Математика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2022-2023 год)

Ответ:

𝐴

𝐵

𝐷

𝐸

Задача 5.1.4.

На некоторые границы клеток доски

10 × 10

положили спички, а в одну

из клеток — фишку, как показано на рисунке. За один ход фишку можно передвигать в
соседнюю по стороне клетку, перепрыгивать через спичку запрещено.

Клетка называется

достижимой

, если в неё можно попасть за несколько ходов из клетки

𝑋

, убрав с доски не более одной спички.

Среди

клеток с кружочками выберите все, являющиеся достижимыми.

𝐹

𝐸

𝐴

𝐵

𝐶

𝐷

Ответ:

𝐴

𝐶

𝐷

𝐸

Задача 5.2.1.

На уроке физкультуры в шеренгу встали

учеников 5«Б» класса. Каждый

из ребят либо отличник, который всегда говорит правду, либо хулиган, который всегда
врёт.

Отличник Влад встал на

-е место. Все, кроме Влада, заявили: «Между мной и Владом

ровно

хулиганов.» Сколько всего хулиганов в шеренге?

Ответ:

Задача 5.2.2.

На уроке физкультуры в шеренгу встали

учеников 5«Б» класса. Каждый

из ребят либо отличник, который всегда говорит правду, либо хулиган, который всегда
врёт.

Отличник Влад встал на

-е место. Все, кроме Влада, заявили: «Между мной и Владом

ровно

хулиганов.» Сколько всего хулиганов в шеренге?

Ответ:

Задача 5.2.3.

На уроке физкультуры в шеренгу встали

учеников 5«Б» класса. Каждый

из ребят либо отличник, который всегда говорит правду, либо хулиган, который всегда
врёт.

Отличник Влад встал на

-е место. Все, кроме Влада, заявили: «Между мной и Владом

ровно

хулиганов.» Сколько всего хулиганов в шеренге?

Ответ:

Задача 5.2.4.

На уроке физкультуры в шеренгу встали

учеников 5«Б» класса. Каждый

из ребят либо отличник, который всегда говорит правду, либо хулиган, который всегда
врёт.

Отличник Влад встал на

-е место. Все, кроме Влада, заявили: «Между мной и Владом

ровно

хулиганов.» Сколько всего хулиганов в шеренге?

Ответ:

Задача 5.3.1.

Петя и Вася играли в солдатиков. Петя выстроил своих рыцарей «прямо-

угольником» — сколько-то колонн и сколько-то рядов. Когда все рыцари из первого и
второго ряда ушли в разведку, то рыцарей осталось

. Затем Васины лучники обрати-

ли в бегство всех рыцарей, которые остались в первой и второй колоннах. После этого
осталось

рыцарей. Сколько рыцарей было у Пети изначально?

Ответ:

Задача 5.3.2.

Петя и Вася играли в солдатиков. Петя выстроил своих рыцарей «прямо-

. Затем Васины лучники обрати-

ли в бегство всех рыцарей, которые остались в первой и второй колоннах. После этого
остался

рыцарь. Сколько рыцарей было у Пети изначально?

Ответ:

Задача 5.3.3.

Петя и Вася играли в солдатиков. Петя выстроил своих рыцарей «прямо-

. Затем Васины лучники обрати-

ли в бегство всех рыцарей, которые остались в первой и второй колоннах. После этого
осталось

рыцаря. Сколько рыцарей было у Пети изначально?

Ответ:

Задача 5.3.4.

Петя и Вася играли в солдатиков. Петя выстроил своих рыцарей «прямо-

. Затем Васины лучники обрати-

ли в бегство всех рыцарей, которые остались в первой и второй колоннах. После этого
осталось

рыцарей. Сколько рыцарей было у Пети изначально?

Ответ:

Задача 5.4.1.

Маша нарисовала в тетради двух человечков. Площадь каждой клеточки

равна

Площадь какого из человечков больше?

Чему равна разница? Если площади одинаковы, в ответ запишите «0».

Ответ:

Площадь второго (правого) человечка на

больше.

Задача 5.4.2.

Маша нарисовала в тетради двух человечков. Площадь каждой клеточки

равна

Площадь какого из человечков больше?

Чему равна разница? Если площади одинаковы, в ответ запишите «0».

Ответ:

Площадь второго (правого) человечка на

больше.

Задача 5.4.3.

Маша нарисовала в тетради двух человечков. Площадь каждой клеточки

равна

Площадь какого из человечков больше?

Чему равна разница? Если площади одинаковы, в ответ запишите «0».

Ответ:

Площадь второго (правого) человечка на

больше.

Задача 5.4.4.

Маша нарисовала в тетради двух человечков. Площадь каждой клеточки

равна

Площадь какого из человечков больше?

Чему равна разница? Если площади одинаковы, в ответ запишите «0».

Ответ:

Площадь второго (правого) человечка на

больше.

Задача 5.5.1.

У Дениса есть одинаковые десятирублёвые монеты, одинаковые двухруб-

лёвые и одинаковые однорублёвые монеты (монет каждого вида больше

). Сколькими

способами он сможет заплатить без сдачи за пирожок стоимостью

рублей?

Не обязательно использовать монеты каждого вида.

Ответ:

Задача 5.5.2.

У Дениса есть одинаковые десятирублёвые монеты, одинаковые двухруб-

лёвые и одинаковые однорублёвые монеты (монет каждого вида больше

). Сколькими

способами он сможет заплатить без сдачи за пирожок стоимостью

рублей?

Не обязательно использовать монеты каждого вида.

Ответ:

Задача 5.5.3.

У Дениса есть одинаковые десятирублёвые монеты, одинаковые двухруб-

лёвые и одинаковые однорублёвые монеты (монет каждого вида больше

). Сколькими

способами он сможет заплатить без сдачи за пирожок стоимостью

рублей?

Не обязательно использовать монеты каждого вида.

Ответ:

Задача 5.6.1.

Есть

абсолютно одинаковых кубика, у каждого из которых на одной грани

отмечены

точек, на другой —

, …, на оставшейся —

. Известно, что на любых двух

противоположных гранях кубика суммарно

точек.

Из этих

кубиков склеили фигуру, изображённую на рисунке. Известно, что на каждой

паре склеенных граней отмечено одинаковое количество точек. Сколько точек на гранях

𝐴

𝐵

𝐶

Точек на грани

𝐴

…

Точек на грани

𝐵

…

Точек на грани

𝐶

…

Ответ:

𝐴 = 2

𝐵 = 2

𝐶 = 6

Задача 5.6.2.

Есть

абсолютно одинаковых кубика, у каждого из которых на одной грани

отмечены

точек, на другой —

, …, на оставшейся —

. Известно, что на любых двух

противоположных гранях кубика суммарно

точек.

Из этих

кубиков склеили фигуру, изображённую на рисунке. Известно, что на каждой

паре склеенных граней отмечено одинаковое количество точек. Сколько точек на гранях

𝐴

𝐵

𝐶

Точек на грани

𝐴

…

Точек на грани

𝐵

…

Точек на грани

𝐶

…

Ответ:

𝐴 = 5

𝐵 = 5

𝐶 = 1

Задача 5.6.3.

Есть

абсолютно одинаковых кубика, у каждого из которых на одной грани

отмечены

точек, на другой —

, …, на оставшейся —

. Известно, что на любых двух

противоположных гранях кубика суммарно

точек.

Из этих

кубиков склеили фигуру, изображённую на рисунке. Известно, что на каждой

паре склеенных граней отмечено одинаковое количество точек. Сколько точек на гранях

𝐴

𝐵

𝐶

Точек на грани

𝐴

…

Точек на грани

𝐵

…

Точек на грани

𝐶

…

Ответ:

𝐴 = 5

𝐵 = 5

𝐶 = 6

Задача 5.6.4.

Есть

абсолютно одинаковых кубика, у каждого из которых на одной грани

отмечены

точек, на другой —

, …, на оставшейся —

. Известно, что на любых двух

противоположных гранях кубика суммарно

точек.

Из этих

кубиков склеили фигуру, изображённую на рисунке. Известно, что на каждой

паре склеенных граней отмечено одинаковое количество точек. Сколько точек на гранях

𝐴

𝐵

𝐶

Точек на грани

𝐴

…

Точек на грани

𝐵

…

Точек на грани

𝐶

…

Ответ:

𝐴 = 2

𝐵 = 2

𝐶 = 1

Задача 5.7.1.

В классе

ученик. У трёх из них ровно по три друга, у следующих трёх —

по шесть, у следующих трёх — по девять, …, у следующих трёх — по тридцать. Сколько
друзей у

-го ученика? (Дружба между людьми взаимна.)

Ответ:

Задача 5.7.2.

В классе

учеников. У трёх из них ровно по три друга, у следующих трёх —

по шесть, у следующих трёх — по девять, …, у следующих трёх — по двадцать четыре.
Сколько друзей у

-го ученика? (Дружба между людьми взаимна.)

Ответ:

Задача 5.7.3.

В классе

учеников. У трёх из них ровно по три друга, у следующих трёх —

по шесть, у следующих трёх — по девять, …, у следующих трёх — по тридцать шесть.
Сколько друзей у

-го ученика? (Дружба между людьми взаимна.)

Ответ:

Задача 5.8.1.

В многодетной семье Ивановых нет близнецов. Репортёр приехал к Ивано-

вым, чтобы взять у них интервью.

Во время интервью каждый из детей сказал: «У меня есть старший брат». Немного по-
думав, репортёр очень удивился. Но отец семейства объяснил, что некоторые дети по-
шутили, и лишь шестеро сказали правду. Сколько детей может быть в этой семье, если
известно, что мальчиков у Ивановых на

больше, чем девочек? Укажите все возможные

варианты.

Ответ:

Задача 5.8.2.

В многодетной семье Ивановых нет близнецов. Репортёр приехал к Ивано-

вым, чтобы взять у них интервью.

Во время интервью каждый из детей сказал: «У меня есть старший брат». Немного по-
думав, репортёр очень удивился. Но отец семейства объяснил, что некоторые дети по-
шутили, и лишь четверо сказали правду. Сколько детей может быть в этой семье, если
известно, что мальчиков у Ивановых на

больше, чем девочек? Укажите все возможные

варианты.

Ответ:

6 класс

Задача 6.1.1.

Клеточки пирамиды заполнили по следующему правилу: над каждыми

двумя соседними числами записали их сумму. Некоторые числа стёрли, и получилась
конструкция, изображённая на рисунке. Какое число было в самой верхней клеточке?

Ответ:

Задача 6.1.2.

Клеточки пирамиды заполнили по следующему правилу: над каждыми

Ответ:

Задача 6.2.1.

Петя и Вася решили получить как можно больше пятёрок за 1 и 2 сентября.

• 1 сентября они суммарно получили

пятёрок, причём Петя получил пятёрок боль-

ше, чем Вася;

• 2 сентября Вася получил

пятёрки, а Петя не получил ни одной;

• по итогам этих двух дней Вася получил больше пятёрок, чем Петя.

Кто сколько пятёрок получил за эти два дня?

Ответ:

Петя получил

пятёрок, а Вася —

Задача 6.2.2.

Петя и Вася решили получить как можно больше пятёрок за 1 и 2 сентября.

• 1 сентября они суммарно получили

пятёрок, причём Петя получил пятёрок боль-

ше, чем Вася;

• 2 сентября Вася получил

пятёрки, а Петя не получил ни одной;

• по итогам этих двух дней Вася получил больше пятёрок, чем Петя.

Кто сколько пятёрок получил за эти два дня?

Ответ:

Петя получил

пятёрок, а Вася —

Задача 6.2.3.

Петя и Вася решили получить как можно больше пятёрок за 1 и 2 сентября.

• 1 сентября они суммарно получили

пятёрок, причём Вася получил пятёрок боль-

ше, чем Петя;

• 2 сентября Петя получил

пятёрки, а Вася не получил ни одной;

• по итогам этих двух дней Петя получил больше пятёрок, чем Вася.

Кто сколько пятёрок получил за эти два дня?

Ответ:

Петя получил

пятёрок, а Вася —

Задача 6.2.4.

Петя и Вася решили получить как можно больше пятёрок за 1 и 2 сентября.

• 1 сентября они суммарно получили

пятёрок, причём Вася получил пятёрок боль-

ше, чем Петя;

• 2 сентября Петя получил

пятёрки, а Вася не получил ни одной;

• по итогам этих двух дней Петя получил больше пятёрок, чем Вася.

Кто сколько пятёрок получил за эти два дня?

Ответ:

Петя получил

пятёрок, а Вася —

Задача 6.3.1.

Фишку поставили на некоторую клетку доски

5 × 5

. Передвигая фишку на

соседнюю по стороне клетку, обошли всю доску за исключением одной клетки и верну-
лись на стартовую позицию. В каждой клетке, кроме начальной, фишка побывала не бо-
лее одного раза.

На рисунке изображены стрелочки, показывающие, куда передвигали фишку из некото-
рых клеток.

Выберите на картинке клетку, в которую фишка

не

заходила.

Ответ:

𝐶1

Задача 6.3.2.

Фишку поставили на некоторую клетку доски

5 × 5

. Передвигая фишку на

На рисунке изображены стрелочки, показывающие, куда передвигали фишку из некото-
рых клеток.

Выберите на картинке клетку, в которую фишка

не

заходила.

(ПРИМЕЧАНИЕ ОТ АВТОРОВ. В формулировке в системе Сириуса в конце надо
«Для выбора клетки нажмите на кружочек внутри неё.».)

Ответ:

𝑎3

Задача 6.3.3.

Фишку поставили на некоторую клетку доски

5 × 5

. Передвигая фишку на

На рисунке изображены стрелочки, показывающие, куда передвигали фишку из некото-
рых клеток.

Выберите на картинке клетку, в которую фишка

не

заходила.

Ответ:

𝐶5

Задача 6.4.1.

На клавиатуре компьютера не работает клавиша с цифрой

. Например,

если попытаться напечатать число

1231234

, то пропечатается только число

23234

Саша попытался напечатать 8-значное число, но пропечаталось только

202020

. Сколько

существует 8-значных чисел, подходящих под это условие?

Ответ:

Задача 6.4.2.

На клавиатуре компьютера не работает клавиша с цифрой

. Например,

если попытаться напечатать число

1231234

, то пропечатается только число

23234

Саша попытался напечатать 8-значное число, но пропечаталось только

303030

. Сколько

существует 8-значных чисел, подходящих под это условие?

Ответ:

Задача 6.4.3.

На клавиатуре компьютера не работает клавиша с цифрой

. Например,

если попытаться напечатать число

1231234

, то пропечатается только число

23234

Саша попытался напечатать 8-значное число, но пропечаталось только

404040

. Сколько

существует 8-значных чисел, подходящих под это условие?

Ответ:

Задача 6.4.4.

На клавиатуре компьютера не работает клавиша с цифрой

. Например,

если попытаться напечатать число

1231234

, то пропечатается только число

23234

Саша попытался напечатать 8-значное число, но пропечаталось только

505050

. Сколько

существует 8-значных чисел, подходящих под это условие?

Ответ:

Задача 6.5.1.

На прямой отмечены

точек

𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆, 𝑇

, именно в таком порядке. Извест-

но, что сумма расстояний от

𝑃

до остальных

точек равна

, а сумма расстояний от

𝑄

до

остальных

точек равна

. Найдите длину отрезка

𝑃𝑄

Ответ:

Задача 6.5.2.

На прямой отмечены

точек

𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆, 𝑇

, именно в таком порядке. Извест-

но, что сумма расстояний от

𝑃

до остальных

точек равна

, а сумма расстояний от

𝑄

до

остальных

точек равна

. Найдите длину отрезка

𝑃𝑄

Ответ:

Задача 6.5.3.

На прямой отмечены

точек

𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆, 𝑇

, именно в таком порядке. Извест-

но, что сумма расстояний от

𝑃

до остальных

точек равна

, а сумма расстояний от

𝑄

до

остальных

точек равна

. Найдите длину отрезка

𝑃𝑄

Ответ:

Задача 6.5.4.

На прямой отмечены

точек

𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆, 𝑇

, именно в таком порядке. Извест-

но, что сумма расстояний от

𝑃

до остальных

точек равна

, а сумма расстояний от

𝑄

до

остальных

точек равна

. Найдите длину отрезка

𝑃𝑄

Ответ:

Задача 6.6.1.

Женя покрасил три грани белого кубика

6 × 6 × 6

в красный цвет. Затем

он распилил его на

216

одинаковых маленьких кубиков

1 × 1 × 1

. Сколько у него могло

получиться маленьких кубиков без красных граней? Укажите все возможные варианты.

Ответ:

120

125

Задача 6.6.2.

Женя покрасил три грани белого кубика

5 × 5 × 5

в красный цвет. Затем

он распилил его на

125

одинаковых маленьких кубиков

1 × 1 × 1

. Сколько у него могло

получиться маленьких кубиков без красных граней? Укажите все возможные варианты.

Ответ:

Задача 6.7.1.

Амурский и бенгальский тигры начали бегать по кругу в 12:00, каждый

со своей постоянной скоростью. К 14:00 амурский тигр пробежал на

кругов больше бен-

гальского. Затем амурский тигр увеличил свою скорость на

км/ч, и к 15:00 он суммарно

пробежал уже на

кругов больше бенгальского. Сколько метров составляет длина круга?

Ответ:

1250

Задача 6.7.2.

Амурский и бенгальский тигры начали бегать по кругу в 12:00, каждый

со своей постоянной скоростью. К 14:00 амурский тигр пробежал на

кругов больше бен-

гальского. Затем амурский тигр увеличил свою скорость на

км/ч, и к 15:00 он суммарно

пробежал уже на

кругов больше бенгальского. Сколько метров составляет длина круга?

Ответ:

1500

Задача 6.7.3.

Амурский и бенгальский тигры начали бегать по кругу в 12:00, каждый

со своей постоянной скоростью. К 14:00 амурский тигр пробежал на

кругов больше бен-

гальского. Затем амурский тигр увеличил свою скорость на

км/ч, и к 15:00 он суммарно

пробежал уже на

кругов больше бенгальского. Сколько метров составляет длина круга?

Ответ:

1200

Задача 6.7.4.

Амурский и бенгальский тигры начали бегать по кругу в 12:00, каждый со

своей постоянной скоростью. К 14:00 амурский тигр пробежал на

кругов больше бен-

гальского. Затем амурский тигр увеличил свою скорость на

км/ч, и к 15:00 он суммарно

пробежал уже на

кругов больше бенгальского. Сколько метров составляет длина круга?

Ответ:

800

Задача 6.8.1.

В 6 «A» классе учатся несколько мальчиков и девочек. Известно, что в 6 «A»

• девочка Таня дружит с

мальчиками;

• девочка Даша дружит с

мальчиками;

• девочка Катя дружит с

мальчиками;

• у любой девочки найдётся друг среди любых трёх мальчиков.

Сколько мальчиков может быть в 6 «A» классе? Укажите все возможные варианты.

Ответ:

Задача 6.8.2.

В 6 «A» классе учатся несколько мальчиков и девочек. Известно, что в 6 «A»

• девочка Таня дружит с

мальчиками;

• девочка Даша дружит с

мальчиками;

• девочка Катя дружит с

мальчиками;

• у любой девочки найдётся друг среди любых трёх мальчиков.

Сколько мальчиков может быть в 6 «A» классе? Укажите все возможные варианты.

Ответ:

Задача 6.8.3.

В 6 «A» классе учатся несколько мальчиков и девочек. Известно, что в 6 «A»

• девочка Таня дружит с

мальчиками;

• девочка Даша дружит с

мальчиками;

• девочка Катя дружит с

мальчиками;

• у любой девочки найдётся друг среди любых трёх мальчиков.

Сколько мальчиков может быть в 6 «A» классе? Укажите все возможные варианты.

Ответ:

Задача 6.8.4.

В 6 «A» классе учатся несколько мальчиков и девочек. Известно, что в 6 «A»

• девочка Таня дружит с

мальчиками;

• девочка Даша дружит с

мальчиками;

• девочка Катя дружит с

мальчиками;

• у любой девочки найдётся друг среди любых трёх мальчиков.

Сколько мальчиков может быть в 6 «A» классе? Укажите все возможные варианты.

Ответ:

7 класс

Задача 7.1.1.

Решите ребус

𝐶,𝐵𝐴 + 𝐴,𝐴𝐴 = 𝐵,𝐴.

(Разными буквами обозначены разные цифры, одинаковыми буквами — одинаковые циф-
ры.)

Ответ:

𝐴 = 5

𝐵 = 9

𝐶 = 3

Задача 7.1.2.

Решите ребус

𝐴,𝐶𝐵 + 𝐵,𝐵𝐵 = 𝐶,𝐵.

(Разными буквами обозначены разные цифры, одинаковыми буквами — одинаковые циф-
ры.)

Ответ:

𝐴 = 3

𝐵 = 5

𝐶 = 9

Задача 7.1.3.

Решите ребус

𝐵,𝐴𝐶 + 𝐶,𝐶𝐶 = 𝐴,𝐶.

(Разными буквами обозначены разные цифры, одинаковыми буквами — одинаковые циф-
ры.)

Ответ:

𝐴 = 9

𝐵 = 3

𝐶 = 5

Задача 7.2.1.

Влад и Дима решили подзаработать. Каждый из них решил положить по

3000

рублей в банк, а через год все деньги снять.

Влад выбрал вклад «Уверенность»: за год сумма увеличивается на

20%

, но при снятии

банк взимает комиссию

10%

Дима выбрал вклад «Надёжность»: за год сумма увеличивается на

40%

, но при снятии

банк взимает комиссию

20%

(«Банк взимает комиссию

𝑛%

» означает то, что банк оставляет себе

𝑛%

от текущей вели-

чины вклада, а оставшуюся часть вклада возвращает его владельцу.)

Кто получит большую годовую прибыль от вклада?

Чему будет равна разница? Ответ выразите в рублях. Если прибыль одинакова, то запи-
шите

Ответ:

Дима заработает больше на

120

рублей.

Задача 7.2.2.

Влад и Дима решили подзаработать. Каждый из них решил положить по

2000

рублей в банк, а через год все деньги снять.

Влад выбрал вклад «Уверенность»: за год сумма увеличивается на

20%

, но при снятии

банк взимает комиссию

10%

Дима выбрал вклад «Надёжность»: за год сумма увеличивается на

40%

, но при снятии

банк взимает комиссию

20%

(«Банк взимает комиссию

𝑛%

» означает то, что банк оставляет себе

𝑛%

от текущей вели-

чины вклада, а оставшуюся часть вклада возвращает его владельцу.)

Кто получит большую годовую прибыль от вклада?

Чему будет равна разница? Ответ выразите в рублях. Если прибыль одинакова, то запи-
шите

Ответ:

Дима заработает больше на

рублей.

Задача 7.2.3.

Влад и Дима решили подзаработать. Каждый из них решил положить по

4000

рублей в банк, а через год все деньги снять.

Влад выбрал вклад «Уверенность»: за год сумма увеличивается на

20%

, но при снятии

банк взимает комиссию

10%

Дима выбрал вклад «Надёжность»: за год сумма увеличивается на

40%

, но при снятии

банк взимает комиссию

20%

(«Банк взимает комиссию

𝑛%

» означает то, что банк оставляет себе

𝑛%

от текущей вели-

чины вклада, а оставшуюся часть вклада возвращает его владельцу.)

Кто получит большую годовую прибыль от вклада?

Чему будет равна разница? Ответ выразите в рублях. Если прибыль одинакова, то запи-
шите

Ответ:

Дима заработает больше на

160

рублей.

Задача 7.2.4.

Влад и Дима решили подзаработать. Каждый из них решил положить по

6000

рублей в банк, а через год все деньги снять.

Влад выбрал вклад «Уверенность»: за год сумма увеличивается на

20%

, но при снятии

банк взимает комиссию

10%

Дима выбрал вклад «Надёжность»: за год сумма увеличивается на

40%

, но при снятии

банк взимает комиссию

20%

(«Банк взимает комиссию

𝑛%

» означает то, что банк оставляет себе

𝑛%

от текущей вели-

чины вклада, а оставшуюся часть вклада возвращает его владельцу.)

Кто получит большую годовую прибыль от вклада?

Чему будет равна разница? Ответ выразите в рублях. Если прибыль одинакова, то запи-
шите

Ответ:

Дима заработает больше на

240

рублей.

Задача 7.3.1.

Смешарики Крош, Ёжик, Нюша и Бараш суммарно съели

конфет, при-

чём каждый из них съел не менее

конфет. Известно, что:

• Нюша съела конфет больше, чем каждый из остальных смешариков;

• Крош и Ёжик суммарно съели

конфеты.

Сколько конфет съела Нюша?

Ответ:

Задача 7.3.2.

Смешарики Крош, Ёжик, Нюша и Бараш суммарно съели

конфет, при-

чём каждый из них съел не менее

конфет. Известно, что:

• Нюша съела конфет больше, чем каждый из остальных смешариков;

• Крош и Ёжик суммарно съели

конфет.

Сколько конфет съела Нюша?

Ответ:

Задача 7.3.3.

Смешарики Крош, Ёжик, Нюша и Бараш суммарно съели

конфеты, при-

чём каждый из них съел не менее

конфет. Известно, что:

• Нюша съела конфет больше, чем каждый из остальных смешариков;

• Крош и Ёжик суммарно съели

конфету.

Сколько конфет съела Нюша?

Ответ:

Задача 7.3.4.

Смешарики Крош, Ёжик, Нюша и Бараш суммарно съели

конфет, при-

чём каждый из них съел не менее

конфет. Известно, что:

• Нюша съела конфет больше, чем каждый из остальных смешариков;

• Крош и Ёжик суммарно съели

конфет.

Сколько конфет съела Нюша?

Ответ:

Задача 7.4.1.

На рисунке ниже

• три синие фигуры — квадраты;

• оранжевая фигура — квадрат со стороной

;

• точка

𝐴

— центр зелёной окружности;

• точка

𝐵

— центр красной окружности.

Найдите длину отрезка

𝐶𝐷

Ответ:

Задача 7.4.2.

На рисунке ниже

• три синие фигуры — квадраты;

• оранжевая фигура — квадрат со стороной

;

• точка

𝐴

— центр зелёной окружности;

Ответ:

Задача 7.4.4.

На рисунке ниже

• три синие фигуры — квадраты;

• оранжевая фигура — квадрат со стороной

;

• точка

𝐴

— центр зелёной окружности;

• точка

𝐵

— центр красной окружности.

Найдите длину отрезка

𝐶𝐷

Ответ:

Задача 7.5.1.

В магазине продаются орехи четырёх видов: фундук, миндаль, кешью и фи-

сташки. Степан хочет купить

килограмм орехов одного вида и ещё

килограмм орехов —

другого. Он вычислил, во сколько ему может обойтись такая покупка в зависимости от
того, какие два вида орехов он выберет. Пять из шести возможных покупок Степана сто-
или бы

1900

2070

2110

2330

2500

рублей. Сколько рублей составляет стоимость шестой

возможной покупки?

Ответ:

2290

Задача 7.5.2.

В магазине продаются орехи четырёх видов: фундук, миндаль, кешью и фи-

сташки. Степан хочет купить

килограмм орехов одного вида и ещё

килограмм орехов —

1900

2070

2110

2320

2490

рублей. Сколько рублей составляет стоимость шестой

возможной покупки?

Ответ:

2280

Задача 7.5.3.

В магазине продаются орехи четырёх видов: фундук, миндаль, кешью и фи-

сташки. Степан хочет купить

килограмм орехов одного вида и ещё

килограмм орехов —

1900

2070

2110

2310

2480

рублей. Сколько рублей составляет стоимость шестой

возможной покупки?

Ответ:

2270

Задача 7.5.4.

В магазине продаются орехи четырёх видов: фундук, миндаль, кешью и фи-

сташки. Степан хочет купить

килограмм орехов одного вида и ещё

килограмм орехов —

1900

2070

2110

2300

2470

рублей. Сколько рублей составляет стоимость шестой

возможной покупки?

Ответ:

2260

Задача 7.6.1.

Магический квадрат — это таблица

3 × 3

, в которой расставлены числа так,

что суммы по всем строкам, столбцам и двум главным диагоналям одинаковы. На ри-
сунке изображён магический квадрат, в котором все числа, кроме трёх, стёрты. Найдите,
чему равно число в левом верхнем углу квадрата.

Ответ:

Задача 7.6.2.

Магический квадрат — это таблица

3 × 3

, в которой расставлены числа так,

Ответ:

Задача 7.6.3.

Магический квадрат — это таблица

3 × 3

, в которой расставлены числа так,

Ответ:

Задача 7.6.4.

Магический квадрат — это таблица

3 × 3

, в которой расставлены числа так,

Ответ:

Задача 7.7.1.

Все

учеников 7«А» класса участвовали в викторине из трёх туров. В каж-

дом туре каждый участник набрал некоторое количество очков. Известно, что в каждом
туре, а также по сумме всех трёх туров все участники набрали различное количество оч-
ков.

Ученик 7«А» Коля в первом туре викторины оказался третьим, во втором — четвёртым, а
в третьем — пятым. Какое самое низкое место мог занять Коля среди всех одноклассни-
ков по сумме очков за все три тура викторины?

Ответ:

Задача 7.7.2.

Все

учеников 7«А» класса участвовали в викторине из трёх туров. В каж-

Ученик 7«А» Коля в первом туре викторины оказался третьим, во втором — четвёртым,
а в третьем — шестым. Какое самое низкое место мог занять Коля среди всех однокласс-
ников по сумме очков за все три тура викторины?

Ответ:

Задача 7.7.3.

Все

учеников 7«А» класса участвовали в викторине из трёх туров. В каж-

Ученик 7«А» Коля в первом туре викторины оказался третьим, во втором — пятым, а в
третьем — шестым. Какое самое низкое место мог занять Коля среди всех одноклассни-
ков по сумме очков за все три тура викторины?

Ответ:

Задача 7.7.4.

Все

учеников 7«А» класса участвовали в викторине из трёх туров. В каж-

Ученик 7«А» Коля в первом туре викторины оказался четвёртым, во втором — пятым, а
в третьем — шестым. Какое самое низкое место мог занять Коля среди всех одноклассни-
ков по сумме очков за все три тура викторины?

Ответ:

Задача 7.8.1.

Набор из 28 различных доминошек выглядит так:

Все эти

доминошек выложили так, что количество точек на соприкасающихся поло-

винках доминошек одинаково. На некоторых половинках полностью стёрли количество
точек. В итоге получилась конструкция, изображённая на рисунке ниже (пустые поло-
винки могли быть изначально пустыми, а могли содержать какое-то количество точек).

Сколько точек на каждой из половинок жёлтой костяшки?

Точек на половинке

𝐴

…

Точек на половинке

𝐵

…

(ПРИМЕЧАНИЕ ОТ АВТОРОВ. Нижнюю картинку надо перерисовать, вместо цифр
надо вставить соответствующее количество точек, как на реальных доминошках.)

Ответ:

𝐴 = 2

𝐵 = 5

Задача 7.8.2.

Набор из 28 различных доминошек выглядит так:

Все эти

доминошек выложили так, что количество точек на соприкасающихся поло-

Сколько точек на каждой из половинок жёлтой костяшки?

Точек на половинке

𝐴

…

Точек на половинке

𝐵

…

Ответ:

𝐴 = 3

𝐵 = 6

Задача 7.8.3.

Набор из 28 различных доминошек выглядит так:

Все эти

доминошек выложили так, что количество точек на соприкасающихся поло-

Сколько точек на каждой из половинок жёлтой костяшки?

Точек на половинке

𝐴

…

Точек на половинке

𝐵

…

Ответ:

𝐴 = 1

𝐵 = 4

8 класс

Задача 8.1.1.

Клетки пирамиды заполнили по следующему правилу: над каждыми дву-

мя соседними числами записали их среднее арифметическое. Некоторые числа стёрли, и
получилась конструкция, изображённая на рисунке. Какое число было в правой нижней
клетке? (Среднее арифметическое двух чисел — это их сумма, разделённая на

Ответ:

Задача 8.1.2.

Клетки пирамиды заполнили по следующему правилу: над каждыми дву-

Ответ:

Задача 8.1.3.

Клетки пирамиды заполнили по следующему правилу: над каждыми дву-

Ответ:

Задача 8.1.4.

Клетки пирамиды заполнили по следующему правилу: над каждыми дву-

Ответ:

Задача 8.2.1.

Малыши Коля и Маша учатся считать. В первую секунду Коля назвал чис-

ло 1, во вторую —

, в третью —

и т. д. Если Маше нравится число, названное Колей,

то она записывает его себе в тетрадь, в конец текущей строки (одно число за другим, без
пробелов и запятых). Спустя

𝑛

секунд у Маши в тетради оказалось записано

2 7 2 6 2 5 2 4 2 3.

Какое наименьшее значение может принимать

𝑛

Ответ:

423

Задача 8.2.2.

Малыши Коля и Маша учатся считать. В первую секунду Коля назвал чис-

ло 1, во вторую —

, в третью —

и т. д. Если Маше нравится число, названное Колей,

𝑛

секунд у Маши в тетради оказалось записано

1 6 1 5 1 4 1 3 1 2.

Какое наименьшее значение может принимать

𝑛

Ответ:

312

Задача 8.2.3.

Малыши Коля и Маша учатся считать. В первую секунду Коля назвал чис-

ло 1, во вторую —

, в третью —

и т. д. Если Маше нравится число, названное Колей,

𝑛

секунд у Маши в тетради оказалось записано

3 8 3 7 3 6 3 5 3 4.

Какое наименьшее значение может принимать

𝑛

Ответ:

534

Задача 8.2.4.

Малыши Коля и Маша учатся считать. В первую секунду Коля назвал чис-

ло 1, во вторую —

, в третью —

и т. д. Если Маше нравится число, названное Колей,

𝑛

секунд у Маши в тетради оказалось записано

4 9 4 8 4 7 4 6 4 5.

Какое наименьшее значение может принимать

𝑛

Ответ:

645

Задача

8.3.1.

На

стороне

𝐵𝐶

прямоугольника

𝐴𝐵𝐶𝐷

отмечена

точка

𝐾

Точка

𝐻

на

отрез-

ке

𝐴𝐾

такова,

что

угол

𝐴𝐻𝐷

∘

Оказалось,

что

𝐴𝐾

𝐵𝐶

Сколько

градусов

составляет

угол

𝐴𝐷𝐻

если

угол

𝐶𝐾𝐷

∘

Математика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2022-2023 год) - часть 7