если х2
= 0, то х1
£ 5 точки прямой 1: (0; 2,5) и (5; 0)
3 х1
+ х2
³ 5, если х1
= 0, то х2
³ 5
если х2
= 0, то х1
³ 1, 67 точки прямой 2: (0; 5) и (1,67; 0)
Найдем координаты точек A, B, C, D:
A (1,67; 0) и D (4; 0) – из неравенств
B (1; 2) как точка пересечения прямых из системы
С (4; 0,5) – x1
= 4 из неравенства x1
<4, а x2
из уравнения 4 + 2 x2
= 5
Вычислим значение функции в этих точках:
A: f (x) = 2 * 1,67 + 4 * 0 = 3,33
B: f (x) = 2 * 1 + 4 * 2 = 10
C: f (x) = 2 * 4 + 4 * 0,5 = 10
D: f (x) =2 * 4 + 4 * 0 = 8
Функция принимает минимальное значение в точке A (1,67; 0).
6. Решить задачу
Механический завод при изготовлении 3-х разных деталей использует токарный, фрезерный и строгальный станки. при этом обработку каждой детали можно вести 2-мя разными способами. В таблице указаны ресурсы времени каждой группы станков, нормы времени при обработке детали на соответствующем станке по данному технологическому способу и прибыль от выпуска единицы детали каждого вида.
Норма времени, станко/час
Ресурсы времени
Станок
I деталь
II деталь
III деталь
1
2
1
2
1
2
Токарный
0,4
0,9
0,5
0,5
0,7
–
250
Фрезерный
0,5
–
0,6
0,2
0,3
1,4
450
Строгальный
0,3
0,5
0,4
1,5
–
1,0
600
Прибыль
12
18
30
Определить производственную программу, обеспечивающую максимальную прибыль.
Решение:
Пусть x1, x2, x3 – загрузка станков.
Таким образом 0 £ x1 £ 250;
0 £ x2 £ 450;
0 £ x3 £ 600.
При первом способе технологической обработки получаем:
0,4 x1 + 0,5 x2 + 0,7 x3 £ 250
0,5 x1 + 0,6 x2 + 0,3 x3 £ 450
0,3 x1 + 0,4 x2 £ 600
0,4 x1 + 0,5 x2 + 0,3 x3 ³ 12
0,5 x1 + 0,6 x2 + 0,4 x3 ³ 18
0,7 x1 + 0,3 x2 ³ 30
Необходимо найти решение, при котором f (x) = 12 x1 + 18 x2 + 30 x3 –> max
Каноническая форма записи:
x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0, xi
> 0, i = 4, 5,…12
x1 + x4 = 250; x2 + x5 = 450; x3 + x6 = 600
0,4 x1 + 0,5 x2 + 0,7 x3 + x7 = 250
0,5 x1 + 0,6 x2 + 0,3 x3 + x8 = 450
0,3 x1 + 0,4 x2 + x9 = 600
0,4 x1 + 0,5 x2 + 0,3 x3 – x10 = 12
0,5 x1 + 0,6 x2 + 0,4 x3 – x11 = 18
0,7 x1 + 0,3 x2 + x12 = 30
f (x) = 12 x1 + 18 x2 + 30 x3 –> max
Стандартная форма записи:
x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0
x1 £ 250, x2 £ 450, x3 £ 600
-0,4 x1 - 0,5 x2 - 0,7 x3 ³ -250
-0,5 x1 - 0,6 x2 - 0,3 x3 ³ -450
-0,3 x1 - 0,4 x2 ³ -600
-0,4 x1 - 0,5 x2 - 0,3 x3 £ -12
-0,5 x1 - 0,6 x2 - 0,4 x3 £ -18
-0,7 x1 - 0,3 x2 £ -30
f (x) = -12 x1 - 18 x2 - 30 x3 –> min
Находим, что: x1 = 0,25 x2 = 0,8 x3 = 277
Значение функции: f (x) = 12 * 0,25 + 18 * 0,8 + 30 * 277 = 10082