 

=

⋅

=

−

 

 

Отсюда

 

мы

 

получаем

 

выражение

 

для

 

минимальной

 

скорости

 

третьей

 

звезды

 

до

 

взаимодействия

: 

 

.

/

5

.

36

3

2

3

0

c

км

v

a

GM

v

=

=

=

 

 

Вероятные

 

потери

 

энергии

 

при

 

взаимодействии

 

звезд

 

могут

 

привести

 

только

 

к

 

увеличению

 

требуемой

 

для

 

распада

 

системы

 

скорости

 

звезды

, 

поэтому

 

полученное

 

значение

 

действительно

 

является

 

минимальным

. 

 

3. 

Система

 

оценивания

. 

При

 

проверке

 

необходимо

 

учитывать

, 

что

 

решение

 

может

 

вестись

 

как

 

в

 

системе

 

отсчета

, 

связанной

 

с

 

центром

 

масс

 

двойной

 

системы

 

до

 

взаимодействия

, 

как

 

сделано

 

выше

, 

так

 

и

 

в

 

системе

 

отсчета

, 

связанной

 

с

 

общим

 

центром

 

масс

 

всех

 

звезд

, 

оба

 

подхода

 

в

 

равной

 

степени

 

обоснованы

. 

 

1 

этап

 (2 

балла

).

 

Выражение

 

для

 

полной

 

энергии

 

системы

 

до

 

взаимодействия

. 

Предложенный

 

выше

 

ход

 

решения

 

наиболее

 

полный

, 

участники

 

олимпиады

 

вправе

 

сразу

 

написать

, 

что

 

полная

 

энергия

 

системы

 

из

 

двух

 

звезд

 

есть

 –

GM

2

/2

a

, 

как

 

общеизвестный

 

факт

.  

 

2 

этап

 (4 

балла

).

 

Выражение

 

для

 

минимальной

 

полной

 

энергии

 

системы

 

после

 

взаимодействия

.  

Вероятная

 

ошибка

 

участника

:

 

решение

 

ведется

 

в

 

системе

 

отсчета

, 

связанной

 

с

 

изначальным

 

центром

 

двойной

 

системы

, 

а

 

минимальная

 

полная

 

энергия

 

после

 

взаимодействия

 

считается

 

равным

 

нулю

, 

что

 

противоречит

 

закону

 

сохранения

 

импульса

. 

Это

 

приводит

 

к

 

ответу

 

без

 

коэффициента

 3/2 

под

 

знаком

 

корня

 

и

 

численному

 

значению

 29.8 

км

/

с

. 

В

 

этом

 

случае

 

второй

 

этап

 

решения

 

не

 

засчитывается

 

полностью

 (0 

баллов

), 

третий

 

этап

 

оценивается

, 

исходя

 

из

 

правильности

 

его

 

выполнения

 (

максимум

 

за

 

решение

 – 4 

балла

). 

 

3 

этап

 (2 

балла

).

 

Вычисление

 

минимальной

 

скорости

 

звезды