ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 87

Задание №5175

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона CD= 101, AB= 112 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 426

Ответ: 426

Задание №2707

Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 41° и 85°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея)

угол противоположный углу 41 градусов равен 180-41=139 градусов

угол противоположный углу 85 градусов равен 180-85=95 градусов

Больший из неизвестных углов 139 градусов

Ответ: 139

Задание №3120

Дана окружность, вписанная в треугольник ABC, к которой проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 23, 54, 77. Рассчитайте периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=23+54+77=154

Ответ: 154

Задание №3781

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 86. Рассчитайте длину средней линии трапеции

Решение

Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 86 / 4 = 21,5

Ответ: 21,5

Задание №1973

Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 30, BC=7, CD=49. Найдите четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=30+49-7=72

Ответ: 72

Задание №3918

В треугольнике ABC BC=60, AC=32, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=12

Ответ: 12

Задание №2358

Основания равнобедренной трапеции равны 36 и 48. Радиус описанной окружности равен 30. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции

Решение

Проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=24

HO=18

Значит, высота трапеции равна KH=KO+HO=24+18=42

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 42

Задание №1791

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 75, основание равно 90 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=2700

Подствавим значения и найдём полупериметр P=120

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=2700/120=22,5

Ответ: 22,5

Задание №1670

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 153. Точка E – середина стороны BC. Рассчитайте площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=114,75

Ответ: 114,75

Задание №5621

Площадь параллелограмма ABCD равна 148. Середины его сторон - это вершины параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=74

Ответ: 74

Задание №4830

Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 21 и 15 . Найдите среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 36 / 2 = 18

Ответ: 18

Задание №5182

Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 402. Вычислите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =402 / 6 = 67

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*67=134

Ответ: 134

Задание №4895

Основания равнобедренной трапеции равны 42 и 252. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=175

Ответ: 175

Задание №5272

Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 60°. Рассчитайте число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=60

180*n – 360 = 60 * n

n=3

Ответ: 3

Задание №4461

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 65, периметр P= 271 . Найдите длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=70,5

Ответ: 70,5

Задание №1372

Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 20+10√2 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=10

Ответ: 10

Задание №3557

Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 86, большая боковая сторона равна 40 . Найдите радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 1,5

Ответ: 1,5

Задание №2039

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 43 и 16, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=16

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=118+32=150

Ответ: 150

Задание №2709

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 119. Точка E – середина стороны CD. Рассчитайте площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=29,75

Ответ: 29,75

Задание №1817

Площадь треугольника АВС равна 146. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=109,5

Ответ: 109,5

содержание .. 85 86 87 88 ..