Математика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2022-2023 год)

11 класс

Вариант 11.1.1.

В корзине лежит

яблоко:

зелёных,

жёлтых и

красных. Алёна

последовательно достаёт из корзины по одному яблоку. Если в какой-то момент она сум-
марно вытащит зелёных яблок меньше, чем жёлтых, а жёлтых — меньше, чем красных,
то больше яблок из корзины она доставать не будет.

(а)

(1 балл)

Какое наибольшее количество жёлтых яблок сможет достать Алёна из кор-

зины?

(б)

(3 балла)

Какое наибольшее количество яблок сможет достать Алёна из корзины?

Ответ:

(а)

яблок.

(б)

яблок.

Вариант 11.1.2.

В корзине лежит

яблок:

зелёных,

жёлтых и

красных. Алёна

(а)

(1 балл)

Какое наибольшее количество жёлтых яблок сможет достать Алёна из кор-

зины?

(б)

(3 балла)

Какое наибольшее количество яблок сможет достать Алёна из корзины?

Ответ:

(а)

яблок.

(б)

яблок.

Вариант 11.1.3.

В корзине лежит

яблок:

зелёных,

жёлтых и

красных. Алёна

(а)

(1 балл)

Какое наибольшее количество жёлтых яблок сможет достать Алёна из кор-

зины?

(б)

(3 балла)

Какое наибольшее количество яблок сможет достать Алёна из корзины?

Ответ:

(а)

яблок.

(б)

яблока.

Вариант 11.1.4.

В корзине лежит

яблока:

зелёных,

жёлтых и

красных. Алёна

(а)

(1 балл)

Какое наибольшее количество жёлтых яблок сможет достать Алёна из кор-

зины?

(б)

(3 балла)

Какое наибольшее количество яблок сможет достать Алёна из корзины?

Ответ:

(а)

яблок.

(б)

яблока.

Вариант 11.2.1.

В зоопарк для кормления трёх обезьян привезли апельсины, бананы и

кокосы, фруктов всех трёх видов было поровну. Первую обезьяну кормили только апель-

синами и бананами, причём бананов было на

40%

больше, чем апельсинов. Вторую кор-

мили только бананами и кокосами, причём кокосов было на

25%

больше, чем бананов.

А третью кормили только кокосами и апельсинами, причём апельсинов было в

раза

больше, чем кокосов. Обезьяны съели все привезённые фрукты.

Пусть первая обезьяна съела

𝑎

апельсинов, а третья обезьяна съела

𝑏

апельсинов. Найди-

те

𝑎/𝑏

Ответ:

1/2

Вариант 11.2.2.

В зоопарк для кормления трёх обезьян привезли апельсины, бананы и

кокосы, фруктов всех трёх видов было поровну. Первую обезьяну кормили только апель-
синами и бананами, причём бананов было на

40%

больше, чем апельсинов. Вторую кор-

мили только бананами и кокосами, причём кокосов было на

25%

больше, чем бананов.

А третью кормили только кокосами и апельсинами, причём апельсинов было в

раза

больше, чем кокосов. Обезьяны съели все привезённые фрукты.

Пусть первая обезьяна съела

𝑎

бананов, а вторая обезьяна съела

𝑏

бананов. Найдите

𝑎/𝑏

Ответ:

7/8

Вариант 11.2.3.

В зоопарк для кормления трёх обезьян привезли апельсины, бананы и

60%

больше, чем апельсинов. Вторую кор-

мили только бананами и кокосами, причём кокосов было на

25%

больше, чем бананов.

А третью кормили только кокосами и апельсинами, причём апельсинов было в

раза

больше, чем кокосов. Обезьяны съели все привезённые фрукты.

Пусть первая обезьяна съела

𝑎

апельсинов, а третья обезьяна съела

𝑏

апельсинов. Найди-

те

𝑎/𝑏

Ответ:

1/3

Вариант 11.2.4.

В зоопарк для кормления трёх обезьян привезли апельсины, бананы и

60%

больше, чем апельсинов. Вторую кор-

мили только бананами и кокосами, причём кокосов было на

25%

больше, чем бананов.

А третью кормили только кокосами и апельсинами, причём апельсинов было в

раза

больше, чем кокосов. Обезьяны съели все привезённые фрукты.

Пусть первая обезьяна съела

𝑎

бананов, а вторая обезьяна съела

𝑏

бананов. Найдите

𝑎/𝑏

Ответ:

2/3

Вариант 11.3.1.

Многочлен

𝐺(𝑥)

с действительными коэффициентами принимает зна-

чение

2022

ровно в пяти различных точках

𝑥

< 𝑥

. Известно, что график

Вариант 11.4.2.

На горизонтальном полу лежат три волейбольных мяча радиусом

, по-

парно касающиеся друг друга. Сверху положили теннисный мяч радиусом

, касающийся

всех трёх волейбольных мячей. Найдите расстояние от верхней точки теннисного мяча
до пола. (Все мячи имеют форму шара.)

Ответ:

Вариант 11.4.3.

На горизонтальном полу лежат три волейбольных мяча радиусом

, по-

парно касающиеся друг друга. Сверху положили теннисный мяч радиусом

, касающийся

Ответ:

Вариант 11.4.4.

На горизонтальном полу лежат три волейбольных мяча радиусом

, по-

парно касающиеся друг друга. Сверху положили теннисный мяч радиусом

, касающийся

Ответ:

Вариант 11.5.1.

Юра и Яша играют в следующую игру, делая ходы по очереди. Первым

ходит Юра.

Изначально на доске написано число

𝑛

. Игрок в свой ход может прибавить к числу на

доске любой его натуральный делитель, стереть старое число и записать новое. (Напри-
мер, если на доске написано число

, то можно его стереть и написать одно из чисел

13, 14, 15, 16, 18, 24

Рассмотрим все возможные натуральные значения

𝑛

от

до

включительно.

(а)

(2 балла)

Для скольких из них Юра имеет выигрышную стратегию, если

проигры-

вает

тот, кто получит после своего хода число, не меньшее

(б)

(2 балла)

Для скольких из них Юра имеет выигрышную стратегию, если

побеждает

тот, кто получит после своего хода число, не меньшее

Ответ:

(а)

(б)

Вариант 11.5.2.

Юра и Яша играют в следующую игру, делая ходы по очереди. Первым

ходит Юра.

Изначально на доске написано число

𝑛

. Игрок в свой ход может прибавить к числу на

, то можно его стереть и написать одно из чисел

13, 14, 15, 16, 18, 24

Рассмотрим все возможные натуральные значения

𝑛

от

до

включительно.

(а)

(2 балла)

Для скольких из них Юра имеет выигрышную стратегию, если

проигры-

вает

тот, кто получит после своего хода число, не меньшее

(б)

(2 балла)

Для скольких из них Юра имеет выигрышную стратегию, если

побеждает

тот, кто получит после своего хода число, не меньшее

Ответ:

(а)

(б)

Вариант 11.5.3.

Юра и Яша играют в следующую игру, делая ходы по очереди. Первым

ходит Юра.

Изначально на доске написано число

𝑛

. Игрок в свой ход может прибавить к числу на

, то можно его стереть и написать одно из чисел

13, 14, 15, 16, 18, 24

Рассмотрим все возможные натуральные значения

𝑛

от

до

включительно.

(а)

(2 балла)

Для скольких из них Юра имеет выигрышную стратегию, если

проигры-

вает

тот, кто получит после своего хода число, не меньшее

100

(б)

(2 балла)

Для скольких из них Юра имеет выигрышную стратегию, если

побеждает

тот, кто получит после своего хода число, не меньшее

100

Ответ:

(а)

(б)

Вариант 11.5.4.

Юра и Яша играют в следующую игру, делая ходы по очереди. Первым

ходит Юра.

Изначально на доске написано число

𝑛

. Игрок в свой ход может прибавить к числу на

, то можно его стереть и написать одно из чисел

13, 14, 15, 16, 18, 24

Рассмотрим все возможные натуральные значения

𝑛

от

до

119

включительно.

(а)

(2 балла)

Для скольких из них Юра имеет выигрышную стратегию, если

проигры-

вает

тот, кто получит после своего хода число, не меньшее

120

(б)

(2 балла)

Для скольких из них Юра имеет выигрышную стратегию, если

побеждает

тот, кто получит после своего хода число, не меньшее

120

Ответ:

(а)

(б)

Вариант 11.6.1.

Точка

𝑀

— середина основания

𝐵𝐶

трапеции

𝐴𝐵𝐶𝐷

. На основании

𝐴𝐷

выбрана точка

𝑃

. Луч

𝑃𝑀

пересекает луч

𝐷𝐶

в точке

𝑄

. Перпендикуляр к основанию

𝐴𝐷

проведённый через точку

𝑃

, пересекает отрезок

𝐵𝑄

в точке

𝐾

Известно, что

∠𝐾𝑄𝐷 = 64

∘

∠𝐾𝐷𝑄 = 38

∘

. Сколько градусов составляет угол

𝐾𝐵𝐶

Региональный этап, 2022–2023 учебный год. Первый день

Введение

Порядок проведения, методика и система оценивания

(проверки) регионального этапа Всероссийской олимпиады

школьников по математике 2022–2023 учебного года.

Региональный этап Всероссийской олимпиады школьников по ма-

тематике 2022–2023 учебного года проводится по заданиям, подготов-

ленным Центральной предметно-методической комиссией, в единые

для всех субъектов РФ сроки:

13 февраля 2023 г.

(I тур) и

14 фев-

раля 2023 г.

(II тур). Региональный этап проводится по отдельным

заданиям для учащихся 9, 10 и 11 классов.

Задания для каждого класса включают 10 задач — по 5 задач

в каждом из двух дней (туров) Олимпиады (задачи 1–5 — I тур, за-

дачи 6–10 — II тур). Продолжительность каждого тура для каждого

класса составляет 3 часа 55 минут.

В силу того, что во всех субъектах Российской Федерации ре-

гиональный этап проводится по одним и тем же заданиям, подго-

товленным Центральной предметно-методической комиссией, в целях

предотвращения преждевременного доступа к текстам заданий со сто-

роны участников Олимпиады, а также их учителей и наставников,

время начала и окончания туров в установленные даты в каждом

субъекте РФ должно определяться в соответствии с

«Временн ´

ыми

регламентами проведения туров регионального этапа Всерос-
сийской олимпиады школьников в субъектах Российской Фе-
дерации в 2022–2023 учебном году»

для часовых поясов.

Разбор задач в субъектах Российской Федерации, где тур окан-

чивается в 16.00 и 17.00 по местному времени, проводится не раньше,

чем на следующий день после проведения второго тура Олимпиады.

Решение каждой задачи оценивается целым числом баллов от 0

до 7. Максимальное количество баллов, которое может получить

участник, равно 70 (35 — I тур, 35 — II тур).

Задания математических олимпиад являются творческими, до-

пускают несколько различных вариантов решений. Кроме того, необ-

ходимо оценивать частичные продвижения в задачах (например, раз-

бор важного случая, доказательство вспомогательного утверждения,

нахождение примера и т. п.). Наконец, возможны логические и ариф-

метические ошибки в решениях. Окончательные баллы по задаче

должны учитывать вс¨е вышеперечисленное.

Проверка работ осуществляется в соответствии со следующими

правилами:

а) любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопу-

стимо снятие баллов за то, что решение слишком длинное, или за то,

что решение школьника отличается от привед¨енного в методических

разработках;

XLIX Всероссийская математическая олимпиада школьников

б) недопустимо снятие баллов в работе за неаккуратность записи

решений;

в) баллы не выставляются «за старание Участника», в том числе

за запись в работе большого по объ¨ему текста, не содержащего про-

движений в решении задачи;

г) черновики не проверяются.

В связи с необходимостью качественной оценки работ участников,

на их проверку выделяется до 7 дней.

Для единообразия оценки работ участников олимпиады из раз-

ных регионов и с целью исключения при этом ошибок, Центральная

предметно-методическая комиссия имеет право перепроверки работ

участников регионального этапа.

В случае отсутствия специальных критериев по задаче, е¨е реше-

ние оценивается по привед¨енной ниже таблице (отметим, что для ис-

ключения различий в оценке близких продвижений по задаче в ра-

ботах разных участников, таблица упрощена по сравнению с при-

вед¨енной в Требованиях по проведению регионального этапа).

Баллы

Правильность (ошибочность) решения

Полное верное решение.

6–7

Верное решение. Имеются небольшие недоч¨еты (не ло-

гические), в целом не влияющие на решение.

до 4

В задаче типа «Оценка

пример» доказана оценка.

до 3

В задаче типа «Оценка

пример» построен пример.

до 1

Рассмотрен важный случай при отсутствии решения.

Аналитическое (координатным или векторным мето-

дом) решение геометрической задачи, не довед¨енное до

конца.

Решение отсутствует. Решение неверное, продвижения

отсутствуют.

Ниже приведены ответы и решения к задачам олимпиады. В ком-

ментариях к задачам указаны критерии оценивания (в баллах) неко-

торых предполагаемых ошибок и частичных продвижений. Заметим,

что работа участника, помимо привед¨енных, может включать другие

содержательные продвижения и ошибки, которые должны быть оце-

нены дополнительно.

Желаем успешной работы!

Авторы и составители сборника

Региональный этап, 2022–2023 учебный год. Первый день

Условия и решения задач

9 класс

9.1. Велодорожка состоит из двух участков: сначала ид¨

ет асфальто-

вый, а затем песчаный. Петя и Вася стартовали порознь (снача-
ла Петя, а затем Вася), и каждый проехал всю дорожку. Ско-
рость каждого мальчика на каждом из двух участков была по-
стоянной. Оказалось, что они поравнялись в середине асфаль-
тового участка, а также в середине песчаного. Кто из мальчиков
затратил на всю дорожку меньше времени?

(

И. Богданов

)

Ответ.

Они затратили поровну времени.

Первое решение.

Между двумя моментами встречи каж-

дый мальчик проехал половину асфальтового и половину песча-
ного участков, и они затратили на это поровну времени. Значит,
на всю дорожку каждый из них затратил вдвое больше времени,
то есть тоже поровну.

XLIX Всероссийская математическая олимпиада школьников

Только ответ, подтвержд¨

енный вычислениями в каких-то

конкретных частных случаях — 1 балл.

9.2. Дан бумажный треугольник, длины сторон которого равны

см,

см и

см. Можно ли разрезать его на несколько (больше од-

ного) многоугольников, у каждого из которых площадь (изме-
ренная в см

) численно равна периметру (измеренному в см)?

(

Д. Храмцов

)

Ответ.

Нельзя.

Решение.

Многоугольник, у которого площадь (измерен-

ная в см

) численно равна периметру (измеренному в см), на-

зов¨

ем

хорошим

Заметим, что исходный треугольник — хороший: он прямо-

угольный с катетами 5 см и 12 см, поэтому его площадь рав-
на 30 см

и численно совпадает с его периметром, равным

5 + 12 + 13 = 30

см.

Если какой-то многоугольник

разбит на хорошие много-

угольники, то площадь

, равная сумме площадей всех мно-

гоугольников разбиения, совпала бы численно с суммой пери-
метров многоугольников разбиения. Но сумма этих периметров
больше периметра

(на удвоенную сумму длин общих частей

границ многоугольников разбиения). Получаем, что площадь

больше его периметра.

Значит, никакой хороший многоугольник, в том числе дан-

ный треугольник, нельзя разрезать на несколько (больше одно-
го) хороших многоугольников.

Комментарий.

Только замечено, что исходный треуголь-

ник хороший — 1 балл.

Показано только, что хороший многоугольник не разбива-

ется на хорошие — 5 баллов.

9.3. Дано натуральное число

. На клетчатой доске

расста-

вили

ладей так, что никакие две не стоят в одной горизонта-

ли или одной вертикали. После этого доску разрезали по лини-
ям сетки на две связных части, симметричных друг другу от-
носительно центра доски. Какое наибольшее количество ладей
могло оказаться в одной из частей? (Клетчатая фигура называ-
ется

связной

, если по этой фигуре от любой е¨

е клетки можно

XLIX Всероссийская математическая олимпиада школьников

, обозначенные в порядке обхода, то любой путь между

имеет общую клетку с любым пут¨

ем между

С использованием этого утверждения оценку можно прове-

сти по-разному. Например, из симметрии, есть

граничных от-

резков доски, принадлежащих одной части, и

принадлежа-

щих другой. Из соображения выше, каждые

отрезков обра-

зуют группу подряд идущих; значит, среди них есть все отрезки
какой-то стороны, и мы опять получаем, что в каждой части
есть одна из граничных линий (вертикаль или горизонталь).

Комментарий.

Только ответ — 0 баллов.

Только пример, когда

−

ладья находятся в одной ча-

сти — 2 балла.

Только оценка, доказывающая, что

ладей в одной части

быть не может — 5 баллов.

Соображение, выделенное курсивом в комментарии выше,

принимается

без

доказательства.

Региональный этап, 2022–2023 учебный год. Второй день

Введение

Порядок проведения, методика и система оценивания

(проверки) регионального этапа Всероссийской олимпиады

школьников по математике 2022–2023 учебного года.

Региональный этап Всероссийской олимпиады школьников по ма-

тематике 2022–2023 учебного года проводится по заданиям, подготов-

ленным Центральной предметно-методической комиссией, в единые

для всех субъектов РФ сроки:

13 февраля 2023 г.

(I тур) и

14 фев-

раля 2023 г.

(II тур). Региональный этап проводится по отдельным

заданиям для учащихся 9, 10 и 11 классов.

Задания для каждого класса включают 10 задач — по 5 задач

в каждом из двух дней (туров) Олимпиады (задачи 1–5 — I тур, за-

дачи 6–10 — II тур). Продолжительность каждого тура для каждого

класса составляет 3 часа 55 минут.

В силу того, что во всех субъектах Российской Федерации ре-

гиональный этап проводится по одним и тем же заданиям, подго-

товленным Центральной предметно-методической комиссией, в целях

предотвращения преждевременного доступа к текстам заданий со сто-

роны участников Олимпиады, а также их учителей и наставников,

время начала и окончания туров в установленные даты в каждом

субъекте РФ должно определяться в соответствии с

«Временн ´

ыми

для часовых поясов.

Разбор задач в субъектах Российской Федерации, где тур окан-

чивается в 16.00 и 17.00 по местному времени, проводится не раньше,

чем на следующий день после проведения второго тура Олимпиады.

Решение каждой задачи оценивается целым числом баллов от 0

до 7. Максимальное количество баллов, которое может получить

участник, равно 70 (35 — I тур, 35 — II тур).

Задания математических олимпиад являются творческими, до-

пускают несколько различных вариантов решений. Кроме того, необ-

ходимо оценивать частичные продвижения в задачах (например, раз-

бор важного случая, доказательство вспомогательного утверждения,

нахождение примера и т. п.). Наконец, возможны логические и ариф-

метические ошибки в решениях. Окончательные баллы по задаче

должны учитывать вс¨е вышеперечисленное.

Проверка работ осуществляется в соответствии со следующими

правилами:

а) любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопу-

стимо снятие баллов за то, что решение слишком длинное, или за то,

что решение школьника отличается от привед¨енного в методических

разработках;

XLIX Всероссийская математическая олимпиада школьников

б) недопустимо снятие баллов в работе за неаккуратность записи

решений;

в) баллы не выставляются «за старание Участника», в том числе

за запись в работе большого по объ¨ему текста, не содержащего про-

движений в решении задачи;

г) черновики не проверяются.

В связи с необходимостью качественной оценки работ участников,

на их проверку выделяется до 7 дней.

Для единообразия оценки работ участников олимпиады из раз-

ных регионов и с целью исключения при этом ошибок, Центральная

предметно-методическая комиссия имеет право перепроверки работ

участников регионального этапа.

В случае отсутствия специальных критериев по задаче, е¨е реше-

ние оценивается по привед¨енной ниже таблице (отметим, что для ис-

ключения различий в оценке близких продвижений по задаче в ра-

ботах разных участников, таблица упрощена по сравнению с при-

вед¨енной в Требованиях по проведению регионального этапа).

Баллы

Правильность (ошибочность) решения

Полное верное решение.

6–7

Верное решение. Имеются небольшие недоч¨еты (не ло-

гические), в целом не влияющие на решение.

до 4

В задаче типа «Оценка

пример» доказана оценка.

до 3

В задаче типа «Оценка

пример» построен пример.

до 1

Рассмотрен важный случай при отсутствии решения.

Аналитическое (координатным или векторным мето-

дом) решение геометрической задачи, не довед¨енное до

конца.

Решение отсутствует. Решение неверное, продвижения

отсутствуют.

Ниже приведены ответы и решения к задачам олимпиады. В ком-

ментариях к задачам указаны критерии оценивания (в баллах) неко-

торых предполагаемых ошибок и частичных продвижений. Заметим,

что работа участника, помимо привед¨енных, может включать другие

содержательные продвижения и ошибки, которые должны быть оце-

нены дополнительно.

Желаем успешной работы!

Авторы и составители сборника

Комментарий.

Только пример, показывающий, что при

любом

m >

неравенство выполнено не всегда — 2 балла.

Только доказательство того, что

= 1

удовлетворяет тре-

бованиям задачи — 5 баллов.

9.10. Куб

100

разбит на миллион единичных кубиков; в

каждом кубике расположена лампочка. Три грани большого ку-
ба, имеющие общую вершину, окрашены: одна красным, другая
синим, а третья зел¨

еным. Назов¨

ем

столбцом

набор из

100

куби-

ков, образующих блок

100

. У каждого из

30 000

столбцов

есть одна окрашенная торцевая клетка; в этой клетке стоит пе-
реключатель — нажатие на этот переключатель меняет состоя-
ние всех

100

лампочек в столбце (выключенная лампочка вклю-

чается, а включенная выключается). Изначально все лампочки
были выключены. Петя нажал на несколько переключателей,
получив ситуацию, в которой ровно

лампочек горят. Докажи-

те, что после этого Вася может нажать на несколько переклю-
чателей так, чтобы ни одна лампочка не горела, использовав не
более

100

переключателей с красной грани.

(

С. Кудря, И. Богданов

)

Решение.

Ясно, что результат нажатия нескольких пере-

ключателей не зависит от того, в каком порядке эти нажатия
были произведены — количество переключений каждой лампоч-
ки не зависит от этого порядка. В частности, можно считать,
что Петя использовал каждый переключатель не более одного
раза.

Весь куб разбивается на

100

сло¨

ев

, параллельных красной

грани. Каждый переключатель на некрасной грани переключа-
ет лампочки в одном слое, а каждый переключатель на красной
грани — по лампочке во всех

100

слоях.

Региональный этап, 2022–2023 учебный год. Первый день

Введение

Порядок проведения, методика и система оценивания

(проверки) регионального этапа Всероссийской олимпиады

школьников по математике 2022–2023 учебного года.

Региональный этап Всероссийской олимпиады школьников по ма-

тематике 2022–2023 учебного года проводится по заданиям, подготов-

ленным Центральной предметно-методической комиссией, в единые

для всех субъектов РФ сроки:

13 февраля 2023 г.

(I тур) и

14 фев-

раля 2023 г.

(II тур). Региональный этап проводится по отдельным

заданиям для учащихся 9, 10 и 11 классов.

Задания для каждого класса включают 10 задач — по 5 задач

в каждом из двух дней (туров) Олимпиады (задачи 1–5 — I тур, за-

дачи 6–10 — II тур). Продолжительность каждого тура для каждого

класса составляет 3 часа 55 минут.

В силу того, что во всех субъектах Российской Федерации ре-

гиональный этап проводится по одним и тем же заданиям, подго-

товленным Центральной предметно-методической комиссией, в целях

предотвращения преждевременного доступа к текстам заданий со сто-

роны участников Олимпиады, а также их учителей и наставников,

время начала и окончания туров в установленные даты в каждом

субъекте РФ должно определяться в соответствии с

«Временн ´

ыми

для часовых поясов.

Разбор задач в субъектах Российской Федерации, где тур окан-

чивается в 16.00 и 17.00 по местному времени, проводится не раньше,

чем на следующий день после проведения второго тура Олимпиады.

Решение каждой задачи оценивается целым числом баллов от 0

до 7. Максимальное количество баллов, которое может получить

участник, равно 70 (35 — I тур, 35 — II тур).

Задания математических олимпиад являются творческими, до-

пускают несколько различных вариантов решений. Кроме того, необ-

ходимо оценивать частичные продвижения в задачах (например, раз-

бор важного случая, доказательство вспомогательного утверждения,

нахождение примера и т. п.). Наконец, возможны логические и ариф-

метические ошибки в решениях. Окончательные баллы по задаче

должны учитывать вс¨е вышеперечисленное.

Проверка работ осуществляется в соответствии со следующими

правилами:

а) любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопу-

стимо снятие баллов за то, что решение слишком длинное, или за то,

что решение школьника отличается от привед¨енного в методических

разработках;

XLIX Всероссийская математическая олимпиада школьников

б) недопустимо снятие баллов в работе за неаккуратность записи

решений;

в) баллы не выставляются «за старание Участника», в том числе

за запись в работе большого по объ¨ему текста, не содержащего про-

движений в решении задачи;

г) черновики не проверяются.

В связи с необходимостью качественной оценки работ участников,

на их проверку выделяется до 7 дней.

Для единообразия оценки работ участников олимпиады из раз-

ных регионов и с целью исключения при этом ошибок, Центральная

предметно-методическая комиссия имеет право перепроверки работ

участников регионального этапа.

В случае отсутствия специальных критериев по задаче, е¨е реше-

ние оценивается по привед¨енной ниже таблице (отметим, что для ис-

ключения различий в оценке близких продвижений по задаче в ра-

ботах разных участников, таблица упрощена по сравнению с при-

вед¨енной в Требованиях по проведению регионального этапа).

Баллы

Правильность (ошибочность) решения

Полное верное решение.

6–7

Верное решение. Имеются небольшие недоч¨еты (не ло-

гические), в целом не влияющие на решение.

до 4

В задаче типа «Оценка

пример» доказана оценка.

до 3

В задаче типа «Оценка

пример» построен пример.

до 1

Рассмотрен важный случай при отсутствии решения.

Аналитическое (координатным или векторным мето-

дом) решение геометрической задачи, не довед¨енное до

конца.

Решение отсутствует. Решение неверное, продвижения

отсутствуют.

Ниже приведены ответы и решения к задачам олимпиады. В ком-

ментариях к задачам указаны критерии оценивания (в баллах) неко-

торых предполагаемых ошибок и частичных продвижений. Заметим,

что работа участника, помимо привед¨енных, может включать другие

содержательные продвижения и ошибки, которые должны быть оце-

нены дополнительно.

Желаем успешной работы!

Авторы и составители сборника

Математика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2022-2023 год) - часть 11