МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ДАВЛЕНИЙ - ЧАСТЬ 7

где < T >

= (T

H

+ T

0

)/2 – некая средняя температура. В

нашем случае < T > = (400 + 293)/2 = 346.5 K. Для воздуха
соотношение (γ

− 1)/(γ + 1) = 0.4/2.4 = 0.17. Тогда

p =

4

· 2 · 10

−3

√

3.14

· 28 · 10

−3

· 346.5

3.14

· 0.6 · 10

−3

· 5 · 10

−2

√

2

· 8.31

· 0.17

1

107

= 0.2 Па. (58)

Поскольку 10

5

Па=760 торр, то 0.2 Па=0.2

· 7.6 · 10

−3

торр.

Предел измерения реальными тепловыми вакуумметрами со-
ставляет 10

−3

− 10

−4

торр, при более низких давлениях суще-

ственными становятся потери на излучение. Давления ниже
10

−4

торр измеряют, к примеру, ионизационными вакууммет-

рами.

Задача 4

Оценить верхний предел измерения тепловым вакууммет-

ром.

Решение

Верхний предел обусловлен тем, что с ростом давления

теплоемкость перестает зависеть от плотности газа. Условие
независимости теплоемкости от плотности газа заключается в
том, что длина свободного пробега молекул должна быть много
меньше характерного размера сосуда:

λ =

1

√

2nσ

.

(59)

Примем характерный размер баллона d = 3 см и потребуем:
d

∼ 10λ. Тогда

n =

10

√

2dσ

=

10

√

23

· 10

−15

= 2.4

· 10

15

см

−3

;

(60)

p

≈

2.4

· 10

15

3.3

· 10

16

≈ 0.07 торр ≈ 0.1 торр.

(61)

28

Следует иметь в виду, что в случае наполнения лампы тер-

мопарного вакуумметра другим газом (к примеру, вместо воз-
духа в системе используется He) то же значение тока (ЭДС)
будет соответствовать другому давлению. Всамом деле, из вы-
ражения (57) следует, что при поддержании всех параметров
системы (ток, температура) одними и теми же для двух разных
газов

p

1

p

2

=



µ

1

µ

2

·

γ

1

− 1

γ

1

+ 1

·

γ

2

+ 1

γ

2

− 1

.

(62)

Вреальной ситуации это соотношение следует домножить

на отношение коэффициентов аккомодации α (принято считать
для воздуха α = 1):

p

1

p

2

=

α

2

α

1



µ

1

µ

2

·

γ

1

− 1

γ

1

+ 1

·

γ

2

+ 1

γ

2

− 1

.

(63)

Задача 5

Какова разница реальных давлений воздуха и ксенона при

одном и том же показании теплового вакуумметра? Коэффи-
циент аккомодации для Хе принять равным αXe = 1.45.

Решение

Относительная чувствительность вакуумметра определяет-

ся как отношение давления воздуха к давлению газа при одних
и тех же показаниях прибора:

q =

p

B

pгаз

.

Соотношение измеряемых давлений

q =

p

B

pXe

=

αXe

α

B



µ

B

µXe

·

γ

B

− 1

γ

B

+ 1

·

γXe + 1
γXe − 1

.

Для воздуха (показатель адиабаты γ

B

= 1.4, для массы

возьмем µ

B

≈ 28) и гелия (γXe = 1.67, µXe = 131.3) получим:

29

p

B

pXe

=

1.45

1

·



28

131.3

·

1.4

− 1

1.4 + 1

·

1.67 + 1
1.67

− 1

= 0.46,

то есть при одном и том же показании прибора плотности газов
различаются в два раза.

2.4.1.

Ионизационные вакуумметры

Принцип действия ионных вакуумметров основан на зависимо-
сти ионного тока, возникающего в результате ионизации моле-
кул разреженного газа, от его давления.

Электроразрядные манометры в простейшем исполнении

представляют собой систему из трех электродов: катод (соб-
ственно нагретая нить), анод и отрицательно заряженный кол-
лектор. Коллектор служит для количественного анализа тока
в системе.

При ионизации газа электронами появление ионов происхо-

дит в следующем процессе:

M + e = M

+

+ 2e.

(64)

Скорость этого процесса равна

dM

+

dt

= k

ion

n

e

M.

(65)

Константа скорости ионизации зависит от соответствующе-

го сечения ионизации и энергии электронов:

k

ion

=< σv >

∼

∞



0

σ(ε)

√

εf (ε)dε.

(66)

С другой стороны, поток электронов через единицу площа-

ди равен

j

e

= n

e

v.

(67)

30

Тогда выражение (65) перепишется как

dM

+

dt

= σj

e

M.

(68)

Пусть прибор собирает все положительные ионы, образо-

ванные в объеме сечения S и длины l, так что суммарный поток
ионов равен

i

+

= Sl

dM

+

dt

= σj

e

M Sl = σi

−

M l,

i

−

= j

e

S = n

e

vS.

(69)

Следует обратить внимание на то, что полученная формула

справедлива в условиях, когда i

+

<< i

−

, то есть когда l << λ.

Задача 6

Оценить верхний предел давлений, измеряемых ионизаци-

онным вакуумметром. Принять l = 10 см, σ

∼ 10

−15

см

2

.

Решение

[M ] <<

1

σl

=

1

10

−15

10

= 10

1

4 см

−3

=

10

14

3.3

· 10

16

торр

≈ 3·10

−3

торр.

(70)

Нижний предел измерений подобными датчиками давления

обусловлен тем, что при понижении давления ионный ток па-
дает. Физическим пределом является выбивание электронов с
коллектора мягкими рентгеновскими квантами, возникающи-
ми при торможении электронов на аноде. Типичная величина
этого тока равна 10

−9

А.

Задача 7

Оценить нижний предел давлений, измеряемых ионизаци-

онным вакуумметром. Принять l = 10 см, σ

∼ 10

−15

см

2

, ток

электронов с катода i = 5 мА, k = 1.4

· 10

−23

Дж/K.

31