Газовая и волновая динамика - часть 81

Антисимметричная часть силового диполя соответствует точечному моменту с

силовой функцией 

F = 4π

∇ × (mδ(r)) и называется ротлетом. Для ротлета имеем

v

R

=

1
2

&

v

SD

(r;l; 

f )

− v

SD

(r; 

f ;l)

'

=

∇ × v

S

(r, 

m)

2

=



m

× r

r

3

,

p

R

=

1
2

&

p

SD

(r;l; 

f )

− p

SD

(r; 

f ;l)

'

,



m = 

f

× l.

Симметричная часть силового диполя дает сингулярное решение, названное Бэт-

челором стресслетом

v

ST

=

2( 

f

· r)(l· r) − r

2

( 

f

· l)

r

5

r,

p

ST

= 2

( 

f

· r)(l· r) − r

2

( 

f

· l)

r

5

.

(5)

Стресслет играет определяющую роль в деформационно-сдвиговых течениях и

реологии суспензий [6]. Наряду со стокслетом при обтекании тел однородным пото-
ком важную роль имеет известный из гидродинамики идеальной жидкости потенци-
альный диполь, распределение скоростей и давлений от которого легко получаются
из формул (3) для стокслета:

v

D

(r; k) =

−

1
2

v

S

(r; k) =

3(k

· r)r − r

2

· k

r

5

,

p

D

(r; k) =

−

1
2

p

S

(r; k).

Заметим, что все приведенные выше формулы можно переписать в тензорном

виде. Тогда произвольное стационарное поле скоростей v(r) в окрестности точки
r = 0, принятой за начало декартовой системы координат x

1

, x

2

, x

3

, может быть

разложено в ряд Тейлора

v

i

(r) = v

i

(0) + G

ij

x

j

+ . . . ,

G

ij

= (∂v

i

/∂x

j

)

r

=0

,

(6)

где v

i

и G

ij

- компоненты скорости жидкости и тензора сдвига, причем tr

←

→

G = G

ii

= 0

в силу несжимаемости жидкости. В задачах о вязком обтекании частицы, размеры
которой много меньше характерного масштаба неоднородности течения, поле скоро-
стей (6) может рассматриваться как распределение вдали от частицы.

В свою очередь, воздействие частицы конечного размера на поток будет описы-

ваться не только точечными силой и моментом, а силовой обобщенной функцией
более сложного вида, включающей производные от δ(r) высших порядков:

F

i

δ(r) + A

ij

∂

∂x

j

δ(r) + B

ijk

∂

2

∂x

j

∂x

k

δ(r) + . . . ,

где компоненты тензоров F

i

, A

ij

, B

ijk

, ... определяются из граничных условий для

конкретных задач.

Эффективность

сингулярного

метода

для

осесимметричных

частицнес-

ферической формы в различных поступательно-сдвиговых потоках продемонстриро-
вана в [5], кроме того в работах по реологии суспензий этот метод в последнее время

328

тоже нашел широкое применение. Правда, в [6] и целом ряде других работ по сус-
пензиям обобщенные функции применялись лишь для анализа силового воздействия
частицв уравнении Стокса, тогда как уравнение несжимаемости рассматривалось в
классе обычных функций. Применение аппарата обобщенных функций ко всей си-
стеме (1) началось с работы [7]. Этот подход, изложенный в [7, 8], был реализован
для ряда ЭГД-явлений в монодисперсных однородных эмульсиях сферических ка-
пель с поверхностным зарядом на границе раздела фаз в [9 – 14]. Далее, в классе
обобщенных функций, будет рассмотрен ряд задач ЭГД-обтекания сферической кап-
ли с поверхностным зарядом простого слоя (ПС) или двойного электрического слоя
(ДЭС).

1. Специфика граничныхусловий для ЭГД-течений

Для стационарного процесса в электрическом приближении и случае отсутствия
объемного заряда из системы уравнений Максвелла следует: 1). электрическое по-
ле потенциально, т. е. 

E =

−∇ϕ и ϕ = 0; 2). объемная электромагнитная сила

Лоренца в уравнении Стокса равна нулю, т.е. влиянием магнитного поля можно
пренебречь.

Однако на поверхности раздела фаз двух вязких электропроводных жидкостей

с постоянными коэффициентами вязкости и электропроводности действует поверх-
ностная сила электрического происхождения [10, 15 – 18]



f

Σ

= n

←→

T

e



− nγ(∇ · n) − q∇

Σ

{ϕ},

(7)

где γ - поверхностное натяжение,

∇

Σ

- поверхностный градиент,

←

→

T

e

- электрическая

часть тензора электромагнитных напряжений Максвелла: T

ij

= E

i

D

j

− (1/2)εε

0

E

2

δ

ij

,

q - плотность поверхностного заряда ДЭС, фигурные скобки означают скачок соот-
ветствующей величины на границе раздела фаз.

Первое слагаемое в (7) отражает роль ПС зарядов, а два последних - характери-

зуют вклад от ДЭС. Обычно при наличии ДЭС влиянием ПС можно пренебречь.

Скачок тангенциальных составляющих тензора вязких напряжений на границе

раздела фаз с ДЭС должен компенсироваться последним членом:

{p

n

Σ

} = −q∇

Σ

{ϕ}.

Вторую связь электрической и гидродинамической части задачи ЭГД-обтекания кап-
ли с ДЭС дает граничное условие, вытекающее из закона сохранения электрического
заряда divj = 0, где j = σ 

E =

−σ∇ϕ - плотность электрического тока проводимости,

определяемая в каждой из фаз по закону Ома. Для модели тонкого идеального поля-
ризованного ДЭС, между обкладками которого ток не проходит, граничные условия
для внешней и внутренней обкладок ДЭС будут иметь соответственно следующий
вид [10, 16]:

−σ

∂ϕ

∂r

+ div

Σ

j

Σ

= 0,

σ



∂ϕ



∂r

+ div

Σ

j



Σ

= 0,

(8)

где div

Σ

j

Σ

- поверхностная дивергенция от плотности поверхностного электрического

329

тока, штрих здесь и далее относится к области внутри капли. Будем считать, что

j

Σ

= qv

Σ

− σ

Σ

∇

Σ

ϕ

− D

Σ

∇

Σ

q,

j



Σ

=

−qv

Σ

− σ



Σ

∇

Σ

ϕ



+ D



Σ

∇

Σ

q,

(9)

т. е. поверхностный ток в общем случае может быть обусловлен конвективным пе-
реносом заряда вдоль каждой из обкладок ДЭС, поверхностными проводимостью и
диффузией.

Заметим, что в (8) различие в знаках объясняется разным направлением нормали

к двум обкладкам ДЭС, а в (9) - разными знаками зарядов этих обкладок.

В случае наличия ПС зарядов на границе раздела фаз и отсутствия ДЭС вместо

(8) получим два стандартных для электродинамики условия равенства тангенциаль-
ных составляющих электрического поля и нормальных составляющих электрическо-
го тока [9, 18]:

{E

Σ

} = 0 ⇔ {ϕ} = 0, {j

n

} = 0 ⇔



σ

∂ϕ

∂r



= 0.

(10)

Таким образом в задачах ЭГД-обтекания с ПС зарядов электрическая и гидродина-
мическая части задачи оказываются связаны посредством единственного граничного
условия, требующего равенства нулю скачка касательных составляющих суммарного
тензора вязких и электрических напряжений [18]

{p

n

Σ

+ T

n

Σ

} = 0.

(11)

Условие на нормальные компоненты потребуется лишь в случае учета отклонения

формы капель от сферической.

Далее для сферических капель с ДЭС или ПС зарядов на границе раздела фаз

будут рассматриваться системы безразмерных ЭГД-уравнений в приближении Стокса
типа:

r > 1 :

v − ∇p = 0,

div v = 0,

ϕ = 0,

r < 1 :

v



− ∇p



= 0,

div v



= 0,

ϕ



= 0,

(12)

как вне (r > 1), так для штрихованных величин и внутри (r < 1) капли. Выбор без-
размерных переменных для каждой из конкретных задач и формулировка граничных
условий при r = 1 и r

→ ∞ будут оговариваться в соответствующих местах. Внутри

капли при r

→ 0 все величины должны быть ограничены.

Цель настоящей работы состоит в том, чтобы для каждой конкретной задачи

ЭГД-обтекания получить аналог системы (12) в классе обобщенных функций с пер-
спективой дальнейшего использования полученных результатов для вывода уравне-
ний электрогидродинамики монодисперсных суспензий с поверхностным зарядом ПС
или ДЭС.

330

2. ЭГД-течения Стокса с постоянным зарядом ДЭС

Для ЭГД-систем типа «ртутная капля - раствор электролита» на границе раздела
фаз характерно наличие ДЭС. Будем считать, что плотность заряда ДЭС q = const
и при обтекании капли сохраняется квазиравновесное состояние ДЭС.

Тогда ЭГД-обтекание подобной капли однородным потоком 

V

∞

= U

0

k в безраз-

мерных переменных описывается системой (12) и граничными условиями

r = 1 :

v

n

= v



n

= 0,

v

θ

= v



θ

=

−v

0

sin θ,

{p

rθ

} = µp

rθ

− p

rθ

=

−q∇

Σ

{ϕ}

σ

∂ϕ



∂r

+ 2v

0

q cos θ = 0,

−

∂ϕ

∂r

+ 2v

0

q cos θ = 0,

r

→ ∞ : v → u

0

= k,

∇ϕ → 0,

(13)

где расстояния, скорости, электрический потенциал и плотность поверхностного за-
ряда ДЭС приведены к безразмерному виду делением на радиус капли a, U

0

, U

0



µ/σ

и

√

µσ соответственно; давление вне и внутри капли - на µU

0

/a и µ



U

0

/a,

µ = µ



/µ,

σ = σ



/σ.

Решение этой осесимметричной задачи с точностью до констант можно искать

через электрический потенциал и функцию тока в следующем виде:

ϕ =



αr +

β

r

2



cos θ,

ψ =



A

4

r

4

+ A

2

r

2

+ A

1

r +

D

1

r



sin

2

θ.

(14)

Из ограниченности физических величин внутри капли при r

→ 0 получаем β



=

A



1

= D



1

= 0, условие при r

→ ∞ дает α = A

4

= 0, A

2

=

1

2

. Остальные коэффициенты

находятся из граничных условий при r = 1, в частности,

β = qv

0

,

A

1

=

2v

0

− 3

4

,

D

1

=

1

− 2v

0

4

,

v

0

=

1

2 (1 +

µ + (q

2

/3) + (2q

2

/3

σ))

.

(15)

Продлим внешнее решение внутрь капли до точки r = 0, что с точки зрения

обобщенных функций [1] и учетом соотношения rot rotv =

∇ div v − v приводит к

системе [7 – 10]

rot rotv +

∇p = 8πA

1



u

0

δ(r),

div v =

−4πD

1

(

u

0

· ∇δ(r)),

ϕ = 4πβ(k · ∇δ(r)).

(16)

Таким образом, капля с ДЭС в однородном потоке при r > 1 может рассматри-

ваться с точки зрения электродинамики как электрический диполь, а с точки зрения
гидродинамики - как линейная комбинация точечной силы и потенциального диполя.

331