Математика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2022-2023 год) - часть 10

Ответ:

(а)

705

.

(б)

298,5

.

Вариант 9.2.3.

На сторонах

𝐴𝐵

и

𝐴𝐷

прямоугольника

𝐴𝐵𝐶𝐷

отмечены точки

𝑀

и

𝑁

соот-

ветственно. Известно, что

𝐴𝑁 = 3

,

𝑁𝐶 = 39

,

𝐴𝑀 = 10

,

𝑀𝐵 = 5

.

(а)

(1 балл)

Найдите площадь прямоугольника

𝐴𝐵𝐶𝐷

.

(б)

(3 балла)

Найдите площадь треугольника

𝑀𝑁𝐶

.

3

39

10

5

𝐴

𝐵

𝐶

𝐷

𝑀

𝑁

Ответ:

(а)

585

.

(б)

202,5

.

Вариант 9.2.4.

На сторонах

𝐴𝐵

и

𝐴𝐷

прямоугольника

𝐴𝐵𝐶𝐷

отмечены точки

𝑀

и

𝑁

соот-

ветственно. Известно, что

𝐴𝑁 = 9

,

𝑁𝐶 = 39

,

𝐴𝑀 = 10

,

𝑀𝐵 = 5

.

(а)

(1 балл)

Найдите площадь прямоугольника

𝐴𝐵𝐶𝐷

.

(б)

(3 балла)

Найдите площадь треугольника

𝑀𝑁𝐶

.

9

39

10

5

𝐴

𝐵

𝐶

𝐷

𝑀

𝑁

Ответ:

(а)

675

.

(б)

247,5

.

Вариант 9.3.1.

Натуральные числа

𝑎

и

𝑏

таковы, что

𝑎

делится на

𝑏 + 1

и

43

делится на

𝑎 + 𝑏

.

(а)

(1 балл)

Укажите любое возможное значение

𝑎

.

(б)

(3 балла)

Чему может быть равно

𝑏

? Укажите все возможные варианты.

Ответ:

(а)

любое из чисел

22

,

33

,

40

,

42

.

(б)

1

,

3

,

10

,

21

.

56

Вариант 9.3.2.

Натуральные числа

𝑎

и

𝑏

таковы, что

𝑎

делится на

𝑏 + 1

и

67

делится на

𝑎 + 𝑏

.

(а)

(1 балл)

Укажите любое возможное значение

𝑎

.

(б)

(3 балла)

Чему может быть равно

𝑏

? Укажите все возможные варианты.

Ответ:

(а)

любое из чисел

34

,

51

,

64

,

66

.

(б)

1

,

3

,

16

,

33

.

Вариант 9.4.1.

На доске нарисована пустая таблица

3×51

. Маша хочет заполнить её клет-

ки числами, руководствуясь следующими правилами:

• каждое из чисел

1, 2, 3, … , 153

должно присутствовать в таблице;

• в левой нижней клетке таблицы должно стоять число

1

;

• для любого натурального

𝑎 ⩽ 152

числа

𝑎

и

𝑎 + 1

должны стоять в соседних по

стороне клетках.

(а)

(1 балл)

Какое наибольшее число может стоять в клетке, соседней по стороне с чис-

лом

1

?

(б)

(3 балла)

Назовём клетку таблицы

хорошей,

если в ней может оказаться число

153

.

Сколько всего хороших клеток?

Ответ:

(а)

152

.

(б)

76

.

Вариант 9.4.2.

На доске нарисована пустая таблица

3×53

. Маша хочет заполнить её клет-

ки числами, руководствуясь следующими правилами:

• каждое из чисел

1, 2, 3, … , 159

должно присутствовать в таблице;

• в левой нижней клетке таблицы должно стоять число

1

;

• для любого натурального

𝑎 ⩽ 158

числа

𝑎

и

𝑎 + 1

должны стоять в соседних по

стороне клетках.

(а)

(1 балл)

Какое наибольшее число может стоять в клетке, соседней по стороне с чис-

лом

1

?

(б)

(3 балла)

Назовём клетку таблицы

хорошей,

если в ней может оказаться число

159

.

Сколько всего хороших клеток?

Ответ:

(а)

158

.

(б)

79

.

Вариант 9.4.3.

На доске нарисована пустая таблица

3×55

. Маша хочет заполнить её клет-

ки числами, руководствуясь следующими правилами:

• каждое из чисел

1, 2, 3, … , 165

должно присутствовать в таблице;

• в левой нижней клетке таблицы должно стоять число

1

;

57

• для любого натурального

𝑎 ⩽ 164

числа

𝑎

и

𝑎 + 1

должны стоять в соседних по

стороне клетках.

(а)

(1 балл)

Какое наибольшее число может стоять в клетке, соседней по стороне с чис-

лом

1

?

(б)

(3 балла)

Назовём клетку таблицы

хорошей,

если в ней может оказаться число

165

.

Сколько всего хороших клеток?

Ответ:

(а)

164

.

(б)

82

.

Вариант 9.4.4.

На доске нарисована пустая таблица

3×57

. Маша хочет заполнить её клет-

ки числами, руководствуясь следующими правилами:

• каждое из чисел

1, 2, 3, … , 171

должно присутствовать в таблице;

• в левой нижней клетке таблицы должно стоять число

1

;

• для любого натурального

𝑎 ⩽ 170

числа

𝑎

и

𝑎 + 1

должны стоять в соседних по

стороне клетках.

(а)

(1 балл)

Какое наибольшее число может стоять в клетке, соседней по стороне с чис-

лом

1

?

(б)

(3 балла)

Назовём клетку таблицы

хорошей,

если в ней может оказаться число

171

.

Сколько всего хороших клеток?

Ответ:

(а)

170

.

(б)

85

.

58

ты, в пятой —

55

конфет. За один ход сладкоежка может взять из одной коробки четыре

конфеты и разложить их по одной конфете в оставшиеся четыре коробки.

В любой момент сладкоежка может забрать конфеты из любой коробки и уйти. Какое
наибольшее количество конфет он сможет забрать?

Ответ:

159

.

Вариант 9.7.2.

Перед сладкоежкой лежат пять коробок с конфетами: в первой коробке

13

конфет, во второй —

26

конфет, в третьей —

39

конфет, в четвёртой —

52

конфеты, в

пятой —

65

конфет. За один ход сладкоежка может взять из одной коробки четыре кон-

феты и разложить их по одной конфете в оставшиеся четыре коробки.

В любой момент сладкоежка может забрать конфеты из любой коробки и уйти. Какое
наибольшее количество конфет он сможет забрать?

Ответ:

189

.

Вариант 9.7.3.

Перед сладкоежкой лежат пять коробок с конфетами: в первой коробке

17

конфет, во второй —

34

конфеты, в третьей —

51

конфета, в четвёртой —

68

конфет, в

пятой —

85

конфет. За один ход сладкоежка может взять из одной коробки четыре кон-

феты и разложить их по одной конфете в оставшиеся четыре коробки.

В любой момент сладкоежка может забрать конфеты из любой коробки и уйти. Какое
наибольшее количество конфет он сможет забрать?

Ответ:

249

.

Вариант 9.7.4.

Перед сладкоежкой лежат пять коробок с конфетами: в первой коробке

19

конфет, во второй —

38

конфет, в третьей —

57

конфет, в четвёртой —

76

конфет, в

пятой —

95

конфет. За один ход сладкоежка может взять из одной коробки четыре кон-

феты и разложить их по одной конфете в оставшиеся четыре коробки.

В любой момент сладкоежка может забрать конфеты из любой коробки и уйти. Какое
наибольшее количество конфет он сможет забрать?

Ответ:

279

.

Вариант 9.8.2.

Для действительных чисел

𝑥

и

𝑦

определим операцию

⋆

следующим об-

разом:

𝑥 ⋆ 𝑦 = 𝑥𝑦 + 5𝑦 − 3𝑥

.

Вычислите значение выражения

((… (((2022 ⋆ 2021) ⋆ 2020) ⋆ 2019) ⋆ …) ⋆ 2) ⋆ 1.

Ответ:

15

.

Вариант 9.8.3.

Для действительных чисел

𝑥

и

𝑦

определим операцию

⋆

следующим об-

разом:

𝑥 ⋆ 𝑦 = 𝑥𝑦 + 6𝑦 − 3𝑥

.

Вычислите значение выражения

((… (((2022 ⋆ 2021) ⋆ 2020) ⋆ 2019) ⋆ …) ⋆ 2) ⋆ 1.

Ответ:

18

.

Вариант 9.8.4.

Для действительных чисел

𝑥

и

𝑦

определим операцию

⋆

следующим об-

разом:

𝑥 ⋆ 𝑦 = 𝑥𝑦 + 7𝑦 − 3𝑥

.

Вычислите значение выражения

((… (((2022 ⋆ 2021) ⋆ 2020) ⋆ 2019) ⋆ …) ⋆ 2) ⋆ 1.

Ответ:

21

.

63

Задача 10.5.

Однажды зимой

43

ребёнка бросались снежками. Каждый из них бросил

ровно один снежок в кого-то другого. Известно, что:

• первый бросил снежок в того, кто бросил снежок во второго,

• второй бросил снежок в того, кто бросил снежок в третьего,

…

• сорок третий бросил снежок в того, кто бросил снежок в первого.

Какой номер у того, кто бросил снежок в третьего?

Ответ:

24

.

Решение.

Во-первых, заметим, что не только каждый бросил ровно один снежок, но и в

каждого бросили ровно один снежок. Действительно, из фразы «первый бросил снежок
в того, кто бросил снежок во второго» следует, что кто-то бросил снежок во второго; ана-
логично устанавливается, что в каждого бросили хотя бы один снежок. Но так как всего
снежков столько же, сколько детей, то в каждого должны были бросить ровно один сне-
жок.

Изобразим каждого ребёнка точкой; проведём из точки

𝐴

в точку

𝐵

стрелочку, если ре-

бёнок

𝐴

бросил снежок в

𝐵

. Так как в каждую точку ровно одна стрелочка входит и из

каждой ровно одна выходит, то стрелочки соединяются в один или несколько циклов.

Рассмотрим тот из циклов, который включает первого ребёнка. Пусть первый бросил сне-
жок в ребёнка с номером

𝑥

. Тогда ребёнок с номером

𝑥

бросил снежок во второго, вто-

рой — в ребёнка с номером

𝑥 + 1

и так далее. Таким образом, этот цикл устроен следую-

щим образом:

Задача 10.7.

Карлсон за один приём пищи может съесть не более

5

кг варенья. Если он

открывает новую банку варенья, то он обязан съесть её полностью за этот приём пищи.
(Карлсон не будет открывать новую банку, если ему придётся съесть более

5

кг варенья

вместе с только что съеденным.)

У Малыша есть несколько банок малинового варенья общей массой

50

кг, каждая из них

весит не более

1

кг. За какое наименьшее количество приёмов пищи Карлсон гарантиро-

ванно сможет съесть всё варенье?

Ответ:

12

.

Решение.

Докажем, что за 12 приёмов пищи Карлсон всегда сможет съесть всё варенье.

Будем раскладывать банки в кучки по следующему алгоритму. В каждую кучку (сначала
в первую, потом во вторую и так далее) будем класть банки по одной до тех пор, пока в
ней не станет больше чем

5

кг варенья. Последнюю банку, которую мы положим в кучку,

будем называть

лишней.

Поскольку у Малыша

50

кг варенья, всего таких кучек окажется

не более

10

.

Очевидно, что если из кучки убрать лишнюю банку, то всё остальное варенье Карлсон
сможет съесть за один приём пищи. То есть всё варенье, кроме лишних банок, Карлсон
съест за

10

приёмов пищи. А на лишние банки он потратит не более

2

приёмов пищи, так

как их не более

10

штук, и каждая из них весит не более

1

кг.

Другое построение примера.

Продемонстрируем, что Карлсон за один раз сможет съесть

хотя бы

25/6

кг варенья, если варенья осталось хотя бы такое количество.

Сначала будем выбирать банки по одной, пока не наберём в сумме больше

25/6

кг варе-

нья. Потом начнём возвращать выбранные банки по одной так, чтобы в сумме оставалось
не менее

25/6

кг варенья.

Предположим, что мы уже не можем вернуть ни одну из выбранных банок, но варенья в
них в сумме всё ещё больше

5

кг. Ясно, что тогда у нас осталось не менее

6

банок, и наи-

25

10 класс

Вариант 10.1.1. (а)

(2 балла)

Натуральное число

𝑛

меньше

120

. Какой наибольший оста-

ток может давать число

209

при делении на

𝑛

?

(б)

(2 балла)

Натуральное число

𝑛

меньше

90

. Какой наибольший остаток может давать

число

209

при делении на

𝑛

?

Ответ:

(а)

104

.

(б)

69

.

Вариант 10.1.2. (а)

(2 балла)

Натуральное число

𝑛

меньше

135

. Какой наибольший оста-

ток может давать число

239

при делении на

𝑛

?

(б)

(2 балла)

Натуральное число

𝑛

меньше

100

. Какой наибольший остаток может давать

число

239

при делении на

𝑛

?

Ответ:

(а)

119

.

(б)

79

.

Вариант 10.1.3. (а)

(2 балла)

Натуральное число

𝑛

меньше

150

. Какой наибольший оста-

ток может давать число

269

при делении на

𝑛

?

(б)

(2 балла)

Натуральное число

𝑛

меньше

110

. Какой наибольший остаток может давать

число

269

при делении на

𝑛

?

Ответ:

(а)

134

.

(б)

89

.

Вариант 10.1.4. (а)

(2 балла)

Натуральное число

𝑛

меньше

105

. Какой наибольший оста-

ток может давать число

179

при делении на

𝑛

?

(б)

(2 балла)

Натуральное число

𝑛

меньше

80

. Какой наибольший остаток может давать

число

179

при делении на

𝑛

?

Ответ:

(а)

89

.

(б)

59

.

Ответ:

6

,

7

.

Вариант 10.2.3.

Действительное число

𝑎

таково, что из двух уравнений

6 + |𝑥 − 2| = 𝑎

и

8 − |2𝑥 + 6| = 𝑎

одно имеет ровно один корень, а другое — ровно два корня. Чему может быть равно

𝑎

?

Укажите все возможные варианты.

Ответ:

6

,

8

.

Вариант 10.2.4.

Действительное число

𝑎

таково, что из двух уравнений

7 + |𝑥 − 2| = 𝑎

и

8 − |2𝑥 + 6| = 𝑎

одно имеет ровно один корень, а другое — ровно два корня. Чему может быть равно

𝑎

?

Укажите все возможные варианты.

Ответ:

7

,

8

.

Вариант 10.3.1.

На доске написаны натуральные числа

𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑

. Известно, что среди ше-

сти сумм

𝑎 + 𝑏, 𝑏 + 𝑐, 𝑐 + 𝑑, 𝑑 + 𝑎, 𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑

три равны

23

, а три других равны

34

.

(а)

(1 балл)

Чему равно

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑

?

(б)

(3 балла)

Чему равно наименьшее из чисел

𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑

?

Ответ:

(а)

57

.

(б)

6

.

Вариант 10.3.2.

На доске написаны натуральные числа

𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑

. Известно, что среди ше-

сти сумм

𝑎 + 𝑏, 𝑏 + 𝑐, 𝑐 + 𝑑, 𝑑 + 𝑎, 𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑

три равны

23

, а три других равны

32

.

(а)

(1 балл)

Чему равно

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑

?

(б)

(3 балла)

Чему равно наименьшее из чисел

𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑

?

Ответ:

(а)

55

.

(б)

7

.

Вариант 10.3.3.

На доске написаны натуральные числа

𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑

. Известно, что среди ше-

сти сумм

𝑎 + 𝑏, 𝑏 + 𝑐, 𝑐 + 𝑑, 𝑑 + 𝑎, 𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑

три равны

23

, а три других равны

30

.

(а)

(1 балл)

Чему равно

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑

?

(б)

(3 балла)

Чему равно наименьшее из чисел

𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑

?

65

Вариант

 

10.5.1.

 

Однажды

 

зимой

 

43

 

ребёнка

 

бросались

 

снежками.

 

Каждый

 

из

 

них

 

бросил

 

ровно

 

один

 

снежок

 

в

 

кого-то

 

другого.

 

Известно,

 

что:

• первый бросил снежок в того, кто бросил снежок во второго,

• второй бросил снежок в того, кто бросил снежок в третьего,

…

• сорок третий бросил снежок в того, кто бросил снежок в первого.

Какой номер у того, кто бросил снежок в третьего?

Ответ:

24

.

67

Вариант 10.5.2.

Однажды зимой

43

ребёнка бросались снежками. Каждый из них бросил

ровно один снежок в кого-то другого. Известно, что:

• первый бросил снежок в того, кто бросил снежок во второго,

• второй бросил снежок в того, кто бросил снежок в третьего,

…

• сорок третий бросил снежок в того, кто бросил снежок в первого.

Какой номер у того, кто бросил снежок в четвёртого?

Ответ:

25

.

Вариант 10.5.3.

Однажды зимой

43

ребёнка бросались снежками. Каждый из них бросил

ровно один снежок в кого-то другого. Известно, что:

• первый бросил снежок в того, кто бросил снежок во второго,

• второй бросил снежок в того, кто бросил снежок в третьего,

…

• сорок третий бросил снежок в того, кто бросил снежок в первого.

Какой номер у того, кто бросил снежок в пятого?

Ответ:

26

.

Вариант 10.5.4.

Однажды зимой

43

ребёнка бросались снежками. Каждый из них бросил

ровно один снежок в кого-то другого. Известно, что:

• первый бросил снежок в того, кто бросил снежок во второго,

• второй бросил снежок в того, кто бросил снежок в третьего,

…

• сорок третий бросил снежок в того, кто бросил снежок в первого.

Какой номер у того, кто бросил снежок в шестого?

Ответ:

27

.

Ответ:

(а)

любое из чисел

14

,

26

,

182

.

(б)

24

.

Ответ:

(а)

любое из чисел

12

,

22

,

132

.

(б)

18

.

Вариант 10.7.1.

Карлсон за один приём пищи может съесть не более

5

кг варенья. Если

он открывает новую банку варенья, то он обязан съесть её полностью за этот приём пищи.
(Карлсон не будет открывать новую банку, если ему придётся съесть более

5

кг варенья

вместе с только что съеденным.)

У Малыша есть несколько банок малинового варенья общей массой

50

кг, каждая из них

весит не более

1

кг. За какое наименьшее количество приёмов пищи Карлсон гарантиро-

ванно сможет съесть всё варенье?

Ответ:

12

.

Вариант 10.7.2.

Карлсон за один приём пищи может съесть не более

5

кг варенья. Если

он открывает новую банку варенья, то он обязан съесть её полностью за этот приём пищи.
(Карлсон не будет открывать новую банку, если ему придётся съесть более

5

кг варенья

вместе с только что съеденным.)

У Малыша есть несколько банок малинового варенья общей массой

75

кг, каждая из них

весит не более

1

кг. За какое наименьшее количество приёмов пищи Карлсон гарантиро-

ванно сможет съесть всё варенье?

69

Ответ:

18

.

Вариант 10.7.3.

Карлсон за один приём пищи может съесть не более

6

кг варенья. Если

он открывает новую банку варенья, то он обязан съесть её полностью за этот приём пищи.
(Карлсон не будет открывать новую банку, если ему придётся съесть более

6

кг варенья

вместе с только что съеденным.)

У Малыша есть несколько банок малинового варенья общей массой

72

кг, каждая из них

весит не более

1

кг. За какое наименьшее количество приёмов пищи Карлсон гарантиро-

ванно сможет съесть всё варенье?

Ответ:

14

.

Вариант 10.7.4.

Карлсон за один приём пищи может съесть не более

6

кг варенья. Если

он открывает новую банку варенья, то он обязан съесть её полностью за этот приём пищи.
(Карлсон не будет открывать новую банку, если ему придётся съесть более

6

кг варенья

вместе с только что съеденным.)

У Малыша есть несколько банок малинового варенья общей массой

108

кг, каждая из них

весит не более

1

кг. За какое наименьшее количество приёмов пищи Карлсон гарантиро-

ванно сможет съесть всё варенье?

Ответ:

21

.

70

11 класс

Задача 11.1.

В корзине лежит

41

яблоко:

10

зелёных,

13

жёлтых и

18

красных. Алёна по-

следовательно достаёт из корзины по одному яблоку. Если в какой-то момент она сум-
марно вытащит зелёных яблок меньше, чем жёлтых, а жёлтых — меньше, чем красных,
то больше яблок из корзины она доставать не будет.

(а)

(1 балл)

Какое наибольшее количество жёлтых яблок сможет достать Алёна из кор-

зины?

(б)

(3 балла)

Какое наибольшее количество яблок сможет достать Алёна из корзины?

Ответ:

(а)

13

яблок.

(б)

39

яблок.

Решение.

(а)

Алёна сможет достать из корзины все

13

жёлтых яблок, например, если

первые

13

яблок окажутся жёлтыми. Так как ни в какой момент жёлтых яблок не ста-

новится меньше, чем красных, Алёна действительно сможет это сделать.

(б)

Покажем, что Алёна может достать все яблоки, кроме двух жёлтых. Пусть для этого

она достаёт сначала

10

зелёных, потом

18

красных, а потом

11

жёлтых. Заметим, что пока

жёлтых не станет

11

, условие о том, что зелёных яблок меньше, чем жёлтых, выполняться

не будет. Таким образом, Алёна действительно сможет достать

39

яблок.

Теперь докажем, что больше

39

яблок Алёна достать не сможет. Предположим противное:

Алёна в какой-то момент смогла достать

40

яблок. Перед тем, как доставать

40

-е яблоко,

жёлтых яблок у неё уже не менее

11

. Зелёных яблок к этому моменту она вытащила не

более

10

, поэтому первое условие точно выполнено. С другой стороны, жёлтых яблок к

этому моменту она вытащила не более

13

, а красных — не менее

16

, поэтому и второе

условие тоже точно выполнено. Но тогда доставать 40-е яблоко она не будет, противоре-
чие.

Задача 11.2.

В зоопарк для кормления трёх обезьян привезли апельсины, бананы и коко-

сы, фруктов всех трёх видов было поровну. Первую обезьяну кормили только апельсина-
ми и бананами, причём бананов было на

40%

больше, чем апельсинов. Вторую кормили

только бананами и кокосами, причём кокосов было на

25%

больше, чем бананов. А тре-

тью кормили только кокосами и апельсинами, причём апельсинов было в

2

раза больше,

чем кокосов. Обезьяны съели все привезённые фрукты.

Пусть первая обезьяна съела

𝑎

апельсинов, а третья обезьяна съела

𝑏

апельсинов. Найди-

те

𝑎/𝑏

.

Ответ:

1/2

.

Решение.

Пусть первая обезьяна съела

𝑥

 апельсинов, вторая обезьяна съела

𝑦

кокосов, а

третья обезьяна съела

𝑧

кокосов. Тогда первая обезьяна съела

1,4𝑥

бананов; вторая обе-

зьяна съела

1,25𝑦

кокосов; третья обезьяна съела

2𝑧

апельсинов. Поскольку всех фруктов

съедено поровну, имеем

𝑥 + 2𝑧 = 1,4𝑥 + 𝑦 = 1,25𝑦 + 𝑧.

28

Рис. 10: к решению задачи 

11.4

Изначально на доске написано число

𝑛

. Игрок в свой ход может прибавить к числу на

доске любой его натуральный делитель, стереть старое число и записать новое. (Напри-
мер, если на доске написано число

12

, то можно его стереть и написать одно из чисел

13, 14, 15, 16, 18, 24

.)

Рассмотрим все возможные натуральные значения

𝑛

от

2

до

59

включительно.

(а)

(2 балла)

Для скольких из них Юра имеет выигрышную стратегию, если

проигры-

вает

тот, кто получит после своего хода число, не меньшее

60

?

(б)

(2 балла)

Для скольких из них Юра имеет выигрышную стратегию, если

побеждает

тот, кто получит после своего хода число, не меньшее

60

?

Ответ:

(а)

29

.

(б)

44

.

Решение.

(а)

Докажем, что игрок, начинающий с чётного числа, выигрывает, а игрок,

начинающий с нечётного числа, проигрывает. Действительно, игрок, которому пришло
чётное число, может прибавлять к нему

1

(т. к. единица является делителем всех нату-

ральных чисел) и получать нечётное число. Его соперник вынужден прибавлять к нему
какое-то нечётное число и получать чётное число. Таким образом, игрок начинающий
с чётного числа, выигрывает, т. к. ему каждый ход приходит чётное число, к которому он
прибавляет

1

(а из чётного числа, меньшего

60

, таким образом нельзя получить число,

не меньшее

60

). Соответственно, игрок, начинающий с нечётного числа, проигрывает.

Таким образом, Юра выигрывает, если

𝑛

 — любое чётное число от

2

до

59

, коих

29

штук.

(б)

Заметим, что если игроку пришло число, большее

30

, то он может прибавить к нему

его же и получить число, не меньшее

60

. Поэтому если начальное число не меньше

30

, то

выигрывает Юра. Таких чисел

30

.

Если же начальное число меньше

30

, то игра превращается в игру из пункта (а), только

теперь проигрывает игрок, который на своём ходу получает число, которое не меньше 

30

.

Рассуждая аналогично, можно понять, что Юра выигрывает, только если начальное чис-
ло чётное. Таких чисел от

2

до

29

ровно

14

. Итого получаем, что Юра выигрывает при

30 + 14 = 44

значениях

𝑛

.

31