ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 10

Задание №2268

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 145, основание равно 174 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=10092

Подствавим значения и найдём полупериметр P=232

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=10092/232=43,5

Ответ: 43,5

Задание №2275

Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 246. Рассчитайте диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =246 / 6 = 41

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*41=82

Ответ: 82

Задание №1538

Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 72 и 18. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=45

Ответ: 45

Задание №2319

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона AB= 96, CD= 83 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 358

Ответ: 358

Задание №4219

Основания равнобедренной трапеции равны 20 и 48. Радиус описанной окружности равен 26. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции

Решение

Построим высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=24

HO=10

Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=24+10=34

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 34

Задание №1795

Площадь параллелограмма ABCD равна 137. Середина стороны BC - точка E. Рассчитайте площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=102,75

Ответ: 102,75

Задание №2180

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 20, 50, 69. Найдите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=20+50+69=139

Ответ: 139

Задание №4042

Дан треугольник АВС. Его площадь равна 130. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=97,5

Ответ: 97,5

Задание №5189

Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 113, ее большая боковая сторона равна 54 . Найдите радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 1,25

Ответ: 1,25

Задание №4686

У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 100+50√2 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=50

Ответ: 50

Задание №5198

Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 36, BC=10, CD=73. Найдите четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=36+73-10=99

Ответ: 99

Задание №5806

Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 30° и 88°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов

угол противоположный углу 30 градусов равен 180-30=150 градусов

угол противоположный углу 88 градусов равен 180-88=92 градусов

Больший из неизвестных углов 150 градусов

Ответ: 150

Задание №1447

В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 26 и 10, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=10

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=72+20=92

Ответ: 92

Задание №3758

В треугольнике ABC BC=90, AC=56, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=20

Ответ: 20

Задание №3293

Площадь параллелограмма ABCD равна 118. Точка E – середина стороны CD. Рассчитайте площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=29,5

Ответ: 29,5

Задание №1824

Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 61. Рассчитайте длину средней линии трапеции

Решение

Периметр - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 61 / 4 = 15,25

Ответ: 15,25

Задание №3545

Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 120°. Найдите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=120

180*n – 360 = 120 * n

n=6

Ответ: 6

Задание №5569

Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 27 и 15 . Вычислите среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 42 / 2 = 21

Ответ: 21

Задание №4627

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона AB= 34, периметр P= 148 . Вычислите длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=40

Ответ: 40

Задание №2556

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 153. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=76,5

Ответ: 76,5

содержание .. 8 9 10 11 ..