содержание .. 5 6 7 8 ..
ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 7
Задание №4227
Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 108, большая боковая сторона равна 48 . Рассчитайте радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 3 Ответ: 3
Задание №4481
Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 348. Вычислите диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =348 / 6 = 58 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*58=116 Ответ: 116
Задание №4674
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 34° и 96°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
В четырехугольнике, вписанном в окружность сумма противоположных углов равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 34 градусов равен 180-34=146 градусов угол противоположный углу 96 градусов равен 180-96=84 градусов Больший из неизвестных углов 146 градусов Ответ: 146
Задание №5078
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 117. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=29,25 Ответ: 29,25
Задание №3490
Дан треугольник ABC. Стороны AC=36, BC=105, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=15 Ответ: 15
Задание №4101
Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 140°. Найдите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=140 180*n – 360 = 140 * n n=9 Ответ: 9
Задание №1316
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 93, CD= 88 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 362 Ответ: 362
Задание №5494
У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 70+35√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=35 Ответ: 35
Задание №4649
Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 98. Найдите длину средней линии трапеции
Решение
Периметр - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 98 / 4 = 24,5 Ответ: 24,5
Задание №3220
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 140. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=70 Ответ: 70
Задание №2181
Основания равнобедренной трапеции равны 40 и 42. Радиус описанной окружности равен 29. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции
Решение
Построим высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=21 HO=20 Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=21+20=41 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 41
Задание №3696
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 125, основание равно 150 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=7500 Подствавим значения и найдём полупериметр P=200 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=7500/200=37,5
Ответ: 37,5
Задание №4867
Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 21, 57, 74. Вычислите периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=21+57+74=152 Ответ: 152
Задание №1796
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 28 и 15. Вычислите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 43 / 2 = 21,5 Ответ: 21,5
Задание №4054
Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 27, BC=9, CD=69. Вычислите четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=27+69-9=87 Ответ: 87
Задание №4181
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 113. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=84,75 Ответ: 84,75
Задание №1015
Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 96. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=40 Ответ: 40
Задание №3384
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, периметр = 196, стророна AB= 45 . Вычислите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=53 Ответ: 53
Задание №2102
В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 35 и 9, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=9 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=88+18=106 Ответ: 106
Задание №2188
Дан треугольник АВС. Его площадь равна 137. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=102,75 Ответ: 102,75
содержание .. 5 6 7 8 ..