ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 26

Задание №3348

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, периметр = 213, стророна AB= 52 . Вычислите длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=54,5

Ответ: 54,5

Задание №5435

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона CD= 60, AB= 72 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 264

Ответ: 264

Задание №1897

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 126. Точка E – середина стороны BC. Рассчитайте площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=94,5

Ответ: 94,5

Задание №2152

Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 29° и 145°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея)

угол противоположный углу 29 градусов равен 180-29=151 градусов

угол противоположный углу 145 градусов равен 180-145=35 градусов

Больший из неизвестных углов 151 градусов

Ответ: 151

Задание №3877

Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 216. Вычислите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =216 / 6 = 36

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*36=72

Ответ: 72

Задание №3937

Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 36 и 13, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=13

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=98+26=124

Ответ: 124

Задание №3575

Площадь треугольника АВС равна 116. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=87

Ответ: 87

Задание №3789

Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 75, большая боковая сторона равна 34 . Вычислите радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 1,75

Ответ: 1,75

Задание №1297

Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 55, основание равно 66 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=1452

Подствавим значения и найдём полупериметр P=88

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=1452/88=16,5

Ответ: 16,5

Задание №5118

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 17, 44, 56. Рассчитайте периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=17+44+56=117

Ответ: 117

Задание №4224

Основания равнобедренной трапеции равны 60 и 360. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=250

Ответ: 250

Задание №3750

Дана равнобедренная трапеция. Основания трапеции равны 56 и 42. Радиус описанной окружности равен 35. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции

Решение

Сделаем построение, проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=28

HO=21

Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=28+21=49

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 49

Задание №1861

У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 90. Найдите длину средней линии трапеции

Решение

Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 90 / 4 = 22,5

Ответ: 22,5

Задание №5144

Площадь параллелограмма ABCD равна 146. Середины его сторон - это вершины параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=73

Ответ: 73

Задание №1480

Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 156°. Вычислите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=156

180*n – 360 = 156 * n

n=15

Ответ: 15

Задание №1051

В треугольнике ABC BC=84, AC=80, угол C равен 90° . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=24

Ответ: 24

Задание №1620

В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB= 22, BC=6, CD=49. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=22+49-6=65

Ответ: 65

Задание №5432

Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 9 и 24 . Вычислите среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 33 / 2 = 16,5

Ответ: 16,5

Задание №5725

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 145. Точка E – середина стороны CD. Рассчитайте площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=36,25

Ответ: 36,25

Задание №5036

Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 54+27√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=27

Ответ: 27

содержание .. 24 25 26 27 ..