Главная      Учебники - Экономика     Лекции по экономике - часть 16

 

поиск по сайту            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

содержание   ..  504  505  506   ..

 

 

Комплексная статистическая обработка экспериментальных данных

Комплексная статистическая обработка экспериментальных данных

Министерство образования и науки Украины

Пояснительная записка

к курсовой работе

по дисциплине Статистика

Комплексная статистическая обработка экспериментальных данных


Объектом исследования данной работы является комплексный анализ сгенерированных выборок случайных величин и подбор их закона распределения.

Целью работы является изучение методов и приемов анализа статистической информации, получение навыков и опыта работы в пакете STATISTICA.

В данной работе применялись широко используемые статистические методы обработки и анализа данных.

Результатом работы является освоение методов обработки данных статистического наблюдения, их анализа с помощью обобщающих показателей, установление теоретических законов распределения случайных величин и доказательство адекватности этих законов.

Данную курсовую работу можно использовать в качестве наглядного пособия по обработке статистических данных для различных учебных целей и задач.


Задание на курсовой проект

По специально сгенерированному имитатору получить последовательности случайных чисел двух типов:

а) ,

где – номер варианта,

- номер измерения случайной величины,

– случайное число, возвращаемое при обращении к стандартной функции выбранного языка программирования – датчику случайных чисел.

б) .

Для исследований предусмотреть следующие объёмы измерений для каждой из случайных величин: 100, 200, …, 1000 (объёмы выборок).

Произвести статистический анализ каждой из полученных выборок для двух случайных величин в следующей последовательности:

а) найти размах варьирования;

б) определить целесообразное количество групп по формуле Стерджесса, построить группировку и интервальный ряд;

в) привести графическое изображение полигона частот, гистограммы, кумуляты и эмпирической функции распределения;

г) вычислить и проанализировать точечные оценки и для простого и интервального рядов; построить и проанализировать зависимость величины точечной оценки от объема выборки и от номера эксперимента (10 выборок для объема выборки 1000);

д) построить доверительные интервалы для и , используя различные значения доверительной вероятности (0,9; 0,95; 0,975; 0,995; 0,999) и проанализировать зависимость длины доверительного интервала от объёма выборки и от величины доверительной вероятности;

е) вычислить и проанализировать медиану, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии и эксцесс, моду; проанализировать зависимости числовых характеристик от объема выборки;

ж) оценить однородность каждой из выборок, используя:

1) коэффициент вариации;

2) метод -статистик Ирвина.

з) определить, близки ли к нормальному распределению полученные эмпирические распределения на основе:

1) анализа числовых характеристик положения и вариации;

2) на основе критерия согласия Пирсона;

и) по виду гистограмм выдвинуть гипотезу о предполагаемых законах распределений исследуемых случайных величин, определить оценки параметров предполагаемых распределений (метод моментов и максимального правдоподобия) и проверить гипотезу о законе распределения по критерию Пирсона.


Введение

С давних пор человечество осуществляло учет многих сопутствующих его жизнедеятельности явлений и предметов, а также связанных с ними вычислений. Люди получали разносторонние, хотя и различающиеся полнотой сведения на различных этапах общественного развития. Данные учитывались повседневно в процессе принятия хозяйственных решений, а в обобщенном виде и на государственном уровне – при определении направления экономической и социальной политики, характера внешнеполитической деятельности.

Выполняя самые разнообразные функции сбора, систематизации и анализа сведений, характеризующих экономическое и социальное развитие общества, статистика всегда играла роль главного поставщика факторов для управленческих, научно-исследовательских и прикладных практических нужд различного рода структур, организаций и населения. Роль статистики в нашей жизни настолько значительна, что люди, часто не задумываясь и не осознавая, постоянно используют элементы статистической методологии в повседневной практике.

Применяя статистические методы в экономических исследованиях, можно осуществлять стратегическое планирование, а также анализировать и прогнозировать рыночную конъюнктуру, уменьшая степень неопределенности в отношении внешнего окружения.

С увеличением объемов информации, становится актуальным вопрос ее компьютерной обработки. Получение навыков обработки и анализа экспериментальных данных с помощью компьютера, например, в пакете STATISTICA дает возможность получить полную информацию об исследуемом объекте и найти оптимальное решение конкретной поставленной задачи.


1. Генерация исходных данных

В данной курсовой работе вместо статистического наблюдения используются случайные величины, сгенерированные по следующим формулам:

1) непрерывная случайная величина X, определяемая по формуле 1.1;

(1.1)

2) непрерывная случайная величина У, определяемая по формуле 1.2.

(1.2)

где , - значения случайной величины X и У в различных опытах;

- случайное число, равномерно распределенное на отрезке [0, 1], возвращаемое при обращении к стандартной функции на выбранном языке программирования к датчику случайных чисел; Для генерации исходных данных были использованы следующие методы:

1) Для случайной величины в окне Variable в поле LongName была введена формула 1.3:

(1.3)

2) Для случайной величины был создан программный имитатор в модуле STATISTICABASIC. Реализация алгоритма генерации данных в модуле STATISTICABASIC приведена в приложении А.

В результате были получены выборки, объемом 100, 200…1000 значений для каждой из случайных величин.


2. Первичная обработка результатов наблюдения

2.1 Построение вариационного ряда

Вариационный ряд - упорядоченные по возрастанию значения признака.

Построение вариационного ряда в пакете STATISTICA производилось следующим образом:

вмодуле Basic Statistics and Tables: Analysis → Frequency tables → кнопка Variables длявыборапеременной → отметилиAlldistinctvalues → ОК.

Размах варьирования – абсолютная величина разности между максимальным и минимальным значениями (вариантами) изучаемого признака:

(2.1)

Построение размаха варьирования в пакете STATISTICA производилось следующим образом:

в модуле Basic Statistics and Tables: Analysis → Descriptive statistics → Variables (выбратьпеременную) → нажали Box & whisker plot for all variables → выбрали Median / Quart. / Range → ОК.

Значения размаха варьирования для заданных выборок в таблице 2.1.

Таблица 2.1 – Размах варьирования для заданных выборок

Выборка
100 25,201 6,993 18,209 28,805 2,429 26,376
500 25,110 6,984 18,126 33,695 0,196 33,499
1000 25,237 6,711 18,466 33,962 -1,574 35,536

Случайная величина имеет меньший размах, чем случайная величина .

2.2 Группировка статистических данных

Число групп определяется по формуле Стерджесса (2.2):

, (2.2)

где – количество групп;

– объем выборки.

После определения числа групп следует определить интервалы группировки - значения варьирующего признака, лежащие в определенных границах. Величина равного интервала определяется по формуле (2.3):

(2.3)
,

где – число групп интервалов,

– размах выборки .

Ниже приведены значения числа групп интервалов для всех выборок:

При : .

При : .

При : .

При : .

При : .

При : .

При : .

При : .

При : .

При : .

Построение интервального ряда в пакете STATISTICA производилось следующим образом:

а) Analysis→Frequency tables→Variables(выбралипеременную);

б) установили количество интервалов в “No. of exact intervals”, посчитанных по формуле Стерджесса;

в) установили флажки в Display options:

- Cumulative frequencies – накопленные частоты;

- Percentages - частости;

- Cumulative percentages – накопленные частости.

Интервальные ряды по каждой выборке для случайных величин X и Y приведены в таблицах 2.2-2.7 и Д.1-Д.14.

Таблица 2.2 - Интервальный ряд СВ при

Частота Кумул. частота Процент Кумул. процент
5,475289<x<=8,510050 8 8 8,00000 8,0000
8,510050<x<=11,54481 15 23 15,00000 23,0000
11,54481<x<=14,57957 16 39 16,00000 39,0000
14,57957<x<=17,61433 18 57 18,00000 57,0000
17,61433<x<=20,64909 20 77 20,00000 77,0000
20,64909<x<=23,68385 13 90 13,00000 90,0000
23,68385<x<=26,71862 10 100 10,00000 100,0000

Таблица 2.3 - Интервальный ряд СВ при

Частота Кумул. частота Процент Кумул. процент
5,850935<x<=8,116734 25 25 5,00000 5,0000
8,116734<x<=10,38253 62 87 12,40000 17,4000
10,38253<x<=12,64833 64 151 12,80000 30,2000
12,64833<x<=14,91413 55 206 11,00000 41,2000
14,91413<x<=17,17993 70 276 14,00000 55,2000
17,17993<x<=19,44573 64 340 12,80000 68,0000
19,44573<x<=21,71153 74 414 14,80000 82,8000
21,71153<x<=23,97733 59 473 11,80000 94,6000
23,97733<x<=26,24313 27 500 5,40000 100,0000

Таблица 2.4 - Интервальный ряд СВ при

Частота Кумул. частота Процент Кумул. процент
5,745344<x<=7,797069 50 50 5,00000 5,0000
7,797069<x<=9,848795 106 156 10,60000 15,6000
9,848795<x<=11,90052 134 290 13,40000 29,0000
11,90052<x<=13,95225 88 378 8,80000 37,8000
13,95225<x<=16,00397 117 495 11,70000 49,5000
16,00397<x<=18,05570 121 616 12,10000 61,6000
18,05570<x<=20,10742 107 723 10,70000 72,3000
20,10742<x<=22,15915 117 840 11,70000 84,0000
22,15915<x<=24,21087 111 951 11,10000 95,1000
24,21087<x<=26,26260 49 1000 4,90000 100,0000

Таблица 2.5 - Интервальный ряд СВ при

Частота Кумул. Процент Кумул.
0,231076<x<=4,627075 1 1 1,00000 1,0000
4,627075<x<=9,023072 6 7 6,00000 7,0000
9,023072<x<=13,41907 20 27 20,00000 27,0000
13,41907<x<=17,81507 31 58 31,00000 58,0000
17,81507<x<=22,21107 22 80 22,00000 80,0000
22,21107<x<=26,60706 17 97 17,00000 97,0000
26,60706<x<=31,00306 3 100 3,00000 100,0000

Таблица 2.6 - Интервальный ряд СВ при

Частота Кумул. Процент Кумул.
-1,89766<x<=2,289667 2 2 0,40000 0,4000
2,289667<x<=6,476997 21 23 4,20000 4,6000
6,476997<x<=10,66433 59 82 11,80000 16,4000
10,66433<x<=14,85166 125 207 25,00000 41,4000
14,85166<x<=19,03899 147 354 29,40000 70,8000
19,03899<x<=23,22632 99 453 19,80000 90,6000
23,22632<x<=27,41365 39 492 7,80000 98,4000
27,41365<x<=31,60098 7 499 1,40000 99,8000

Таблица 2.7 - Интервальный ряд СВ при

Частота Кумул. Процент Кумул.
-3,54794<x<=0,400491 5 5 0,50000 0,5000
0,400491<x<=4,348925 9 14 0,90000 1,4000
4,348925<x<=8,297359 61 75 6,10000 7,5000
8,297359<x<=12,24579 177 252 17,70000 25,2000
12,24579<x<=16,19423 279 531 27,90000 53,1000
16,19423<x<=20,14266 267 798 26,70000 79,8000
20,14266<x<=24,09110 154 952 15,40000 95,2000
24,09110<x<=28,03953 38 990 3,80000 99,0000
28,03953<x<=31,98797 8 998 0,80000 99,8000
31,98797<x<=35,93640 2 1000 0,20000 100,0000

2.3 Графическое изображение рядов распределения

Графическое изображение интервальных рядов включает построения полигона частот, гистограммы и кумуляты.

В пакете STATISTICA построение полигона происходит следующим образом:

а) Analysis → Frequency tables → Variables (выбратьпеременную);

б) установить количество интервалов в “No. of exact intervals”;

в) Frequency tables → Count;

г) нажать правую кнопку мыши и из выпадающего списка выбрать “Custom Graphs”;

д) 2D Graphs → Graph Type → Line Plot. [1]

Построение кумуляты:

а)Analysis → Frequencytables → Variables (выбрать переменную);

б) установить количество интервалов в “No. ofexactintervals”;

в) Frequency tables → Cumul. Count;

г) нажать правую кнопку мыши и выбрать “Custom Graphs”;

д) 2D Graphs → Graph Type → Line Plot (Bar ).

Построение гистограммы происходит следующим образом:

а) Analysis → Frequency tables → Variables (выбратьпеременную);

б) установить количество интервалов в “No. ofexactintervals”;

в) Frequencytables → Percent;

г) нажать правую кнопку мыши и из выпадающего списка выбрать “CustomGraphs”;

д) 2D Graphs → Graph Type → Bar

2.4 Точечные оценки средних показателей

Точечная оценка математического ожидания по вариационному ряду вычисляется по формуле (2.4):

(2.4)

где – значения элементов выборки.

Оценка дисперсии по вариационному ряду вычисляется по формуле (2.5).

(2.5)

Вычисление оценки математического ожидания по интервальному вариационному ряду осуществляется по формуле (2.6):

(2.6)

где – середина -го интервала;

– статистическая вероятность (частость) попадания в -тый интервал.

Оценка дисперсии для интервального ряда вычисляется по формуле (2.7):

(2.7)

Вычисление точечных оценок по вариационному ряду в пакете STATISTICA:

Analysis → Descriptive statistics → Categorization → Number of intervals (установитьколичествоинтервалов) → More statistics → Mean, Variance. [2]

Значения точечных оценок математического ожидания и дисперсии для простого и интервального рядов приведены в таблице 2.8.

Таблица 2.8 – Оценки математического ожидания и дисперсии

Выборка Математическое ожидание Дисперсия
Простой ряд Интервальный ряд Простой ряд Интервальный ряд
( ) 16,254 16,279 27,849 28,517
( ) 16,189 16,174 26,259 26,598
( ) 15,950 16,006 27,608 28,330
( ) 16,668 16,936 31,125 31,113
( ) 15,989 16,007 30,406 31,242
( ) 15,792 15,740 27,059 28,636

Из приведенных данных видно, что полученные оценки математического ожидания и дисперсии по вариационному (простому) и интервальному рядам имеют близкие значения. Причем, чем больше объем выборки, тем более точный результат. От номера эксперимента, то есть от количества испытаний величины точечной оценки не зависят. Это видно на рисунках 2.25 – 2.32.

Рисунок 2.25 - Зависимость от объема выборки для

Рисунок 2.26 - Зависимость от объема выборки для


Рисунок 2.27 - Зависимость от объема выборки для

Рисунок 2.28 - Зависимость от объема выборки для

Рисунок 2.29 - Зависимость от номера эксперимента по


Рисунок 2.30 - Зависимость от номера эксперимента по

Рисунок 2.31 - Зависимость от номера эксперимента по

Рисунок 2.32 - Зависимость от номера эксперимента по


В таблице 2.9 приведены оценки математического ожидания и дисперсии, вычисленные для 10 выборок по 1000 элементов в каждой для случайной величины и случайной величины .

Таблица 2.9 – Точечные оценки выборок из 1000 элементов для и

Выборка
1 15,792 27,832 15,754 27,421
2 16,193 29,501 16,283 29,650
3 16,076 29,006 15,900 28,716
4 16,052 28,884 16,096 26,124
5 15,968 28,508 15,947 30,983
6 16,212 28,710 16,163 29,956
7 16,215 28,747 16,030 30,011
8 15,945 27,243 16,428 29,069
9 16,080 28,103 16,054 28,265
10 15,853 28,369 15,980 28,913

2.5 Доверительные интервалы

Для того чтобы оценить достоверность оценок, вводят понятие доверительный интервал и доверительная вероятность.

(2.7)
Доверительный интервал для математического ожидания определяется по формуле (2.7):

где – математическое ожидание генеральной совокупности;

- доверительная вероятность;

- оценка математического ожидания;

(2.8)
- величина доверительного интервала, вычисляется по формуле (2.8):

где - квантиль нормального распределения, получается обратным интерполированием из таблицы для функции распределения стандартного нормального закона. Вычисляется по формуле (2.9).

(2.10)
(2.9)

- оценка дисперсии, вычисляется по формуле (2.10).

Доверительный интервал для дисперсии определяется по формуле (2.11).

(2.12)
,

где – дисперсия генеральной совокупности;

– оценка дисперсии.

– квантиль нормального распределения.

Оценка стандартного отклонения в зависимости от закона распределения случайной величины имеет различное значение.

Для нормального закона распределения эта величина будет равна:


Для равномерного:

Ниже в таблицах 2.10-2.21 приведены доверительные интервалы математического ожидания исследуемых выборок.

-точный метод

Таблица 2.10 - Доверительные интервалы для СВ ,

15,378 17,130
15,207 17,301
15,053 17,455
14,739 17,769
14,481 18,027

-грубый метод

Таблица 2.11 – Доверительные интервалы для СВ ,

15,376 17,132
15,207 17,301
15,058 17,450
14,753 17,755
14,508 18,000

-точный метод

Таблица 2.12 - Доверительные интервалы для СВ ,

15,811 16,566
15,738 16,639
15,673 16,704
15,542 16,835
15,408 16,940

-грубый метод

Таблица 2.13 – Доверительные интервалы для СВ ,

15,795 16,553
15,722 16,626
15,657 16,691
15,526 16,822
15,420 16,928

-точный метод

Таблица 2.14 - Доверительные интервалы для СВ ,

15,677 16,224
15,624 16,276
15,577 16,323
15,483 16,418
15,447 16,565

-грубый метод

Таблица 2.15 – Доверительные интервалы для СВ ,

15,729 16,283
15,676 16,336
15,629 16,383
15,533 16,479
15,456 16,556

-точный метод

Таблица 2.16 – Доверительные интервалы для СВ ,

15,742 17,595
15,561 17,775
15,399 17,938
15,066 18,270
15,084 18,788

-грубый метод

Таблица 2.17 – Доверительные интервалы для СВ ,

16,018 17,854
15,843 18,029
15,687 18,185
15,369 18,503
15,112 18,760

-точный метод

Таблица 2.18 – Доверительные интервалы для СВ ,

15,583 16,396
15,505 16,474
15,435 16,544
15,294 16,685
15,177 16,837

-грубый метод


Таблица 2.19 – Доверительные интервалы для СВ ,

15,596 16,418
15,517 16,497
15,447 16,567
15,305 16,709
15,190 16,824

-точный метод

Таблица 2.20 – Доверительные интервалы для СВ ,

15,521 16,063
15,469 16,115
15,423 16,161
15,329 16,255
15,178 16,302

-грубый метод

Таблица 2.21 – Доверительные интервалы для СВ ,

15,462 16,018
15,408 16,072
15,361 16,119
15,264 16,216
15,187 16,293

Длины доверительных интервалов для математического ожидания при различных уровнях доверительной вероятности приведены в таблице 2.22.

Таблица 2.22 – Длины доверительных интервалов

Длина интервала
( ) 1,752 2,094 2,402 3,03 3,546
( ) 0,755 0,901 1,031 1,293 1,532
( ) 0,547 0,652 0,746 0,935 1,118
( ) 1,853 2,214 2,539 3,204 3,704
( ) 0,813 0,969 1,109 1,391 1,66
( ) 0,542 0,646 0,738 0,926 1,124

В таблицах 2.23 – 2.34 указаны доверительные интервалы дисперсии исследуемых выборок.

-точный метод

Таблица 2.23 – Доверительные интервалы для СВ ,

25,059 32,793
24,452 33,693
23,926 34,524
22,914 36,280
22,095 37,873

-грубый метод

Таблица 2.24 – Доверительные интервалы для СВ ,

26,084 30,950
25,619 31,415
25,205 31,829
24,362 32,672
23,681 33,353

-точный метод


Таблица 2.25 – Доверительные интервалы для СВ ,

23,373 30,586
22,807 31,426
22,316 32,201
21,372 33,838
20,608 35,324

-грубый метод

Таблица 2.26 – Доверительные интервалы для СВ ,

24,329 28,867
23,895 29,301
23,508 29,688
22,722 30,474
22,088 31,108

-точный метод

Таблица 2.27 – Доверительные интервалы для СВ ,

22,258 29,128
21,719 29,928
21,252 30,666
20,354 32,225
19,626 33,640

-грубый метод

Таблица 2.28 – Доверительные интервалы для СВ ,

23,169 27,491
22,756 27,904
22,388 28,272
21,639 29,021
21,035 29,625

-точный метод

Таблица 2.29 – Доверительные интервалы для СВ ,

27,340 35,779
26,678 36,761
26,104 37,667
25,000 39,582
24,106 41,321

-грубый метод

Таблица 2.30 – Доверительные интервалы для СВ ,

28,459 33,767
27,951 34,275
27,499 34,727
26,579 35,647
25,837 36,389

-точный метод

Таблица 2.31 – Доверительные интервалы для СВ ,

26,575 34,777
25,931 35,732
25,374 36,613
24,301 38,474
23,431 40,164

-грубый метод

Таблица 2.32 – Доверительные интервалы для СВ ,

27,662 32,822
27,168 33,316
26,729 33,755
25,835 34,649
25,114 35,370

-точный метод

Таблица 2.33 – Доверительные интервалы для СВ ,

25,163 32,930
24,554 33,834
24,026 34,668
23,010 36,431
22,187 38,031

-грубый метод

Таблица 2.34 – Доверительные интервалы для СВ ,

26,193 31,079
25,726 31,546
25,310 31,962
24,463 32,809
23,780 33,492

В таблице 2.35 показано изменение длины доверительного интервала для дисперсии в зависимости от объема выборки и величины доверительной вероятности.


Таблица 2.35 – Длины доверительных интервалов

Величина интервала
( ) 7,734 9,241 10,598 13,366 15,778
( ) 7,213 8,619 9,885 12,466 14,716
( ) 4,322 5,148 5,884 7,382 8,590
( ) 8,439 10,083 11,563 14,582 17,215
( ) 8,202 9,801 11,239 14,173 16,733
( ) 7,767 9,280 10,642 13,421 15,844

Анализируя полученные данные можно заметить, что при увеличении уровня доверительной вероятности увеличивается величина доверительного интервала, а при увеличении объема выборки она уменьшается. Это справедливо как для доверительных интервалов математического ожидания, так и для дисперсии. [3]

2.6 Другие точечные оценки интервального ряда (мода, медиана, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии, эксцесс)

Модой в вариационном ряду является наиболее часто встречающееся значение признака.

Мода по интервальному ряду вычисляется по формуле (2.13):

(2.13)

где – левая граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частость);

– величина интервала группировки;

– частота модального интервала;

– частота интервала, предшествующего модальному;

– частота интервала, следующего за модальным.

Медиана – серединное наблюдение в выборке длиной n.

При нечетном n медиана в вариационном ряду есть значение ряда с номером .

При четном n медиана есть полусумма значений с номерами и . В интервальном ряду для нахождения медианы применяется формула (2.14):

(2.14)

где – нижняя граница медианного интервала (медианным называется интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);

– величина интервала группировки;

– частота медианного интервала;

– накопленная частота интервала, предшествующего медианному.

Коэффициент вариации вычисляется по формуле (2.15):

(2.15)

На основе момента третьего порядка (смотри формулу 2.16) выборочный коэффициент асимметрии находится по формуле (2.17):


(2.16)
(2.17)

С помощью момента четвертого порядка характеризуют свойство рядов распределения, называемое эксцессом. Показатель эксцесса для ранжированного ряда находится по формуле (2.18).

(2.18)

Вычисление точечных оценок по вариационному ряду в пакете STATISTICA происходит следующим образом:

Analysis → Descriptive statistics:

а) Categorization → Number of intervals (установитьколичествоинтервалов);

б) нажать кнопку Morestatistics → откроется окно Statistics, где можно выбрать следующие показатели:

- Mean – выборочное среднее;

- Median – медиана;

- StandardDeviation – стандартное отклонение среднего значения;

- Variance – выборочная дисперсия;

- Skewness – выборочный коэффициент асимметрии;

- Kurtosis – выборочный коэффициент эксцесса;

в) выбрать необходимые параметры и нажать ОК.

Значения медианы, коэффициента вариации, коэффициента ассиметрии и эксцесса приведены в таблице 2.36.


Таблица 2.36 - Медиана, коэффициент вариации, коэффициент ассиметрии и эксцесс

Выборка Медиана Коэф. ассиметрии Эксцесс Коэф. вариации
( ) 16,587 -0,009 -1,017 0,326
( ) 16,501 -0,058 -1,160 0,317
( ) 16,119 0,007 -1,192 0,329
( ) 16,531 -0,086 -0,449 0,335
( ) 16,013 -0,022 -0,138 0,345
( ) 15,795 -0,080 0,170 0,329

Анализируя полученные данные, можно сказать, что обе случайные величины имеют практически симметричное распределение, т. к. коэффициенты асимметрии всех выборок близки к нулю,

Случайная величина имеет более пологое распределение (эксцесс для всех ее выборок имеет отрицательное значение). А эксцесс выборок случайной величины практически равен нулю, т.е. "крутизна" распределения случайной величины Y близка к нормальному распределению.

2.7 Оценка однородности выборки

Любая исследуемая совокупность содержит как значения признаков, сложившихся под влиянием факторов, непосредственно характерных для анализируемой совокупности, так и значения признаков, полученных под воздействием иных факторов, не характерных для основной совокупности.

Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному). [4]

Из таблицы 2.36 видно, что однородными можно считать выборки случайной величины при равном 100, 500, 1000 и при n равном 1000.

Однородность выборки можно проверить, также используя метод Ирвина, основанный на определении -статистики. При его использовании выявление аномальных наблюдений производится по формуле (2.19).

(2.19)

где – упорядоченная (по возрастанию или по убыванию) исследуемая совокупность;

– значение ряда;

– предыдущее значение ряда;

– среднеквадратическое отклонение.

Если расчетное значение превысит уровень критического, то оно признается аномальным.

Произведя соответствующие расчёты в MicrosoftExcel мы убедились, что ни одно из расчётных значений не превышает уровень критического значения. Это значит, что все выборки случайных величин и – однородны.

2.8 Проверка нормальности эмпирического распределения

2.8.1 Проверка нормальности эмпирического распределения на основе анализа точечных оценок числовых характеристик

Если среднее арифметическое, медиана и мода имеют близкие значения, это указывает на вероятное соответствие изучаемого распределения нормальному закону. Для нормального распределения коэффициент асимметрии и эксцесса равны нулю, а для равномерного эксцесс равен -1,2.

В таблице 2.37 приведены данные для проверки вышеуказанных утверждений.

 

 

 

 

 

 

 

содержание   ..  504  505  506   ..