Министерство образования и науки Украины
Пояснительная записка
к курсовой работе
по дисциплине Статистика
Комплексная статистическая обработка экспериментальных данных
Объектом исследования данной работы является комплексный анализ сгенерированных выборок случайных величин и подбор их закона распределения.
Целью работы является изучение методов и приемов анализа статистической информации, получение навыков и опыта работы в пакете STATISTICA.
В данной работе применялись широко используемые статистические методы обработки и анализа данных.
Результатом работы является освоение методов обработки данных статистического наблюдения, их анализа с помощью обобщающих показателей, установление теоретических законов распределения случайных величин и доказательство адекватности этих законов.
Данную курсовую работу можно использовать в качестве наглядного пособия по обработке статистических данных для различных учебных целей и задач.
Задание на курсовой проект
По специально сгенерированному имитатору получить последовательности случайных чисел двух типов:
а)
,
где
– номер варианта,
- номер измерения случайной величины,
– случайное число, возвращаемое при обращении к стандартной функции выбранного языка программирования – датчику случайных чисел.
б)
.
Для исследований предусмотреть следующие объёмы измерений для каждой из случайных величин: 100, 200, …, 1000 (объёмы выборок).
Произвести статистический анализ каждой из полученных выборок для двух случайных величин в следующей последовательности:
а) найти размах варьирования;
б) определить целесообразное количество групп по формуле Стерджесса, построить группировку и интервальный ряд;
в) привести графическое изображение полигона частот, гистограммы, кумуляты и эмпирической функции распределения;
г) вычислить и проанализировать точечные оценки
и
для простого и интервального рядов; построить и проанализировать зависимость величины точечной оценки от объема выборки и от номера эксперимента (10 выборок для объема выборки 1000);
д) построить доверительные интервалы для
и
, используя различные значения доверительной вероятности (0,9; 0,95; 0,975; 0,995; 0,999) и проанализировать зависимость длины доверительного интервала от объёма выборки и от величины доверительной вероятности;
е) вычислить и проанализировать медиану, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии и эксцесс, моду; проанализировать зависимости числовых характеристик от объема выборки;
ж) оценить однородность каждой из выборок, используя:
1) коэффициент вариации;
2) метод
-статистик Ирвина.
з) определить, близки ли к нормальному распределению полученные эмпирические распределения на основе:
1) анализа числовых характеристик положения и вариации;
2) на основе критерия согласия Пирсона;
и) по виду гистограмм выдвинуть гипотезу о предполагаемых законах распределений исследуемых случайных величин, определить оценки параметров предполагаемых распределений (метод моментов и максимального правдоподобия) и проверить гипотезу о законе распределения по критерию Пирсона.
Введение
С давних пор человечество осуществляло учет многих сопутствующих его жизнедеятельности явлений и предметов, а также связанных с ними вычислений. Люди получали разносторонние, хотя и различающиеся полнотой сведения на различных этапах общественного развития. Данные учитывались повседневно в процессе принятия хозяйственных решений, а в обобщенном виде и на государственном уровне – при определении направления экономической и социальной политики, характера внешнеполитической деятельности.
Выполняя самые разнообразные функции сбора, систематизации и анализа сведений, характеризующих экономическое и социальное развитие общества, статистика всегда играла роль главного поставщика факторов для управленческих, научно-исследовательских и прикладных практических нужд различного рода структур, организаций и населения. Роль статистики в нашей жизни настолько значительна, что люди, часто не задумываясь и не осознавая, постоянно используют элементы статистической методологии в повседневной практике.
Применяя статистические методы в экономических исследованиях, можно осуществлять стратегическое планирование, а также анализировать и прогнозировать рыночную конъюнктуру, уменьшая степень неопределенности в отношении внешнего окружения.
С увеличением объемов информации, становится актуальным вопрос ее компьютерной обработки. Получение навыков обработки и анализа экспериментальных данных с помощью компьютера, например, в пакете STATISTICA дает возможность получить полную информацию об исследуемом объекте и найти оптимальное решение конкретной поставленной задачи.
1. Генерация исходных данных
В данной курсовой работе вместо статистического наблюдения используются случайные величины, сгенерированные по следующим формулам:
1) непрерывная случайная величина X, определяемая по формуле 1.1;
(1.1)
2) непрерывная случайная величина У, определяемая по формуле 1.2.
(1.2)
где
,
- значения случайной величины X и У в различных опытах;
- случайное число, равномерно распределенное на отрезке [0, 1], возвращаемое при обращении к стандартной функции на выбранном языке программирования к датчику случайных чисел; Для генерации исходных данных были использованы следующие методы:
1) Для случайной величины
в окне Variable в поле LongName была введена формула 1.3:
(1.3)
2) Для случайной величины
был создан программный имитатор в модуле STATISTICABASIC. Реализация алгоритма генерации данных в модуле STATISTICABASIC приведена в приложении А.
В результате были получены выборки, объемом 100, 200…1000 значений для каждой из случайных величин.
2. Первичная обработка результатов наблюдения
2.1 Построение вариационного ряда
Вариационный ряд - упорядоченные по возрастанию значения признака.
Построение вариационного ряда в пакете STATISTICA производилось следующим образом:
вмодуле Basic Statistics and Tables: Analysis → Frequency tables → кнопка Variables длявыборапеременной → отметилиAlldistinctvalues → ОК.
Размах варьирования
– абсолютная величина разности между максимальным
и минимальным
значениями (вариантами) изучаемого признака:
(2.1)
Построение размаха варьирования в пакете STATISTICA производилось следующим образом:
в модуле Basic Statistics and Tables: Analysis → Descriptive statistics → Variables (выбратьпеременную) → нажали Box & whisker plot for all variables → выбрали Median / Quart. / Range → ОК.
Значения размаха варьирования для заданных выборок в таблице 2.1.
Таблица 2.1 – Размах варьирования для заданных выборок
|
|
| Выборка |
|
|
|
|
|
|
| 100 |
25,201 |
6,993 |
18,209 |
28,805 |
2,429 |
26,376 |
| 500 |
25,110 |
6,984 |
18,126 |
33,695 |
0,196 |
33,499 |
| 1000 |
25,237 |
6,711 |
18,466 |
33,962 |
-1,574 |
35,536 |
Случайная величина
имеет меньший размах, чем случайная величина
.
2.2 Группировка статистических данных
Число групп определяется по формуле Стерджесса (2.2):
, (2.2)
где
– количество групп;
– объем выборки.
После определения числа групп следует определить интервалы группировки - значения варьирующего признака, лежащие в определенных границах. Величина равного интервала определяется по формуле (2.3):
,где
– число групп интервалов,
– размах выборки .
Ниже приведены значения числа групп интервалов для всех выборок:
При
:
.
При
:
.
При
:
.
При
:
.
При
:
.
При
:
.
При
:
.
При
:
.
При
:
.
При
:
.
Построение интервального ряда в пакете STATISTICA производилось следующим образом:
а) Analysis→Frequency tables→Variables(выбралипеременную);
б) установили количество интервалов в “No. of exact intervals”, посчитанных по формуле Стерджесса;
в) установили флажки в Display options:
- Cumulative frequencies – накопленные частоты;
- Percentages - частости;
- Cumulative percentages – накопленные частости.
Интервальные ряды по каждой выборке для случайных величин X и Y приведены в таблицах 2.2-2.7 и Д.1-Д.14.
Таблица 2.2 - Интервальный ряд СВ
при
| Частота |
Кумул. частота |
Процент |
Кумул. процент |
| 5,475289<x<=8,510050 |
8 |
8 |
8,00000 |
8,0000 |
| 8,510050<x<=11,54481 |
15 |
23 |
15,00000 |
23,0000 |
| 11,54481<x<=14,57957 |
16 |
39 |
16,00000 |
39,0000 |
| 14,57957<x<=17,61433 |
18 |
57 |
18,00000 |
57,0000 |
| 17,61433<x<=20,64909 |
20 |
77 |
20,00000 |
77,0000 |
| 20,64909<x<=23,68385 |
13 |
90 |
13,00000 |
90,0000 |
| 23,68385<x<=26,71862 |
10 |
100 |
10,00000 |
100,0000 |
Таблица 2.3 - Интервальный ряд СВ
при
| Частота |
Кумул. частота |
Процент |
Кумул. процент |
| 5,850935<x<=8,116734 |
25 |
25 |
5,00000 |
5,0000 |
| 8,116734<x<=10,38253 |
62 |
87 |
12,40000 |
17,4000 |
| 10,38253<x<=12,64833 |
64 |
151 |
12,80000 |
30,2000 |
| 12,64833<x<=14,91413 |
55 |
206 |
11,00000 |
41,2000 |
| 14,91413<x<=17,17993 |
70 |
276 |
14,00000 |
55,2000 |
| 17,17993<x<=19,44573 |
64 |
340 |
12,80000 |
68,0000 |
| 19,44573<x<=21,71153 |
74 |
414 |
14,80000 |
82,8000 |
| 21,71153<x<=23,97733 |
59 |
473 |
11,80000 |
94,6000 |
| 23,97733<x<=26,24313 |
27 |
500 |
5,40000 |
100,0000 |
Таблица 2.4 - Интервальный ряд СВ
при
| Частота |
Кумул. частота |
Процент |
Кумул. процент |
| 5,745344<x<=7,797069 |
50 |
50 |
5,00000 |
5,0000 |
| 7,797069<x<=9,848795 |
106 |
156 |
10,60000 |
15,6000 |
| 9,848795<x<=11,90052 |
134 |
290 |
13,40000 |
29,0000 |
| 11,90052<x<=13,95225 |
88 |
378 |
8,80000 |
37,8000 |
| 13,95225<x<=16,00397 |
117 |
495 |
11,70000 |
49,5000 |
| 16,00397<x<=18,05570 |
121 |
616 |
12,10000 |
61,6000 |
| 18,05570<x<=20,10742 |
107 |
723 |
10,70000 |
72,3000 |
| 20,10742<x<=22,15915 |
117 |
840 |
11,70000 |
84,0000 |
| 22,15915<x<=24,21087 |
111 |
951 |
11,10000 |
95,1000 |
| 24,21087<x<=26,26260 |
49 |
1000 |
4,90000 |
100,0000 |
Таблица 2.5 - Интервальный ряд СВ
при
| Частота |
Кумул. |
Процент |
Кумул. |
| 0,231076<x<=4,627075 |
1 |
1 |
1,00000 |
1,0000 |
| 4,627075<x<=9,023072 |
6 |
7 |
6,00000 |
7,0000 |
| 9,023072<x<=13,41907 |
20 |
27 |
20,00000 |
27,0000 |
| 13,41907<x<=17,81507 |
31 |
58 |
31,00000 |
58,0000 |
| 17,81507<x<=22,21107 |
22 |
80 |
22,00000 |
80,0000 |
| 22,21107<x<=26,60706 |
17 |
97 |
17,00000 |
97,0000 |
| 26,60706<x<=31,00306 |
3 |
100 |
3,00000 |
100,0000 |
Таблица 2.6 - Интервальный ряд СВ
при
| Частота |
Кумул. |
Процент |
Кумул. |
| -1,89766<x<=2,289667 |
2 |
2 |
0,40000 |
0,4000 |
| 2,289667<x<=6,476997 |
21 |
23 |
4,20000 |
4,6000 |
| 6,476997<x<=10,66433 |
59 |
82 |
11,80000 |
16,4000 |
| 10,66433<x<=14,85166 |
125 |
207 |
25,00000 |
41,4000 |
| 14,85166<x<=19,03899 |
147 |
354 |
29,40000 |
70,8000 |
| 19,03899<x<=23,22632 |
99 |
453 |
19,80000 |
90,6000 |
| 23,22632<x<=27,41365 |
39 |
492 |
7,80000 |
98,4000 |
| 27,41365<x<=31,60098 |
7 |
499 |
1,40000 |
99,8000 |
Таблица 2.7 - Интервальный ряд СВ
при
| Частота |
Кумул. |
Процент |
Кумул. |
| -3,54794<x<=0,400491 |
5 |
5 |
0,50000 |
0,5000 |
| 0,400491<x<=4,348925 |
9 |
14 |
0,90000 |
1,4000 |
| 4,348925<x<=8,297359 |
61 |
75 |
6,10000 |
7,5000 |
| 8,297359<x<=12,24579 |
177 |
252 |
17,70000 |
25,2000 |
| 12,24579<x<=16,19423 |
279 |
531 |
27,90000 |
53,1000 |
| 16,19423<x<=20,14266 |
267 |
798 |
26,70000 |
79,8000 |
| 20,14266<x<=24,09110 |
154 |
952 |
15,40000 |
95,2000 |
| 24,09110<x<=28,03953 |
38 |
990 |
3,80000 |
99,0000 |
| 28,03953<x<=31,98797 |
8 |
998 |
0,80000 |
99,8000 |
| 31,98797<x<=35,93640 |
2 |
1000 |
0,20000 |
100,0000 |
2.3 Графическое изображение рядов распределения
Графическое изображение интервальных рядов включает построения полигона частот, гистограммы и кумуляты.
В пакете STATISTICA построение полигона происходит следующим образом:
а) Analysis → Frequency tables → Variables (выбратьпеременную);
б) установить количество интервалов в “No. of exact intervals”;
в) Frequency tables → Count;
г) нажать правую кнопку мыши и из выпадающего списка выбрать “Custom Graphs”;
д) 2D Graphs → Graph Type → Line Plot. [1]
Построение кумуляты:
а)Analysis → Frequencytables → Variables (выбрать переменную);
б) установить количество интервалов в “No. ofexactintervals”;
в) Frequency tables → Cumul. Count;
г) нажать правую кнопку мыши и выбрать “Custom Graphs”;
д) 2D Graphs → Graph Type → Line Plot (Bar
).
Построение гистограммы происходит следующим образом:
а) Analysis → Frequency tables → Variables (выбратьпеременную);
б) установить количество интервалов в “No. ofexactintervals”;
в) Frequencytables → Percent;
г) нажать правую кнопку мыши и из выпадающего списка выбрать “CustomGraphs”;
д) 2D Graphs → Graph Type → Bar
2.4 Точечные оценки средних показателей
Точечная оценка математического ожидания по вариационному ряду вычисляется по формуле (2.4):
где
– значения элементов выборки.
Оценка дисперсии по вариационному ряду вычисляется по формуле (2.5).
Вычисление оценки математического ожидания по интервальному вариационному ряду осуществляется по формуле (2.6):
где
– середина
-го интервала;
– статистическая вероятность (частость) попадания в
-тый интервал.
Оценка дисперсии для интервального ряда вычисляется по формуле (2.7):
Вычисление точечных оценок по вариационному ряду в пакете STATISTICA:
Analysis → Descriptive statistics → Categorization → Number of intervals (установитьколичествоинтервалов) → More statistics → Mean, Variance. [2]
Значения точечных оценок математического ожидания и дисперсии для простого и интервального рядов приведены в таблице 2.8.
Таблица 2.8 – Оценки математического ожидания и дисперсии
| Выборка |
Математическое ожидание |
Дисперсия |
| Простой ряд |
Интервальный ряд |
Простой ряд |
Интервальный ряд |
(
) |
16,254 |
16,279 |
27,849 |
28,517 |
(
) |
16,189 |
16,174 |
26,259 |
26,598 |
(
) |
15,950 |
16,006 |
27,608 |
28,330 |
(
) |
16,668 |
16,936 |
31,125 |
31,113 |
(
) |
15,989 |
16,007 |
30,406 |
31,242 |
(
) |
15,792 |
15,740 |
27,059 |
28,636 |
Из приведенных данных видно, что полученные оценки математического ожидания и дисперсии по вариационному (простому) и интервальному рядам имеют близкие значения. Причем, чем больше объем выборки, тем более точный результат. От номера эксперимента, то есть от количества испытаний величины точечной оценки не зависят. Это видно на рисунках 2.25 – 2.32.
Рисунок 2.25 - Зависимость
от объема выборки для
Рисунок 2.26 - Зависимость
от объема выборки для
Рисунок 2.27 - Зависимость
от объема выборки для
Рисунок 2.28 - Зависимость
от объема выборки для
Рисунок 2.29 - Зависимость
от номера эксперимента по
Рисунок 2.30 - Зависимость
от номера эксперимента по
Рисунок 2.31 - Зависимость
от номера эксперимента по
Рисунок 2.32 - Зависимость
от номера эксперимента по
В таблице 2.9 приведены оценки математического ожидания и дисперсии, вычисленные для 10 выборок по 1000 элементов в каждой для случайной величины
и случайной величины
.
Таблица 2.9 – Точечные оценки выборок из 1000 элементов для
и
|
|
| Выборка |
|
|
|
|
| 1 |
15,792 |
27,832 |
15,754 |
27,421 |
| 2 |
16,193 |
29,501 |
16,283 |
29,650 |
| 3 |
16,076 |
29,006 |
15,900 |
28,716 |
| 4 |
16,052 |
28,884 |
16,096 |
26,124 |
| 5 |
15,968 |
28,508 |
15,947 |
30,983 |
| 6 |
16,212 |
28,710 |
16,163 |
29,956 |
| 7 |
16,215 |
28,747 |
16,030 |
30,011 |
| 8 |
15,945 |
27,243 |
16,428 |
29,069 |
| 9 |
16,080 |
28,103 |
16,054 |
28,265 |
| 10 |
15,853 |
28,369 |
15,980 |
28,913 |
2.5 Доверительные интервалы
Для того чтобы оценить достоверность оценок, вводят понятие доверительный интервал и доверительная вероятность.
Доверительный интервал для математического ожидания определяется по формуле (2.7):
где
– математическое ожидание генеральной совокупности;
- доверительная вероятность;
- оценка математического ожидания;
- величина доверительного интервала, вычисляется по формуле (2.8):
где
- квантиль нормального распределения, получается обратным интерполированием из таблицы для функции распределения стандартного нормального закона. Вычисляется по формуле (2.9).
- оценка дисперсии, вычисляется по формуле (2.10).
Доверительный интервал для дисперсии определяется по формуле (2.11).
,
где
– дисперсия генеральной совокупности;
– оценка дисперсии.
– квантиль нормального распределения.
Оценка стандартного отклонения в зависимости от закона распределения случайной величины имеет различное значение.
Для нормального закона распределения эта величина будет равна:
Для равномерного:
Ниже в таблицах 2.10-2.21 приведены доверительные интервалы математического ожидания исследуемых выборок.
-точный метод
Таблица 2.10 - Доверительные интервалы для СВ
,
|
15,378 |
17,130 |
|
15,207 |
17,301 |
|
15,053 |
17,455 |
|
14,739 |
17,769 |
|
14,481 |
18,027 |
-грубый метод
Таблица 2.11 – Доверительные интервалы для СВ
,
|
15,376 |
17,132 |
|
15,207 |
17,301 |
|
15,058 |
17,450 |
|
14,753 |
17,755 |
|
14,508 |
18,000 |
-точный метод
Таблица 2.12 - Доверительные интервалы для СВ
,
|
15,811 |
16,566 |
|
15,738 |
16,639 |
|
15,673 |
16,704 |
|
15,542 |
16,835 |
|
15,408 |
16,940 |
-грубый метод
Таблица 2.13 – Доверительные интервалы для СВ
,
|
15,795 |
16,553 |
|
15,722 |
16,626 |
|
15,657 |
16,691 |
|
15,526 |
16,822 |
|
15,420 |
16,928 |
-точный метод
Таблица 2.14 - Доверительные интервалы для СВ
,
|
15,677 |
16,224 |
|
15,624 |
16,276 |
|
15,577 |
16,323 |
|
15,483 |
16,418 |
|
15,447 |
16,565 |
-грубый метод
Таблица 2.15 – Доверительные интервалы для СВ
,
|
15,729 |
16,283 |
|
15,676 |
16,336 |
|
15,629 |
16,383 |
|
15,533 |
16,479 |
|
15,456 |
16,556 |
-точный метод
Таблица 2.16 – Доверительные интервалы для СВ
,
|
15,742 |
17,595 |
|
15,561 |
17,775 |
|
15,399 |
17,938 |
|
15,066 |
18,270 |
|
15,084 |
18,788 |
-грубый метод
Таблица 2.17 – Доверительные интервалы для СВ
,
|
16,018 |
17,854 |
|
15,843 |
18,029 |
|
15,687 |
18,185 |
|
15,369 |
18,503 |
|
15,112 |
18,760 |
-точный метод
Таблица 2.18 – Доверительные интервалы для СВ
,
|
15,583 |
16,396 |
|
15,505 |
16,474 |
|
15,435 |
16,544 |
|
15,294 |
16,685 |
|
15,177 |
16,837 |
-грубый метод
Таблица 2.19 – Доверительные интервалы для СВ
,
|
15,596 |
16,418 |
|
15,517 |
16,497 |
|
15,447 |
16,567 |
|
15,305 |
16,709 |
|
15,190 |
16,824 |
-точный метод
Таблица 2.20 – Доверительные интервалы для СВ
,
|
15,521 |
16,063 |
|
15,469 |
16,115 |
|
15,423 |
16,161 |
|
15,329 |
16,255 |
|
15,178 |
16,302 |
-грубый метод
Таблица 2.21 – Доверительные интервалы для СВ
,
|
15,462 |
16,018 |
|
15,408 |
16,072 |
|
15,361 |
16,119 |
|
15,264 |
16,216 |
|
15,187 |
16,293 |
Длины доверительных интервалов для математического ожидания при различных уровнях доверительной вероятности приведены в таблице 2.22.
Таблица 2.22 – Длины доверительных интервалов
| Длина интервала |
|
|
|
|
|
(
) |
1,752 |
2,094 |
2,402 |
3,03 |
3,546 |
(
) |
0,755 |
0,901 |
1,031 |
1,293 |
1,532 |
(
) |
0,547 |
0,652 |
0,746 |
0,935 |
1,118 |
(
) |
1,853 |
2,214 |
2,539 |
3,204 |
3,704 |
(
) |
0,813 |
0,969 |
1,109 |
1,391 |
1,66 |
(
) |
0,542 |
0,646 |
0,738 |
0,926 |
1,124 |
В таблицах 2.23 – 2.34 указаны доверительные интервалы дисперсии исследуемых выборок.
-точный метод
Таблица 2.23 – Доверительные интервалы для СВ
,
|
25,059 |
32,793 |
|
24,452 |
33,693 |
|
23,926 |
34,524 |
|
22,914 |
36,280 |
|
22,095 |
37,873 |
-грубый метод
Таблица 2.24 – Доверительные интервалы для СВ
,
|
26,084 |
30,950 |
|
25,619 |
31,415 |
|
25,205 |
31,829 |
|
24,362 |
32,672 |
|
23,681 |
33,353 |
-точный метод
Таблица 2.25 – Доверительные интервалы для СВ
,
|
23,373 |
30,586 |
|
22,807 |
31,426 |
|
22,316 |
32,201 |
|
21,372 |
33,838 |
|
20,608 |
35,324 |
-грубый метод
Таблица 2.26 – Доверительные интервалы для СВ
,
|
24,329 |
28,867 |
|
23,895 |
29,301 |
|
23,508 |
29,688 |
|
22,722 |
30,474 |
|
22,088 |
31,108 |
-точный метод
Таблица 2.27 – Доверительные интервалы для СВ
,
|
22,258 |
29,128 |
|
21,719 |
29,928 |
|
21,252 |
30,666 |
|
20,354 |
32,225 |
|
19,626 |
33,640 |
-грубый метод
Таблица 2.28 – Доверительные интервалы для СВ
,
|
23,169 |
27,491 |
|
22,756 |
27,904 |
|
22,388 |
28,272 |
|
21,639 |
29,021 |
|
21,035 |
29,625 |
-точный метод
Таблица 2.29 – Доверительные интервалы для СВ
,
|
27,340 |
35,779 |
|
26,678 |
36,761 |
|
26,104 |
37,667 |
|
25,000 |
39,582 |
|
24,106 |
41,321 |
-грубый метод
Таблица 2.30 – Доверительные интервалы для СВ
,
|
28,459 |
33,767 |
|
27,951 |
34,275 |
|
27,499 |
34,727 |
|
26,579 |
35,647 |
|
25,837 |
36,389 |
-точный метод
Таблица 2.31 – Доверительные интервалы для СВ
,
|
26,575 |
34,777 |
|
25,931 |
35,732 |
|
25,374 |
36,613 |
|
24,301 |
38,474 |
|
23,431 |
40,164 |
-грубый метод
Таблица 2.32 – Доверительные интервалы для СВ
,
|
27,662 |
32,822 |
|
27,168 |
33,316 |
|
26,729 |
33,755 |
|
25,835 |
34,649 |
|
25,114 |
35,370 |
-точный метод
Таблица 2.33 – Доверительные интервалы для СВ
,
|
25,163 |
32,930 |
|
24,554 |
33,834 |
|
24,026 |
34,668 |
|
23,010 |
36,431 |
|
22,187 |
38,031 |
-грубый метод
Таблица 2.34 – Доверительные интервалы для СВ
,
|
26,193 |
31,079 |
|
25,726 |
31,546 |
|
25,310 |
31,962 |
|
24,463 |
32,809 |
|
23,780 |
33,492 |
В таблице 2.35 показано изменение длины доверительного интервала для дисперсии в зависимости от объема выборки и величины доверительной вероятности.
Таблица 2.35 – Длины доверительных интервалов
| Величина интервала |
|
|
|
|
|
(
) |
7,734 |
9,241 |
10,598 |
13,366 |
15,778 |
(
) |
7,213 |
8,619 |
9,885 |
12,466 |
14,716 |
(
) |
4,322 |
5,148 |
5,884 |
7,382 |
8,590 |
(
) |
8,439 |
10,083 |
11,563 |
14,582 |
17,215 |
(
) |
8,202 |
9,801 |
11,239 |
14,173 |
16,733 |
(
) |
7,767 |
9,280 |
10,642 |
13,421 |
15,844 |
Анализируя полученные данные можно заметить, что при увеличении уровня доверительной вероятности увеличивается величина доверительного интервала, а при увеличении объема выборки она уменьшается. Это справедливо как для доверительных интервалов математического ожидания, так и для дисперсии. [3]
2.6 Другие точечные оценки интервального ряда (мода, медиана, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии, эксцесс)
Модой в вариационном ряду является наиболее часто встречающееся значение признака.
Мода по интервальному ряду вычисляется по формуле (2.13):
(2.13)
где
– левая граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частость);
– величина интервала группировки;
– частота модального интервала;
– частота интервала, предшествующего модальному;
– частота интервала, следующего за модальным.
Медиана – серединное наблюдение в выборке длиной n.
При нечетном n медиана в вариационном ряду есть значение ряда с номером
.
При четном n медиана есть полусумма значений с номерами
и
. В интервальном ряду для нахождения медианы применяется формула (2.14):
где
– нижняя граница медианного интервала (медианным называется интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);
– величина интервала группировки;
– частота медианного интервала;
– накопленная частота интервала, предшествующего медианному.
Коэффициент вариации вычисляется по формуле (2.15):
На основе момента третьего порядка (смотри формулу 2.16) выборочный коэффициент асимметрии находится по формуле (2.17):
С помощью момента четвертого порядка характеризуют свойство рядов распределения, называемое эксцессом. Показатель эксцесса для ранжированного ряда находится по формуле (2.18).
Вычисление точечных оценок по вариационному ряду в пакете STATISTICA происходит следующим образом:
Analysis → Descriptive statistics:
а) Categorization → Number of intervals (установитьколичествоинтервалов);
б) нажать кнопку Morestatistics → откроется окно Statistics, где можно выбрать следующие показатели:
- Mean – выборочное среднее;
- Median – медиана;
- StandardDeviation – стандартное отклонение среднего значения;
- Variance – выборочная дисперсия;
- Skewness – выборочный коэффициент асимметрии;
- Kurtosis – выборочный коэффициент эксцесса;
в) выбрать необходимые параметры и нажать ОК.
Значения медианы, коэффициента вариации, коэффициента ассиметрии и эксцесса приведены в таблице 2.36.
Таблица 2.36 - Медиана, коэффициент вариации, коэффициент ассиметрии и эксцесс
| Выборка |
Медиана |
Коэф. ассиметрии |
Эксцесс |
Коэф. вариации |
(
) |
16,587 |
-0,009 |
-1,017 |
0,326 |
(
) |
16,501 |
-0,058 |
-1,160 |
0,317 |
(
) |
16,119 |
0,007 |
-1,192 |
0,329 |
(
) |
16,531 |
-0,086 |
-0,449 |
0,335 |
(
) |
16,013 |
-0,022 |
-0,138 |
0,345 |
(
) |
15,795 |
-0,080 |
0,170 |
0,329 |
Анализируя полученные данные, можно сказать, что обе случайные величины имеют практически симметричное распределение, т. к. коэффициенты асимметрии всех выборок близки к нулю,
Случайная величина
имеет более пологое распределение (эксцесс для всех ее выборок имеет отрицательное значение). А эксцесс выборок случайной величины
практически равен нулю, т.е. "крутизна" распределения случайной величины Y близка к нормальному распределению.
2.7 Оценка однородности выборки
Любая исследуемая совокупность содержит как значения признаков, сложившихся под влиянием факторов, непосредственно характерных для анализируемой совокупности, так и значения признаков, полученных под воздействием иных факторов, не характерных для основной совокупности.
Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному). [4]
Из таблицы 2.36 видно, что однородными можно считать выборки случайной величины
при
равном 100, 500, 1000 и
при n равном 1000.
Однородность выборки можно проверить, также используя метод Ирвина, основанный на определении
-статистики. При его использовании выявление аномальных наблюдений производится по формуле (2.19).
где
– упорядоченная (по возрастанию или по убыванию) исследуемая совокупность;
– значение ряда;
– предыдущее значение ряда;
– среднеквадратическое отклонение.
Если расчетное значение превысит уровень критического, то оно признается аномальным.
Произведя соответствующие расчёты в MicrosoftExcel мы убедились, что ни одно из расчётных значений не превышает уровень критического значения. Это значит, что все выборки случайных величин
и
– однородны.
2.8 Проверка нормальности эмпирического распределения
2.8.1 Проверка нормальности эмпирического распределения на основе анализа точечных оценок числовых характеристик
Если среднее арифметическое, медиана и мода имеют близкие значения, это указывает на вероятное соответствие изучаемого распределения нормальному закону. Для нормального распределения коэффициент асимметрии и эксцесса равны нулю, а для равномерного эксцесс равен -1,2.
В таблице 2.37 приведены данные для проверки вышеуказанных утверждений.
содержание ..
504
505
506 ..
|
|
|