ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 48

Задание №1504

Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 22° и 146°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея)

угол противоположный углу 22 градусов равен 180-22=158 градусов

угол противоположный углу 146 градусов равен 180-146=34 градусов

Больший из неизвестных углов 158 градусов

Ответ: 158

Задание №5874

Дан треугольник ABC. Стороны AC=12, BC=35, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=5

Ответ: 5

Задание №3507

Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 40. Радиус описанной окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции

Решение

Проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=15

HO=7

Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=15+7=22

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 22

Задание №2095

Дана окружность, вписанная в треугольник ABC, к которой проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 22, 59, 75. Найдите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=22+59+75=156

Ответ: 156

Задание №4354

Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 100, основание равно 120 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=4800

Подствавим значения и найдём полупериметр P=160

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=4800/160=30

Ответ: 30

Задание №3968

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 160. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=80

Ответ: 80

Задание №4133

У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 30+15√2 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=15

Ответ: 15

Задание №1848

Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 17 и 23 . Вычислите среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 40 / 2 = 20

Ответ: 20

Задание №1879

Площадь параллелограмма ABCD равна 130. Середина стороны BC - точка E. Рассчитайте площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=97,5

Ответ: 97,5

Задание №5432

Периметр правильного шестиугольника равен 324. Вычислите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =324 / 6 = 54

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*54=108

Ответ: 108

Задание №5282

Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 240 и 48. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=160

Ответ: 160

Задание №3281

Дан треугольник АВС. Его площадь равна 130. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=97,5

Ответ: 97,5

Задание №1057

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 139. Точка E – середина стороны CD. Рассчитайте площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=34,75

Ответ: 34,75

Задание №5632

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона AB= 92, периметр P= 383 . Вычислите длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=99,5

Ответ: 99,5

Задание №3289

Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 70. Вычислите длину средней линии трапеции

Решение

Периметр - сумма сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 70 / 4 = 17,5

Ответ: 17,5

Задание №2851

Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 37, BC=11, CD=85. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=37+85-11=111

Ответ: 111

Задание №5721

В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 29 и 5, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=5

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=68+10=78

Ответ: 78

Задание №5513

У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 118, большая боковая сторона трапеции равна 55 . Найдите радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 2

Ответ: 2

Задание №3837

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона CD= 90, AB= 110 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 400

Ответ: 400

Задание №3211

Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 140°. Вычислите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=140

180*n – 360 = 140 * n

n=9

Ответ: 9

содержание .. 46 47 48 49 ..