по дисциплине «Экономико – математические методы в управлении»
вариант №30
КАЛИНИНГРАД
2008
Задание
Задание 1.2.
Смесь можно составить из n
продуктов Сj
(j=1,n). В каждом из продуктов содержится m
компонентов. Минимально допустимый объем содержания i-го компонента в смеси выражается величиной bi
(i=1,3). Содержание i-го компонента в единице j-го продукта выражается величиной аij.
Цена единицы j-го продукта равна сj.
Составить смесь, минимальную по стоимости, выбрав для решения данной задачи наиболее рациональный способ.
C1
C2
C3
bi
cj
9
6
7
a1j
7
5
8
70
a2j
8
2
3
40
a3j
9
6
7
50
Задание 2.2.
Найти графоаналитическим методом оптимальное решение задачи нелинейного программирования.
maxZ = 3.6x1
– 0.2x12
+ 0.8x2
– 0.2x22
2x1
+ x2
≥ 10
x12
-10x1
+ x2
≤ 75
x2
≥ 0
Задание 3.1.
После нескольких лет эксплуатации оборудование может оказаться в одном из трех состояний:
1) требуется профилактический ремонт;
2) требуется замена отдельных деталей и узлов;
3) требуется капитальный ремонт.
В зависимости от ситуации руководство предприятия может принять следующие решения:
1) отремонтировать оборудование своими силами, что потребует затрат а
;
2) вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b
;
3) заменить оборудование новым, реализовав устаревшее по остаточной стоимости.. Совокупные затраты на это мероприятие составят с
.
Требуется найти оптимально решение данной проблемы по критерию минимизации затрат с учетом следующих предположений:
а) на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний – q
;
б) имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;
в) о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.
П1
П2
П3
a
13
9
15
b
20
12
11
c
18
10
14
q
0.3
0.45
0.25
λ
= 0.7
Задание 1.2.
Смесь можно составить из n
продуктов Сj
(j=1,n). В каждом из продуктов содержится m
компонентов. Минимально допустимый объем содержания i-го компонента в смеси выражается величиной bi
(i=1,3). Содержание i-го компонента в единице j-го продукта выражается величиной аij.
Цена единицы j-го продукта равна сj.
Составить смесь, минимальную по стоимости, выбрав для решения данной задачи наиболее рациональный способ.
C1
C2
C3
bi
cj
9
6
7
a1j
7
5
8
70
a2j
8
2
3
40
a3j
9
6
7
50
Смесь, минимальная по стоимости:
7x1
+ 5x2
+ 8x3
≥ 70
8x1
+ 2x2
+ 3x3
≥ 40
9x1
+ 6x2
+ 7x3
≥ 50
x1
≥ 0; x2
≥ 0; x3
≥ 0
F = 9x1
+ 6x2
+ 7x3
→ min
После транспонирования матрицы элементов aij
, cсимметричная двойственная задача будет иметь вид:
S(y1
,y2
,y3
) = 70y1
+ 40y2
+ 50y3
→ max , при ограничениях:
7y1
+ 8y2
+ 9y3
≥ 9
5y1
+ 2y2
+ 6y3
≥ 6
8y1
+ 3y2
+ 7y3
≥ 7
y1
≥ 0; y2
≥ 0; y3
≥ 0
Для решения двойственной задачи линейного программирования симплекс – методом, приведём систему неравенств к виду системы уравнений:
7y1
+ 8y2
+ 9y3
+ y4
≥ 9
5y1
+ 2y2
+ 6y3
+ y5
≥ 6
8y1
+ 3y2
+ 7y3
+ y6
≥ 7
y1
≥0;y2
≥0;y3
≥0;y1
≥0;y2
≥0;y3
≥0
S(y1
,y2
,y3
) = 70y1
+ 40y2
+ 50y3
→ max
По правилу соответствия переменных, базисным переменным прямой задачи соответствуют свободные переменные двойственной задачи:
x1
x2
x3
x4
x5
x6
y1
y2
y3
y4
y5
y6
Первая симплексная таблица:
Базис
Сб
А0
y1
70
y2
40
y3
50
y4
0
y5
0
y6
0
y4
0
9
7
8
9
1
0
0
y5
0
6
5
2
6
0
1
0
y6
0
7
8
3
7
0
0
1
0
-70
-40
-50
0
0
0
Вторая симплексная таблица:
Базис
Сб
А0
y1
70
y2
40
y3
50
y4
0
y5
0
y6
0
y4
0
23/8
0
43/8
23/8
1
0
-7/8
y5
0
13/8
0
1/8
13/8
0
1
-5/8
y1
70
7/8
1
3/8
7/8
0
0
1/8
245/4
0
-55/4
45/4
0
0
35/4
Третья симплексная таблица:
Базис
Сб
А0
y1
70
y2
40
y3
50
y4
0
y5
0
y6
0
Y2
40
23/43
0
1
23/43
8/43
0
-7/43
y5
0
67/43
0
0
67/43
-1/43
1
-26/43
y1
70
29/43
1
0
29/43
-3/43
0
8/43
2950/43
0
0
800/43
110/43
0
280/43
В последней таблице в строке Δ нет отрицательных элементов. В соответствии с критерием оптимальности точка максимума Smax
= 2950/43 достигнута при значениях: y1
= 29/43; y2
= 23/43; y3
= 0.
По теореме двойственности: Fmin
= Smax
= 2950/43.
На основании правила соответствия между переменными, оптимальное решение прямой задачи:
y4
x1
= 110/43 y5
x2
= 0 y6
x3
= 280/43
Ответ:
В смесь минимальной стоимости 2950/43 целесообразно включить 110/43 единиц продукта C1
, 280/43 единиц продукта C3
, а продукт C2
не включать.
Задание 2.2.
Найти графоаналитическим методом оптимальное решение задачи нелинейного программирования.
maxZ = 3.6x1
– 0.2x12
+ 0.8x2
– 0.2x22
2x1
+ x2
≥ 10
x12
-10x1
+ x2
≤ 75
x2
≥ 0
В данной задаче имеется нелинейная целевая функция с нелинейной системой ограничений. Графическая схема позволит определить положение точки оптимума.
Сначала необходимо преобразовать формулу целевой функции так, чтобы получить её графическое отображение. Воспользуемся методом выделения полного квадрата двучлена относительно x1
и x2
, разделив левую и правую части формулы на -0.2:
-5Z = x12
-18x1
+ x22
– 4x2
Добавим к левой и правой частям уравнения числа, необходимые для выделения полных квадратов двучлена в правой части выражения:
92
и 22
в сумме составляют 85:
85 – 5Z = (x1
– 9)2
+ (x2
– 2)2
В результате получилась формула, позволяющая графически изобразить целевую функцию в виде линии уровня на плоскости X1
OX2
. Данные линии уровня представляют собой окружности с общим центром в точке O (9;2). Данная точка является точкой абсолютного экстремума целевой функции.
Для определения характера экстремума нужно провести анализ целевой функции на выпуклость/вогнутость. Для этого необходимо определить вторые частные производные и составить из них матрицу:
Z”x1x1
Z”x1x2
= -0.4 0
Z”x2x1
Z”x2x2
0 -0.4
Определим знаки главных миноров данной матрицы.
Главный минор первого порядка -0.4 < 0.
Главный минор второго порядка 0.16 > 0.
Т.к. знаки миноров чередуются, функция Z - строго вогнута. Экстремум вогнутых функций – max, следовательно в точке О у целевой функции находится абсолютный максимум.
Для построения области допустимых значений преобразуем второе неравенство системы ограничений:
x12
– 10x1
+ x2
≤ 75
x12
– 10x1
+ 25 + x2
≤ 100
(x1
– 5)2
+ x2
≤ 100
(x1
– 5)2
≤ 100 – x2
Уравнение (x1
– 5)2
= 100 – x2
выразим через переменные x1*
и x2*
:
x1*
= x1
– 5
x2*
= 100 – x2
Уравнение примет вид: x1*2
= x2*
.
В системе координат X1*
O*
X2*
данное уравнение является каноническим уравнением параболы.
На рисунке область допустимых значений – ограниченная часть плоскости ABCD. Из полученного графика видно, что точка абсолютного максимума Z лежит внутри ОДР. Следовательно, целевая функция принимает максимальное значение в этой точке:
max Z = Z(O) = Z(9;2) = 17
Задание 3.1
После нескольких лет эксплуатации оборудование может оказаться в одном из трех состояний:
1) требуется профилактический ремонт;
2) требуется замена отдельных деталей и узлов;
3) требуется капитальный ремонт.
В зависимости от ситуации руководство предприятия может принять следующие решения:
1) отремонтировать оборудование своими силами, что потребует затрат а
;
2) вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b
;
3) заменить оборудование новым, реализовав устаревшее по остаточной стоимости.. Совокупные затраты на это мероприятие составят с
.
Требуется найти оптимально решение данной проблемы по критерию минимизации затрат с учетом следующих предположений:
а) на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний – q
;
б) имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;
в) о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.
П1
П2
П3
a
13
9
15
b
20
12
11
c
18
10
14
q
0.3
0.45
0.25
λ
= 0.7
Составим платёжную матрицу, в которой Пj
– состояния оборудования, Аi
– альтернативы принятия решений:
П1
П2
П3
А1
-13
-9
-15
А2
-20
-12
-11
А3
-18
-10
-14
Для принятия оптимального решения в случае а). воспользуемся критерием Байеса; в случае б). критерием Лапласа; в случае в). критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица.
а).
на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний: q1
= 0.3; q2
= 0.45; q3
= 0.25
Критерий Байеса.
Для каждой альтернативы найдём средний выигрыш: `ai = ∑aij×qj
`a1
= -11.7 `a2
= -14.15 `a3
= -13.4
П1
П2
П3
`ai
А1
-13
-9
-15
-11.7
А2
-20
-12
-11
-14.15
А3
-18
-10
-14
-13.4
qj
0.3
0.45
0.25
Из средних выигрышей выбираем максимальный: maxai = `a1 = -11.7
– первая альтернатива оптимальна в случае известных вероятностей наступления событий при выборе решения по критерию Байеса.
б).
имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;
Критерий Лапласа.
Для каждой альтернативы найдём средний выигрыш: `ai = 1/3∑aij
`a1
= -12.3 `a2
= -14.3 `a3
= -14
П1
П2
П3
`ai
А1
-13
-9
-15
-12.3
А2
-20
-12
-11
-14.3
А3
-18
-10
-14
-14
Из средних выигрышей выбираем максимальный: maxai = `a1 = -12.3
– первая альтернатива оптимальна в случае равной вероятности наступления событий при выборе решения по критерию Лапласа.
в).
о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.
Критерий Вальда.
Для каждой альтернативы определим наихудший исход. di
– минимальный элемент строки. Из наихудших исходов выбираем наилучший, т.е. максимальный di
.
П1
П2
П3
di
А1
-13
-9
-15
-15
А2
-20
-12
-11
-20
А3
-18
-10
-14
-18
maxdi = d1 = -15
– первая альтернатива оптимальна по критерию Вальда.
Критерий Сэвиджа.
Для каждого столбца находим максимальный элемент βj
.
П1
П2
П3
А1
-13
-9
-15
А2
-20
-12
-11
А3
-18
-10
-14
βj
-13
-9
-11
Построим матрицу рисков, элементы которой: rij = βj - aij
max ri
0
0
4
4
7
3
0
7
5
1
3
5
В матрице рисков в каждой строке найдём максимальный риск, и из них выберем минимальный: minr = r1 = 4
– первая альтернатива оптимальна по критерию Сэвиджа.
Критерий Гурвица.
Для каждой строки находим минимальный di
и максимальный βj
.
П1
П2
П3
di
βj
χi
А1
-13
-9
-15
-15
-9
-13.2
А2
-20
-12
-11
-20
-11
-17.3
А3
-18
-10
-14
-18
-10
-15.6
χi = λ × di
+ (1 – λ) × βj
λ
= 0.7
Максимальный из элементов последнего столбца: max χi = χ1
= -13.2
– первая альтернатива оптимальна по критерию Гурвица.